جدول ، فرمول ، مثالها و خصوصیات تبدیل لاپلاس

22 اکتبر 2020 توسط Electrical4U

تبدیل لاپلاس یک تکنیک برای حل معادلات دیفرانسیل است. در اینجا معادله دیفرانسیل فرم دامنه زمانی ابتدا به معادله جبری فرم دامنه فرکانس تبدیل می شود. پس از حل معادله جبری در حوزه فرکانس ، نتیجه در نهایت به فرم حوزه زمان تبدیل می شود تا به حل نهایی معادله دیفرانسیل دست یابد. به عبارت دیگر می توان گفت که تحول لاپلاس چیزی نیست جز یک روش میانبر برای حل معادله دیفرانسیل.

در این مقاله ، ما به بحث در مورد تبدیلات لاپلاس و نحوه استفاده از آنها برای حل معادلات دیفرانسیل خواهیم پرداخت. آنها همچنین روشی را برای تشکیل یک تابع انتقال برای یک سیستم ورودی-خروجی فراهم می کنند ، اما در اینجا این بحث نمی شود. آنها با استفاده از نمودارهای بلوکی و غیره ، بلوک های اساسی ساخت را برای مهندسی کنترل فراهم می کنند.

انواع مختلفی از تحولات در حال حاضر وجود دارد اما تبدیلات لاپلاس و تبدیلات فوریه شناخته شده ترین هستند. تبدیل لاپلاس معمولاً برای ساده سازی معادله دیفرانسیل به یک مسئله جبر ساده و قابل حل استفاده می شود. حتی وقتی جبر کمی پیچیده می شود ، حل آن هنوز آسان تر از حل معادله دیفرانسیل است.

میز تبدیل لاپلاس

همیشه یک جدول در دسترس مهندس است که حاوی اطلاعات مربوط به تبدیلات لاپلاس است. نمونه ای از جدول تبدیل لاپلاس در زیر ساخته شده است. ما از جدول زیر به تغییر لاپلاس در توابع متداول مختلف خواهیم پی برد.

تعریف تبدیل لاپلاس

هنگام یادگیری تغییر شکل لاپلاس ، مهم است که نه تنها جداول - بلکه فرمول آن را نیز درک کنید.

برای درک فرمول تبدیل لاپلاس: ابتدا بگذارید f (t) تابع t باشد ، زمان برای همه t ≥ 0

سپس می توان تبدیل لاپلاس f (t) ، F (s) را به

شرط وجود انتگرال تعریف کرد. جایی که اپراتور Laplace ، s = σ + jω؛ واقعی یا پیچیده خواهد بود j = √ (-1)

معایب روش تبدیل لاپلاس

از تبدیل لاپلاس فقط می توان برای حل معادلات دیفرانسیل پیچیده استفاده کرد و مانند همه روش های عالی ، یک نقطه ضعف هم دارد که ممکن است خیلی بزرگ به نظر نرسد. یعنی فقط می توانید برای حل معادلات دیفرانسیل با ثابت های شناخته شده از این روش استفاده کنید. اگر معادله ای بدون ثابت های شناخته شده داشته باشید ، این روش بی فایده است و شما باید روش دیگری پیدا کنید.

تاریخچه تحولات لاپلاس

تحول در ریاضیات مربوط به تبدیل یک تابع به تابع دیگری است که ممکن است در یک دامنه نباشد. روش تبدیل در مواردی که به طور مستقیم قابل حل نیستند کاربرد خود را پیدا می کند. این تغییر شکل به نام ریاضیدان و ستاره شناس مشهور پیر سیمون لاپلاس که در فرانسه زندگی می کرد نامگذاری شده است.

وی از تغییر شکل مشابهی در اضافات خود به نظریه احتمالات استفاده کرد. پس از جنگ جهانی دوم محبوب شد. این تغییر شکل توسط اولیور هیویسید ، مهندس برق انگلیسی مشهور شد. دانشمندان مشهور دیگری مانند نیلز آبل ، ماتیاس لرچ و توماس برومویچ از آن در قرن نوزدهم استفاده کردند.

تاریخچه کامل تحولات لاپلاس را می توان کمی بیشتر به گذشته ، به طور خاص 1744 ردیابی کرد. این زمانی است که ریاضیدان بزرگ دیگری به نام لئونارد اولر در حال تحقیق روی انواع دیگر انتگرال بود. اما اولر خیلی دنبال آن نرفت و آن را رها کرد. یکی از تحسین کنندگان اولر به نام جوزف لاگرانژ. برخی تغییرات را در کار اولر ایجاد کرد و کارهای بیشتری انجام داد. کارهای لاگرانژ 38 سال بعد ، در سال 1782 ، توجه لاپلاس را به خود جلب کرد ، جایی که او همچنان آنجا را که اویلر متوقف کرد ، به کار خود ادامه داد. اما 3 سال بعد نگذشته بود. در سال 1785 که لاپلاس دچار نبوغ شد و روش حل معادلات دیفرانسیل را برای همیشه تغییر داد. او به کار بر روی آن ادامه داد و باز کردن قفل قدرت واقعی تبدیل لاپلاس را تا سال 1809 ادامه داد ، جایی که شروع به استفاده از بی نهایت به عنوان یک شرط جدایی ناپذیر کرد.