تقریب استرلینگ(1)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دوم مرداد ۱۴۰۰ | 11:23

مقایسه تقریب استرلینگ با فاکتوریل

در ریاضیات ، تقریب استرلینگ (یا فرمول استرلینگ ) یک تقریب برای فاکتوریل ها است . این یک تقریب خوب است ، حتی برای مقادیر کوچک n نیز به نتایج دقیق منجر می شود . این نام از جیمز استرلینگ گرفته شده است ، گرچه برای اولین بار توسط آبراهام دو موایر بیان شد . [1] [2] [3]

نسخه فرمولی که معمولاً در برنامه ها استفاده می شود ، می باشد

${\ displaystyle \ ln n! = n \ ln n-n + O (\ ln n)}$

(در بزرگ نماد O ، به عنوان $n \ به \ بی فایده است$ ) ، یا ، با تغییر پایه لگاریتم (به عنوان مثال در بدترین حالت پایین تر برای مرتب سازی مقایسه ) ،

${\ displaystyle \ log _ {2} n! = n \ log _ {2} nn \ log _ {2} e + O (\ log _ {2} n).}$

تعیین ثابت در اصطلاح خطای O (ln n ) نشان می دهد1/2ln (2 πn ) ، فرمول دقیق تر را ارائه می دهد:

${\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ چپ ({\ frac {n} {e}} \ راست) ^ {n} ،}$

جایی که علامت ~ به معنای مجانبی بودن دو کمیت است : نسبت آنها به 1 گرایش دارد زیرا n به بی نهایت گرایش دارد.

همچنین ممکن است مرزهای ساده ای برای همه صحیح مثبت n معتبر باشد ، نه فقط برای n بزرگ :

${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} \ n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} e ^ {- n} \ leq n! \ leq e \ n ^ {n + {\ frac { 1} {2}}} e ^ {- n}}$

برای $n = 1،2،3 ، \ نقاط$ . این موارد از مرزهای دقیق تر خطایی که در زیر بحث شده است پیروی می کنند .

فهرست

اشتقاق [ ویرایش ]

به طور تقریبی ، ساده ترین نسخه فرمول استرلینگ را می توان با تقریب حاصل از جمع به سرعت بدست آورد

${\ displaystyle \ ln n! = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ ln j}$

با یک انتگرال :

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ ln j \ تقریبی \ int _ {1} ^ {n} \ ln x \ ، {\ rm {d}} x = n \ ln n-n 1+.}$

فرمول کامل ، همراه با برآورد دقیق از خطای آن ، می تواند به شرح زیر استخراج شود. به جای تقریب n ! ، یکی لگاریتم طبیعی آن را در نظر می گیرد ، زیرا این یک عملکرد به آرامی متفاوت است :

${\ displaystyle \ ln n! = \ ln 1+ \ ln 2+ \ cdots + \ ln n.}$

سمت راست این معادله منهای

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (\ ln 1+ \ ln n) = {\ tfrac {1} {2}} \ ln n}$

تقریب توسط قاعده ذوزنقه انتگرال است

${\ displaystyle \ ln n! - {\ tfrac {1} {2}} \ ln n \ تقریبی \ int _ {1} ^ {n} \ ln x \ ، {\ rm {d}} x = n \ ln n-n + 1 ،}$

و خطا در این تقریب با فرمول اویلر-ماکلورین آورده شده است :

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ ln n! - {\ tfrac {1} {2}} \ ln n & = {\ tfrac {1} {2}} \ ln 1+ \ ln 2+ \ ln 3+ \ cdots + \ ln (n-1) + {\ tfrac {1} {2}} \ ln n \\ & = n \ ln n-n + 1 + \ sum _ {k = 2} ^ {m} { \ frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1)}} \ چپ ({\ frac {1} {n ^ {k-1}}} - 1 \ راست) + R_ {m ، n} ، \ end {تراز شده}}}$

که در آن B K است تعداد برنولی ، و R متر ، N باقی مانده مدت در فرمول اویلر-Maclaurin است. برای یافتن آن محدودیت هایی را در نظر بگیرید

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ ln n! -n \ ln n + n - {\ tfrac {1} {2}} \ ln n \ right) = 1- \ sum _ {k = 2} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1)}} + \ lim _ {n \ to \ infty} R_ {m، n}.}$

این حد را به عنوان y نشان دهید . از آنجا که باقی مانده R متر ، N در فرمول اویلر-Maclaurin ارضا

$R_ {m، n} = \ lim _ {n \ to \ infty} R_ {m، n} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {m}}} \ right) ،$

در جایی که از علامت بزرگ استفاده می شود ، ترکیبی از معادلات فوق فرمول تقریب را در فرم لگاریتمی آن بدست می آورد:

${\ displaystyle \ ln n! = n \ ln \ چپ ({\ frac {n} {e}} \ راست) + {\ tfrac {1} {2}} \ ln n + y + \ sum _ {k = 2 } ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1) n ^ {k-1}}} + O \ چپ ({\ frac {1} { n ^ {m}}} \ درست).}$

با توجه به نماد هر دو طرف و انتخاب هر عدد صحیح مثبت m ، فرمولی بدست می آید که شامل مقدار ناشناخته e y باشد. برای m = 1 ، فرمول است

${\ displaystyle n! = e ^ {y} {\ sqrt {n}} \ چپ ({\ frac {n} {e}} \ راست) ^ {n} \ چپ (1 + O \ چپ ({\ frac {1} {n}} \ راست) \ درست).}$

مقدار e y را می توان با در نظر گرفتن حد در هر دو طرف در حالی که n به سمت بی نهایت تمایل دارد و با استفاده از محصول والیس پیدا کرد ، که نشان می دهد e y = √ 2 π . بنابراین ، فرمول استرلینگ به دست می آید:

$n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ چپ ({\ frac {n} {e}} \ راست) ^ {n} \ چپ (1 + O \ چپ ({\ frac {1} {n }} \ راست) \ درست).$

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی