سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت (2)

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه پانزدهم مرداد ۱۴۰۰ | 16:43

جبر درجه بندی شده و حلقه های چند جمله ای [ ویرایش ]

حلقه های چند جمله ای و ضرایب آنها با ایده آل های همگن ، جبر درجه بندی معمولی هستند. در مقابل، اگر S یک جبر مدرج تولید بیش از زمینه است K توسط N عناصر همگن g1 ، ...،gN از درجه 1، پس از آن نقشه که می فرستد X i بر رویgi همریخت حلقه درجه بندی شده از تعریف $R_ {n} = K [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n}]$ بر روی S . آن هسته یک ایده آل همگن استI و این ریختی جبر مدرج بین تعریف $R_ {n}/I$ و س .

بنابراین ، جبرهای درجه بندی شده ایجاد شده توسط عناصر درجه 1 دقیقاً تا یک ایزومورفیسم ، ضرایب حلقه های چند جمله ای با ایده آل های همگن هستند. بنابراین ، باقیمانده این مقاله به وسیله ایده آلها به ضرایب حلقه های چند جمله ای محدود می شود.

ویژگی های سری هیلبرت [ ویرایش ]

افزودنی [ ویرایش ]

سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت نسبتاً به دنباله های دقیق افزودنی هستند . به طور دقیق تر ، اگر

$0 \؛ \ rightarrow \؛ A \؛ \ rightarrow \؛ B \؛ \ rightarrow \؛ C \؛ \ rightarrow \؛ 0$

یک دنباله دقیق از ماژول های درجه بندی شده یا فیلتر شده است ، سپس ما داریم

$HS_ {B} = HS_ {A}+HS_ {C}$

$HP_ {B} = HP_ {A}+HP_ {C}.$

این بلافاصله از همان ویژگی برای بعد فضاهای بردار حاصل می شود.

ضریب با تقسیم کننده غیر صفر [ ویرایش ]

بگذارید A یک جبر درجه بندی شده باشد و f یک عنصر همگن درجه d در A باشد که تقسیم کننده صفر نیست . سپس ما داریم

$HS _ {{A/(f)}} (t) = (1-t^{d}) \، HS_ {A} (t) \ ،.$

از افزودنی در دنباله دقیق نتیجه می شود

$0 \؛ \ rightarrow \؛ A^{{[d]}} \؛ {\ xrightarrow {f}} \؛ A \؛ \ rightarrow \؛ A/f \ rightarrow \؛ 0 \ ،،$

جایی که فلش با برچسب f ضرب در f است ، و $A^{{[d]}}$ ماژول درجه بندی شده است که از A با تغییر درجه به d بدست می آید ، به طوری که ضرب در f دارای درجه 0 است. این بدان معناست که $HS _ {{A^{{[d]}}}}} (t) = t^{d} \، HS_ {A} (t) \ ،.$

سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت حلقه چند جمله ای [ ویرایش ]

سری هیلبرت حلقه چند جمله ای $R_ {n} = K [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]$ که در $n$ نامشخص است

$HS _ {{R_ {n}}} (t) = {\ frac {1} {(1-t)^{{n}}}} \ ،.$

به این ترتیب چند جمله ای هیلبرت است

$HP _ {{R_ {n}}} (k) = {{k+n-1} \ select {n-1}} = {\ frac {(k+1) \ cdots (k+n-1)} { (n-1)!}} \ ،.$

اثبات این که سری هیلبرت دارای این فرم ساده است ، با استفاده از فرمول قبلی برای ضریب با صفر غیر صفر (در اینجا $x_ {n}$ ) و اشاره به آن $HS_ {K} (t) = 1 \ ،$

شکل و اندازه سریال هیلبرت [ ویرایش ]

درجه بندی جبر تولید شده توسط عناصر همگن از درجه 1 است کرول بعد صفر اگر ایده آل همگن حداکثر، این است که ایده آل تولید شده توسط عناصر همگن از درجه 1، است پوچتوان . این بدان معناست که بعد A به عنوان یک فضای بردار K محدود است و سری هیلبرت A یک چند جمله ای P ( t ) است به طوری که P (1) با بعد A به عنوان یک فضای بردار K برابر است.

اگر بعد کرول A مثبت باشد ، یک عنصر همگن f درجه وجود دارد که تقسیم کننده صفر نیست (در واقع تقریباً همه عناصر درجه یک این ویژگی را دارند). بعد کرال A / (f) بعد کرال A منهای یک است.

افزودنی بودن سریال هیلبرت این را نشان می دهد $HS _ {{A/(f)}} (t) = (1-t) \، HS_ {A} (t)$ . با تکرار این عدد چند بار برابر با اندازه کرال A ، در نهایت به یک جبر از بعد 0 می رسیم که سری هیلبرت آن چند جمله ای P ( t ) است . این نشان می دهد که سری هیلبرت A است

$HS_ {A} (t) = {\ frac {P (t)} {(1-t)^{d}}}$

جایی که چند جمله ای P ( t ) به گونه ای است که P (1) ≠ 0 و d بعد کرال A است .

این فرمول برای سری هیلبرت نشان می دهد که درجه چند جمله ای هیلبرت d است و ضریب پیشرو آن ${\ displaystyle {\ frac {P (1)} {d!}}}$ .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_series_and_Hilbert_polynomial

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی