پارادوکس هیلبرت از هتل بزرگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه یکم مرداد ۱۴۰۰ | 18:11

هتل هیلبرت

پارادوکس هیلبرت از هتل بزرگ ( محاوره ای : هتل بینهایت پارادوکس یا هتل هیلبرت ) یک آزمایش فکری است که خاصیت ضد شهودی مجموعه های بی نهایت را نشان می دهد. نشان داده شده است که یک هتل کاملا اشغال شده با تعداد بی نهایت اتاق ممکن است هنوز مهمانان اضافی ، حتی بی نهایت بسیاری از آنها را در خود جای دهد و این روند ممکن است بی نهایت اغلب تکرار شود. این ایده توسط دیوید هیلبرت در سال 1924 در یک سخنرانی "Über das Unendliche" مطرح شد ، که مجدداً در ( Hilbert 2013 ، p.730) چاپ شد و از طریق کتاب جورج گاموو در سال 1947 یکی دو سه ... بی نهایت رایج شد . [1][2]

فهرست

پارادوکس [ ویرایش ]

هتلی فرضی را در نظر بگیرید که دارای تعداد بی شماری اتاق است که همگی اشغال شده است. ممکن است وسوسه شود که فکر کنیم هتل نمی تواند هیچ مهمان تازه واردی را در خود جای دهد ، همانطور که در مورد تعداد محدودی از اتاق ها ، که در آن اصل سوراخ کبوتر اعمال می شود ، وجود دارد.

قطعاً بسیاری از مهمانان جدید [ ویرایش ]

فرض کنید میهمان جدیدی می آید و آرزو می کند در هتل اسکان یابد. ما می توانیم (همزمان) میهمان را که در حال حاضر در اتاق 1 است به اتاق 2 ، مهمان را که در حال حاضر در اتاق 2 است به اتاق 3 و غیره منتقل کنیم و هر میهمان را از اتاق فعلی n به اتاق n 1+ منتقل کنیم. بعد از این ، اتاق 1 خالی است و می توان مهمان جدید را به آن اتاق منتقل کرد. با تکرار این روش ، می توان فضای کافی برای تعداد محدودی از میهمانان جدید را فراهم کرد. به طور کلی ، فرض کنید که مهمانان k به دنبال یک اتاق هستند. ما می توانیم همین روش را اعمال کنیم و هر میهمان را از اتاق n به اتاق n + k منتقل کنیم . به همین ترتیب ، اگر k میهمان بخواهد هتل را ترک کند ، هر میهمان از اتاق n به اتاق n - k حرکت می کند.

بی نهایت مهمان جدید [ ویرایش ]

همچنین می توان تعداد بی شماری از میهمانان جدید را پذیرفت: فقط کافی است شخصی که اتاق 1 را اشغال می کند به اتاق 2 ، مهمان اتاق 2 را به اتاق 4 و به طور کلی مهمان اتاق n را به اتاق 2 n منتقل کند (2 بار n ) ، و همه اتاق های شماره فرد (که به طور قابل شماری بی نهایت هستند) برای میهمانان جدید رایگان خواهد بود.

بی نهایت تعداد زیادی مربی با بی نهایت مهمان هر کدام [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: عملکرد جفت سازی

با چندین روش مختلف می توان تعداد بی شماری از تعداد زیادی سرنشین مسافر قابل شمارش بی نهایت را پذیرفت . بیشتر روش ها به صندلی های مربیان که از قبل شماره گذاری شده اند بستگی دارند (یا از بدیهی انتخاب قابل شمارش استفاده می کنند ). به طور کلی می توان از هر عملکرد جفت سازی برای حل این مشکل استفاده کرد. برای هر یک از این روش ها ، شماره صندلی مسافر را روی یک مربی در نظر بگیرید $n$ ، و تعداد مربی آنها باشد $ج$ ، و اعداد $n$ و $ج$ سپس به دو آرگومان تابع جفت سازی تغذیه می شوند .

روش نخست قدرت [ ویرایش ]

با فرستادن مهمان در اتاق ، اتاقهای دارای شماره عجیب را خالی کنید $من$ به اتاق $2 ^ {i}$ ، سپس بار اول مربی را در اتاق ها قرار دهید $3 ^ {n}$ ، بار مربی دوم در اتاق ها $5 ^ {n}$ ؛ برای شماره مربی $ج$ ما از اتاق ها استفاده می کنیم $p ^ {n}$ جایی که $پ$ هست $ج$ شماره اول فرد عجیب و غریب . این راه حل اتاق های خاصی را خالی می گذارد (که ممکن است برای هتل مفید نباشد یا نباشد). به طور خاص ، تمام شماره های فرد که قدرت اصلی نیستند ، مانند 15 یا 847 ، دیگر اشغال نخواهند شد. (بنابراین ، به طور دقیق ، این نشان می دهد که تعداد ورودی ها کمتر یا برابر با تعداد جای خالی ایجاد شده است. آسان تر است نشان می دهد ، با یک روش مستقل ، که تعداد ورودی ها نیز بیشتر یا برابر با تعداد است از جای خالی ، و بنابراین برابر بودن آنها ، نسبت به تغییر الگوریتم به یک تناسب دقیق.) (اگر یک مبادله شود الگوریتم به همان اندازه کار می کند $n$ و $ج$ ، اما هر کدام که انتخاب شود ، باید در یکنواخت اعمال شود.)

