در هندسه ، یک (در سطح جهان) چند وجهی تصویری است موزاییک کاری از هواپیما تصویری واقعی . [1] اینها آنالوگهای تصویری چند وجهی کروی هستند - tessellation های کره - و چند وجهی toroidal - tessellation های توریدها.
از چند وجهی های الكترونیك به عنوان شاخه های بیضوی [2] یا كج شدن های بیضوی نیز یاد می شود كه از صفحه نمایشی به عنوان هندسه بیضوی (تصویری) یاد می شود ، با قیاس با كاشی كاری ، [3] مترادف "چند وجهی كروی". با این حال ، اصطلاح هندسه بیضوی هم در هندسه های کروی و هم در طرح های کره ای کاربرد دارد ، بنابراین این اصطلاح ابهاماتی را برای چند وجهی به همراه دارد.
به عنوان تجزیه های سلولی صفحه نمایشی ، آنها دارای ویژگی اولر 1 هستند ، در حالی که چند وجهی کروی دارای ویژگی اویلر 2 هستند. صلاحیت "جهانی" این است که با چند وجهی های محلی فرافکنی که در تئوری چند وجهی انتزاعی تعریف شده اند ، در تضاد باشد.
چند وجهی تصویری غیر همپوشانی ( تراکم 1) با چند وجهی کروی (معادل آن ، چند وجهی محدب ) با تقارن مرکزی مطابقت دارد . در زیر در رابطه با چند وجهی کروی و رابطه با چند وجهی سنتی شرح و گسترش داده شده است .
فهرست
مثالها [ ویرایش ]
همی مکعب یک جسم چند وجهی تصویری به طور منظم با 3 چهره مربع، 6 لبه و 4 راس است.
مشهورترین نمونه های چند وجهی فرافکنی چند وجهی منظمی منظمی ، ضریب مواد جامد افلاطونی متقارن متمرکز ، و همچنین دو کلاس بی نهایت حتی دیهدرا و هوشهدرا هستند : [4]
- مکعب همی ، {4،3} / 2
- همی هشت ضلعی ، {3،4} / 2
- Hemi-dodecahedron ، {5،3} / 2
- Hemi-icosahedron ، {3،5} / 2
- Hemi-dihedron ، {2p ، 2} / 2 ، p> = 1
- Hemi-hosohedron ، {2،2p} / 2 ، p> = 1
اینها را می توان با گرفتن ضریب چند وجهی کروی مرتبط با نقشه ضد پاد (شناسایی نقاط مخالف کره) بدست آورد.
از طرف دیگر ، چهار ضلعی تقارن مرکزی ندارد ، بنابراین "hemi-tetrahedron" وجود ندارد. در رابطه با نحوه درمان چهار ضلعی رابطه زیر را با چند وجهی کروی مشاهده کنید .
همی پلی هیدرا [ ویرایش ]
tetrahemihexahedron یک جسم چند وجهی تصویری است، و چند وجهی تصویری تنها یکنواخت است که غرق در فضای اقلیدسی 3.
اطلاعات بیشتر: Hemipolyhedron
توجه داشته باشید که پیشوند "hemi-" همچنین برای اشاره به hemipolyhedra استفاده می شود که چند وجهی یکنواخت هستند و دارای برخی چهره ها هستند که از مرکز تقارن عبور می کنند. از آنجا که اینها چند وجهی کروی را تعریف نمی کنند (زیرا آنها از مرکز عبور می کنند ، که به یک نقطه مشخص روی کره نقشه نمی رسند) ، آنها چند وجهی پروژه ای را با استفاده از نقشه ضریب از 3 فضا (منهای مبدا) تا پروژه سطح.
از میان این نیم پلی هیدرا های یکنواخت ، فقط tetrahemihexahedron از نظر توپولوژیکی یک چند وجهی تصویری است ، که می تواند توسط ویژگی اویلر و ارتباط ظاهری آن با سطح روم تأیید شود . این توسط cuboctahedron 2 پوشانده شده است ، و می توان آن را به عنوان ضریب cuboctahedron کروی با نقشه antipodal درک کرد. این تنها چند وجهی یکنواخت (سنتی) است که فرافکنی است - یعنی تنها چند وجهی طرح ریزی یکنواخت است که به عنوان یک چند وجهی سنتی یکنواخت در سه فضای اقلیدسی غوطه ور می شود .
