ادامه تبدیل لاپلاس

ادامه تبدیل لاپلاس

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دوازدهم تیر ۱۴۰۰ | 18:9

Function

Time domain
$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$

Laplace s-domain
$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$

Region of convergence

Reference

unit impulse

$\delta (t)\$

$1$

all s

inspection

delayed impulse

$\delta (t-\tau )\$

$e^{-\tau s}\$

time shift of
unit impulse

unit step

$u(t)\$

${1 \over s}$

Re(s) > 0

integrate unit impulse

delayed unit step

$u(t-\tau )\$

${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$

Re(s) > 0

time shift of
unit step

$t\cdot u(t)\$

${\frac {1}{s^{2}}}$

Re(s) > 0

integrate unit
impulse twice

n th power
(for integer n)

$t^{n}\cdot u(t)$

${n! \over s^{n+1}}$

Re(s) > 0
(n > −1)

Integrate unit
step n times

qth power
(for complex q)

$t^{q}\cdot u(t)$

${\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}$

Re(s) > 0
Re(q) > −1

nth root

${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$

${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)$

Re(s) > 0

Set q = 1/n above.

n th power with frequency shift

$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$

${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$

Re(s) > −α

Integrate unit step,
apply frequency shift

delayed nth power
with frequency shift

$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$

${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$

Re(s) > −α

Integrate unit step,
apply frequency shift,
apply time shift

exponential decay

$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$

${1 \over s+\alpha }$

Re(s) > −α

Frequency shift of
unit step

two-sided exponential decay
(only for bilateral transform)

$e^{-\alpha |t|}\$

${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$

−α < Re(s) < α

Frequency shift of
unit step

exponential approach

$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$

${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$

Re(s) > 0

Unit step minus
exponential decay

$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$

${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$

Re(s) > 0

Bracewell 1978, p. 227

$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$

${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$

Re(s) > 0

Bracewell 1978, p. 227

hyperbolic sine

$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$

${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$

Re(s) > |α|

Williams 1973, p. 88

hyperbolic cosine

$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$

${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$

Re(s) > |α|

Williams 1973, p. 88

exponentially decaying
sine wave

$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$

${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$

Re(s) > −α

Bracewell 1978, p. 227

exponentially decaying
cosine wave

$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$

${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$

Re(s) > −α

Bracewell 1978, p. 227

natural logarithm

$\ln(t)\cdot u(t)$

$-{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]$

Re(s) > 0

Williams 1973, p. 88

Bessel function
of the first kind,
of order n

$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$

${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$

Re(s) > 0
(n > −1)

Williams 1973, p. 89

$\operatorname {erf} (t)\cdot u(t)$

${\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)$

Re(s) > 0

Williams 1973, p. 89

Explanatory notes:

u(t) represents the Heaviside step function.
δ represents the Dirac delta function.
Γ(z) represents the gamma function.
γ is the Euler–Mascheroni constant.

t, a real number, typically represents time,
although it can represent any independent dimension.
s is the complex frequency domain parameter, and Re(s) is its real part.
α, β, τ, and ω are real numbers.
n is an integer.

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

پربازدیدترین مطالب

B L O G F A . C O M