روش فاکتور سازی اولیه [ ویرایش ]

می توانید هر نفر را از یک صندلی مشخص قرار دهید $s$ و مربی $ج$ داخل اتاق $2 ^ {s} 3 ^ {c}$ (با فرض c = 0 برای افرادی که در هتل هستند ، 1 برای اولین مربی و غیره ...). از آنجا که هر عدد دارای فاکتور بندی اولیه منحصر به فرد است ، به راحتی می توان فهمید که همه افراد یک اتاق دارند ، در حالی که دو نفر در یک اتاق قرار نمی گیرند. به عنوان مثال ، شخصی در اتاق 2592 ( $2 ^ {5} 3 ^ {4}$ ) در چهارمین مربی ، روی صندلی 5 نشسته بود. مانند روش نخست قدرت ، این راه حل اتاق های خاصی را خالی می گذارد.

این روش همچنین می تواند به راحتی برای شب های بی نهایت ، ورودی های بی نهایت و غیره گسترش یابد ... ( $2 ^ {s} 3 ^ {c} 5 ^ {n} 7 ^ {e}$ )

روش interleaving [ ویرایش ]

برای هر مسافر ، طول های مقایسه کنید $n$ و $ج$ همانطور که در هر سیستم عددی موضعی مانند اعشاری نوشته شده است . (با هر ساکن هتل به عنوان مربی شماره 0 رفتار کنید.) اگر هر یک از این دو عدد کوتاه نیست ، صفرهای اصلی را به آن اضافه کنید تا هر دو مقدار به همان تعداد رقم داشته باشند. در هم رقم به تولید تعداد اتاق: رقم های آن خواهد بود [اولین رقم از تعداد مربی] - [اولین رقم از تعداد صندلی] - [رقم دوم تعداد مربی] - [رقم دوم از تعداد صندلی] و غیره. مهمان هتل (مربی شماره 0) در اتاق شماره 1729 به اتاق 01070209 (یعنی اتاق 1،070،209) منتقل می شود. مسافر صندلی 1234 مربی 789 به اتاق 01728394 می رود (یعنی اتاق 1،728،394).

برخلاف راه حل قدرت نخست ، این هتل هتل را به طور کامل پر می کند ، و ما می توانیم با معکوس کردن روند interleaving ، مربی و صندلی اصلی یک مهمان را بازسازی کنیم. اگر عدد فرد عجیب و غریب باشد ، ابتدا صفر اول را اضافه کنید. سپس عدد را به دو عدد جدا کنید: شماره مربی از ارقام با شماره فرد تشکیل شده و شماره صندلی با اعداد زوج است. البته ، رمزگذاری اصلی دلخواه است ، و نقش این دو عدد را می توان معکوس کرد (صندلی فرد و یکنواخت صندلی) ، به شرط آنکه به طور مداوم اعمال شود.

روش اعداد مثلثی [ ویرایش ]

کسانی که در هتل هستند به اتاق منتقل می شوند $(n ^ {2} + n) / 2$ ، یا $n$ هفتم عدد مثلثی . کسانی که مربی هستند در اتاق خواهند بود ${\ displaystyle ((c + n-1) ^ {2} + c + n-1) / 2 + n}$ ، یا $(c + n-1)$ عدد مثلثی به علاوه $n$ . به این ترتیب همه اتاق ها توسط یک و فقط یک مهمان پر می شوند.

این عملکرد جفت شدن را می توان با ساختار دادن به هتل به عنوان یک هرم با یک اتاق عمیق ، به طور بی نهایت بلند ، بصری نشان داد . بالاترین ردیف هرم یک اتاق تک است: اتاق 1؛ ردیف دوم آن اتاق های 2 و 3 است. و غیره ستونی که با مجموعه ای از سمت راست ترین اتاق ها تشکیل می شود با اعداد مثلثی مطابقت دارد. پس از پر شدن آنها (توسط ساکنان توزیع شده مجدد هتل) ، اتاق های خالی باقیمانده به شکل یک هرم کاملاً یکسان با شکل اصلی هستند. بنابراین ، روند می تواند برای هر مجموعه بی نهایت تکرار شود. انجام یک باره این کارها برای هر مربی به مراحل بی نهایت نیاز دارد ، اما با استفاده از فرمول های قبلی ، یک مهمان می تواند تعیین کند بعد از دستیابی مربی اش ، اتاق او "خواهد بود" و می تواند به راحتی به آنجا برود بلافاصله. مستقیما.