ارتباط با چند وجهی کروی [ ویرایش ]
یک نقشه پوشش 2 به 1 وجود دارد {\ displaystyle S ^ {2} \ to \ mathbf {RP} ^ {2}}
به عنوان مثال ، پوشش 2 برابر نیم مکعب (تصویری) مکعب (کروی) است. نیمه مکعب دارای 4 رئوس ، 3 صورت و 6 لبه است که هر یک از آنها با 2 نسخه در کره پوشانده شده است و بر این اساس مکعب دارای 8 رئوس ، 6 چهره و 12 لبه است ، در حالی که هر دو این چند وجهی دارای 4.4 هستند. 4 شکل راس (3 مربع در یک راس).
بعلاوه ، گروه تقارن ( ایزومتری ) یک چند وجهی تصویری و چند وجهی کروی پوشاننده به هم مرتبط هستند: تقارن چند وجهی تصویری به طور طبیعی با تقارن چرخشی چند وجهی کروی مشخص می شود ، در حالی که گروه تقارن کامل چند وجهی کروی محصول است از گروه چرخش آن (گروه تقارن چند وجهی تصویری) و گروه چرخشی از مرتبه 2 ، {± I }. برای توضیح و سایر ابعاد به گروه تقارن در زیر مراجعه کنید .
چند وجهی کروی بدون تقارن مرکزی چند ضلعی تصویری را تعریف نمی کند ، زیرا تصاویر رئوس ، لبه ها و چهره ها با هم همپوشانی دارند. در زبان شیب بندی ، تصویر صفحه صوتی کاشی کاری درجه 2 است ، به این معنی که دو مرتبه صفحه نمایشی را می پوشاند - به جای 2 چهره در کره مربوط به 1 چهره در صفحه نمایش ، که دو بار آن را می پوشاند ، هر صورت در کره مربوط به یک چهره واحد در صفحه تصویری است ، بر این اساس آن را دو بار پوشانده است.
مکاتبات بین چند وجهی تصویری و چند وجهی کروی متقارن متمرکز را می توان به یک اتصال Galois از جمله تمام چند وجهی کروی (نه لزوما متقارن مرکزی) گسترش داد اگر کلاسها شامل کاشی درجه 2 از صفحه طرح ، که پوشش های آن چند وجهی نیست بلکه بیشتر است مرکب چند وجهییک چند وجهی متقارن غیرمرکز ، همراه با وارونه مرکزی آن (ترکیبی از 2 چند وجهی). این اتصال Galois را در سطح زیر گروههای محدود O (3) و PO (3) هندسی می کند ، که در زیر آن ضمیمه "اتحاد با معکوس مرکزی" است. به عنوان مثال ، چهار ضلعی متقارن مرکزی نیست و دارای 4 رئوس ، 6 لبه و 4 وجه است و راس شکل 3.3.3 (3 مثلث در هر راس جمع می شوند). تصویر آن در صفحه تصویری دارای 4 رأس ، 6 لبه (که با هم تلاقی می کنند) و 4 وجه (که با هم همپوشانی دارند) است ، و دو مرتبه صفحه نمایشی را می پوشاند. پوشش این هشت ضلعی ستاره ای است - معادل آن ، ترکیبی از دو چهار ضلعی - که دارای 8 رئوس ، 12 لبه و 8 چهره است و راس شکل 3.3.3.
تعمیم [ ویرایش ]
در متن پلی پتوپ انتزاعی ، یکی در عوض به " پلی پتوهای محلی فرافکنی" اشاره می کند - رجوع کنید به پلی پتوپ چکیده: توپولوژی محلی . به عنوان مثال ، سلول 11 یک "پلی پتو موضعی فرافکنی" است ، اما یک چند وجهی فرافکنی جهانی نیست ، و در واقع هیچ چند شاخه ای را telsellates نمی کند ، زیرا به صورت محلی اقلیدسی نیست ، بلکه به صورت محلی است که همانطور که از نامش برمی آید ، است.
پلی پتوپ های پیش بینی شده را می توان در بعد بالاتر به عنوان شاخه های فضای فرافکنی در یک بعد کمتر تعریف کرد. تعریف پلی پتوهای فرافکنی k بعدی در فضای فرافکنی n بعدی تا حدودی پیچیده تر است ، زیرا تعریف معمول پلی پتوها در فضای اقلیدسی مستلزم گرفتن ترکیبات محدب نقاط است ، که یک مفهوم تصویری نیست و در ادبیات به ندرت مورد توجه قرار گرفته است تعریف شده ، مانند در ( Vives & Mayo 1991 ).
گروه تقارن [ ویرایش ]
گروه تقارن یک پلی پتوپی فرافکن محدود (از این رو گسسته) است [یادداشت 1] زیرگروه متعامد فرافکنی ، PO ، و بالعکس هر زیرگروه محدود PO ، گروه تقارن یک پلی استوپ پروژه ای است با گرفتن polytope داده شده توسط تصاویر یک دامنه اساسی برای گروه
ابعاد مربوطه به شرح زیر است: فضای واقعی پروژه ای n- بعدی ، پرتابه سازی فضای اقلیدسی ( n +1) بعدی است ،
PO ( n +1) = P (O ( n +1)) = O ( n +1) / {± I }.
اگر n = 2 k زوج باشد (بنابراین n +1 = 2 k +1 فرد است) ، پس O (2 k +1) = SO (2 k +1) × {± I } به عنوان یک محصول تجزیه می شود ، بنابراین
بنابراین به طور خاص گروه تقارن چند وجهی تصویری ، گروه تقارن چرخشی چند وجهی کروی پوششی است. گروه تقارن کامل چند وجهی کروی فقط محصول مستقیم با انعکاس از مبدا است که هسته عبور از فضای فرافکنی است. صفحه تصویری غیرقابل جهت است و بنابراین هیچ مفهوم متمایزی از "ایزومتری های جهت دار با حفظ یک جهت چند ضلعی تصویری" وجود ندارد که در PSO برابر باشد (3) = PO (3).
اگر n = 2 k + 1 فرد باشد ، پس O ( n +1) = O (2 k +2) به عنوان یک محصول تجزیه نمی شود ، بنابراین گروه تقارن پلی استوپ طرح ریزی به سادگی تقارن های چرخشی کروی نیست پلیتوپ ، بلکه یک ضریب 2 به 1 از گروه تقارن کامل پلیتوپ کروی مربوطه است (گروه کروی امتداد مرکزی گروه تصویری است). بعلاوه ، در بعد تصویری عجیب و غریب (بعد بردار حتی)
به عنوان مثال ، در n = 1 (چند ضلعی ها) ، تقارن 2 r- g گروه دو طرفه Dih 2 r (از ترتیب 4 r ) است ، با گروه چرخشی گروه چرخه ای C 2 r ، اینها زیر گروه های O (2 ) و SO (2) به ترتیب. پرتابه یک r- g 2 (در دایره) r- g (در خط فرافکنی) است ، و بر این اساس گروه های ضریب ، زیر گروه های PO (2) و PSO (2) Dih r و C r هستند . توجه داشته باشید که همان مربع جابجایی زیر گروه ها برای مربع گروه Spin وگروه پین - چرخش (2) ، پین + (2) ، SO (2) ، O (2) - در اینجا بیش از آنکه به یک نصف 2 برابر برسد ، به یک پوشش 2 برابر افزایش می یابد.
سرانجام ، با قضیه شبکه یک ارتباط گالوسی بین زیر گروه های O ( n ) و زیر گروه های PO ( n ) ، به ویژه زیر گروه های محدود وجود دارد. تحت این اتصال ، گروه های تقارن پلی استوپ های متقارن متمرکز با گروه های تقارن پلی استوپ پروژه ای متناظر مطابقت دارند ، در حالی که گروه های تقارن پلی استوپ های کروی بدون تقارن مرکزی با گروه های تقارن پلی استوپ های طرح دار درجه 2 مطابقت دارند (کاشی هایی که فضای طرح را دو بار پوشش می دهند) ، پوشش آنها ( مربوط به پیوست اتصال) ترکیبی از دو پلی پتوپ است - پلی استوپ اصلی و معکوس مرکزی آن.
این گروههای تقارن باید با گروههای چند وجهی باینری مقایسه و در تضاد قرار گیرند - همانطور که Pin ± ( n ) → O ( n ) یک پوشش 2 به 1 است ، و از این رو ارتباط Galois بین گروههای چند وجهی دودویی و گروههای چند وجهی وجود دارد ، O ( n ) → PO ( n ) یک پوشش 2 به 1 است و از این رو دارای یک اتصال Galois مشابه بین زیر گروه ها است. با این حال ، در حالی که زیرگروه های گسسته O ( n ) و PO ( n ) مربوط به گروه های تقارن پلی استوپ های کروی و تصویری هستند ، از نظر هندسی با نقشه پوششی مطابقت دارند
همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید
https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_polyhedron
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.