روش شمارش خودسرانه [ ویرایش ]

اجازه دهید $S: = \ {(a ، b) \ mid a ، b \ in \ mathbb {N} \}$ . $S$ قابل شمارش است از $\ mathbb {N}$ قابل شمارش است ، از این رو ممکن است عناصر آن را برشماریم $s_1 ، s_2 ، \ نقطه$ . اگر الان $s_n = (a، b)$ ، اختصاص دهید $ب$ هفتمین مهمان $آ$ مربی هفتم به $n$ اتاق هفتم (میهمانانی را که از قبل در هتل هستند به عنوان میهمانان هتل در نظر بگیرید ${\ displaystyle 0}$ مربی هفتم). بنابراین ما تابعی داریم که هر شخص را به یک اتاق اختصاص می دهیم. علاوه بر این ، این وظیفه از هیچ اتاق عبور نمی کند.

لایه های بعدی بی نهایت [ ویرایش ]

فرض کنید این هتل در کنار یک اقیانوس است و تعداد بی شماری از کشتی های اتومبیل از راه می رسند که هر یک تعداد بی نهایت مربی و هر یک تعداد بی نهایت مسافر دارند. این وضعیت شامل سه "سطح" از بی نهایت است ، و می تواند با پسوند هر یک از راه حل های قبلی حل شود.

روش فاکتور سازی اصلی را می توان با اضافه کردن یک عدد اصلی جدید برای هر لایه اضافی از بینهایت اعمال کرد ( ${\ displaystyle 2 ^ {s} 3 ^ {c} 5 ^ {f}}$ ، با $f$ کشتی)

راه حل قدرت اول را می توان با بیشتر استفاده شود به توان رساندن اعداد اول، و در نتیجه تعداد بسیار زیادی اتاق حتی با توجه به ورودی های کوچک است. به عنوان مثال ، مسافر در صندلی دوم اتوبوس سوم در کشتی دوم (آدرس 2-3-2) پرایم فرد دوم (5) را به 49 افزایش می دهد ، که نتیجه 3 بودن فرد اول (7) است به قدرت صندلی خود شماره (2). این تعداد اتاق بیش از سی رقم اعشار دارد.

روش interleaving را می توان به جای دو رشته با سه "رشته" interleaveed استفاده کرد. مسافر با آدرس 2-3-2 به اتاق 232 می رود ، در حالی که مسافر با آدرس 4935-198-82217 به اتاق شماره 008،402،912،391،587 می رود (صفرهای اصلی را می توان حذف کرد).

با پیش بینی احتمال وجود هر تعداد لایه از میهمانان بی نهایت ، هتل ممکن است بخواهد اتاق هایی را به گونه ای اختصاص دهد که هیچ مهمان دیگر نیازی به جابجایی نداشته باشد ، مهم نیست که چند مهمان پس از آن می رسد. یک راه حل این است که آدرس هر ورود را به یک عدد باینری تبدیل کنید که در آن از ابتدای هر لایه به عنوان جدا کننده استفاده شود ، در حالی که یک عدد درون یک لایه داده شده (مانند شماره مربی مهمان) با تعداد زیادی صفر نشان داده می شود. بنابراین ، یک مهمان با آدرس قبلی 2-5-1-3-1 (پنج لایه بی نهایت) به اتاق 10010000010100010 (اعشاری 295458) می رود.

به عنوان یک مرحله اضافه شده در این فرآیند ، می توان یک صفر را از هر بخش از تعداد حذف کرد. در این مثال ، اتاق جدید مهمان 101000011001 (اعشاری 2585) است. این اطمینان می دهد که هر اتاق می تواند توسط یک مهمان فرضی پر شود. اگر هیچ مجموعه مهمان بی نهایت نرسد ، فقط اتاقهایی با قدرت دو نفر اشغال می شوند.

لایه های بی نهایت لانه سازی [ ویرایش ]

اگرچه اتاقی برای تعداد محدودی از بینهایت تو در تو می توان یافت ، اما این مسئله برای تعداد بی نهایت لایه همیشه صادق نیست ، حتی اگر تعداد محدودی از عناصر در هر لایه وجود داشته باشد.

تحلیل [ ویرایش ]

پارادوکس هیلبرت یک پارادوکس عادی است : به نتیجه ای ضد شهودی منجر می شود که اثباتاً درست است. عبارات "هر اتاق میهمان است" و "دیگر هیچ مهمان قابل اسکان نیست" وقتی تعداد اتاقهای بی نهایت زیادی وجود داشته باشد معادل نیست .

در ابتدا ، به نظر می رسد این حالت امور ضد شهودی است. خصوصیات "مجموعه نامحدود اشیا" کاملاً متفاوت از "مجموعه متناهی اشیا" است. پارادوکس هتل بزرگ هیلبرت را می توان با استفاده از تئوری اعداد ناقص کانتور درک کرد . بنابراین ، در یک هتل معمولی (متناهی) که بیش از یک اتاق دارد ، تعداد اتاق های شماره فرد به وضوح از تعداد کل اتاق ها کمتر است. با این حال ، در هتل بزرگ هیلبرت که به درستی نامگذاری شده است ، تعداد اتاق های با شماره فرد کمتر از کل "تعداد" اتاق ها نیست. از نظر ریاضی، کاردینالیتی از زیر مجموعه حاوی اتاق فرد شماره همان کاردینالیتی است مجموعه ایاز همه اتاق ها در واقع ، مجموعه های نامحدود به عنوان مجموعه هایی مشخص می شوند که دارای زیر مجموعه های مناسب از همان کاردینالیته یکسان باشند. برای مجموعه های قابل شمارش (مجموعه هایی با کاردینالیته مشابه اعداد طبیعی ) این کاردینالیتی است $\ aleph _ {0}$ . [3]

بازنویسی شده ، برای هر مجموعه قابل شمارش نامحدود ، یک تابع ذهنی وجود دارد که مجموعه بی نهایت قابل شمارش را به مجموعه اعداد طبیعی ترسیم می کند ، حتی اگر مجموعه نامحدود قابل شمارش شامل اعداد طبیعی باشد. به عنوان مثال ، مجموعه اعداد گویا - آن اعدادی که می توان به عنوان ضریب عدد صحیح نوشت - حاوی اعداد طبیعی به عنوان زیرمجموعه است ، اما بزرگتر از مجموعه اعداد طبیعی نیست زیرا معقولات قابل شمارش هستند: طبیعی ها به منطقی ها.

منابع در داستان [ ویرایش ]

منطقه یادگیری بی بی سی بارها و بارها یک تئاتر آموزشی یکبار مصرف هتل هیلبرت را در سال 1996 نمایش داد که در هتل از طریق یک مهمان زن جوان فیونا نایت دیده می شود ، نام او یک مجازات محدود است. این برنامه برای آموزش بینندگان در مورد مفهوم بی نهایت طراحی شده است. [4]
رمان نور سفید توسط رودی راکر ، ریاضیدان / نویسنده داستان های علمی ، هتلی را بر اساس پارادوکس هیلبرت بنا می کند و در آن قهرمان داستان با گئورگ کانتور ملاقات می کند .
رمان علمی تخیلی استیون باکستر Transcendent بحث مختصری در مورد ماهیت بینهایت دارد ، با توضیحی بر اساس پارادوکس ، اصلاح شده برای استفاده از سربازان فضایی به جای هتل.
جفری A. لندیس ، جایزه سحابی -winning داستان کوتاه " امواج در دریای دیراک " با استفاده از هتل هیلبرت به عنوان یک توضیح که چرا یک بی نهایت کامل دریا دیراک با این حال هنوز هم می تواند ذرات را بپذیرید.
در رمان Miss Hillae Feeling for Snow توسط Peter Høeg ، قهرمان تیتر منعکس می کند که برای مدیر هتل و مهمانان تحسین برانگیز است که همه این مشکلات را انجام دهند تا فرد دیرتر بتواند اتاق خود و برخی از خلوت ها را داشته باشد.
در رمان Ivar Ekeland برای کودکان ، گربه در Numberland ، یک "آقای هیلبرت" و همسرش یک هتل بی نهایت را برای تمام عدد صحیح اداره می کنند. داستان از طریق روش مثلثی برای منطقی ها پیش می رود.
در رمان ویل ویلز The Way Inn ، درباره متلی بی نهایت بزرگ ، نام شرور هیلبرت است.
شخصیت سام در رمان "خانه غریبه" ساخته رجینالد هیل به پارادوکس هتل هیلبرت اشاره می کند.
داستان کوتاه Naum Ya. Vilenkin The Hotel فوق العاده (که اغلب اوقات به اشتباه به استانیسلاو لم نسبت داده می شود ) راهی را نشان می دهد که هنگام ورود میزبانهای بی نهایت جدید ، هتل بزرگ هیلبرت ممکن است تغییر شکل دهد.
جان رودریک و کن جنینگز در پادکست Omnibus خود در اپیزود The Hilbert Hotel Entry درباره هتل بحث کردند .
حماسه کتاب طنز The Tempest از مجموعه آقایان فوق العاده آقایان آلن مور و کوین اونیل ، شروری به نام Infinity را نشان می دهد. در داستان پیشنهاد شده است که شرور بر اساس پارادوکس هیلبرت به هتل برود. گئورگ کانتور نیز ذکر شده است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی