ادامه اثر ماتریس مربع

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و نهم خرداد ۱۴۰۰ | 22:11

خصوصیات [ ویرایش ]

خصوصیات اساسی [ ویرایش ]

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \\\ نام اپراتور {tr} (c \ mathbf {A}) و = c \ اپراتور نام {tr} (\ mathbf {A}) \ پایان {تراز شده}}}$

برای تمام ماتریس های مربع A و B و همه مقیاس های c . [4] : 34

ماتریس و انتقال آن ردیابی یکسان دارند: [2] [3] [4] : 34

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ راست).}$

این امر بلافاصله از این واقعیت ناشی می شود که جابجایی یک ماتریس مربع بر عناصر مورب اصلی تأثیر نمی گذارد.

ردیابی یک محصول [ ویرایش ]

رد ماتریس مربع که حاصل دو ماتریس است را می توان به عنوان مجموع محصولات ورودی عناصر آنها بازنویسی کرد. به طور دقیق تر ، اگر A و B دو ماتریس m × n باشند ، پس:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B } ^ {\ mathsf {T}} \ راست) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {B} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {A} \ راست) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ سمت راست) = \ sum _ {i، j} a_ {ij} b_ {ij}.}$

این بدان معنی است که ردی از محصول ماتریس هایی با اندازه برابر به روشی مشابه محصول نقطه ای از بردارها کار می کند (تصور کنید A و B به عنوان بردارهای طولانی با ستونهایی که روی هم چیده شده اند). به همین دلیل ، تعمیم عملیات بردار به ماتریس (مثلاً در محاسبات ماتریس و آمار ) غالباً شامل ردی از محصولات ماتریس است.

برای ماتریس های واقعی A و B ، ردیابی محصول را می توان به اشکال زیر نوشت:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ sum _ {i، j} (\ mathbf {A} \ circ \ mathbf {B}) _ {ij}}$	(با استفاده از محصول Hadamard ، همچنین به عنوان محصول ورودی شناخته می شود).
${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {B}) ^ {\ mathsf { T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) ^ {\ mathsf {T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {B})}$	(با استفاده از عملگر برداری ).

ماتریس در یک اثری از یک محصول را می توان بدون تغییر در نتیجه روشن: اگر یک IS متر × N ماتریس و B یک IS N × متر ماتریس، پس از آن [2] [3] [4] : 34 [تبصره 1]

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A})}$

علاوه بر این ، برای ماتریس های ستون واقعی ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ، رد محصول خارجی معادل محصول داخلی است:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {b} \ mathbf {a} ^ {\ textf {T}} \ سمت راست) = \ mathbf {a} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {b }}$

خاصیت حلقوی [ ویرایش ]

به طور کلی ، ردیابی تحت تغییرهای چرخه ای ثابت نیست ، یعنی

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C} \ mathbf {D}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {C} \ mathbf { D} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {D} \ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {D} \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}).}$

این به عنوان خاصیت حلقوی شناخته می شود .

جایگزینی خودسرانه مجاز نیست: به طور کلی ،

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}). }$

با این حال ، اگر محصولی از سه ماتریس متقارن در نظر گرفته شود ، هرگونه جایگزینی مجاز است ، زیرا:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ چپ (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf { C} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A } \ mathbf {C} \ mathbf {B}) ،}$

جایی که اولین برابری به این دلیل است که ردپای ماتریس و انتقال آن برابر است. توجه داشته باشید که این مسئله به طور کلی برای بیش از سه عامل درست نیست.

ردیابی محصول ماتریسی [ ویرایش ]

بر خلاف ماده تعیین کننده ، رد محصول محصول ردیابی نیست ، یعنی ماتریس های A و B وجود دارد به طوری که

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B})}$

مثلاً اگر

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ start {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} ، \ \ \ mathbf {B} = {\ start {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ،}$

پس محصول است

${\ displaystyle \ mathbf {AB} = {\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} ،}$

و ردپاها هستند ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 1 \ neq 0 \ cdot 0 = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf { B}).}$

ردی از محصول کرونکر [ ویرایش ]

رد محصول Kronecker از دو ماتریس حاصل ردیابی آنهاست:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}).}$

توصیف کامل ردیابی [ ویرایش ]

سه ویژگی زیر:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) ، \\\ نام اپراتور {tr} (c \ mathbf {A}) و = c \ اپراتور نام {tr} (\ mathbf {A}) ، \\\ نام اپراتور {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A}) ، \ end {تراز شده}}}$

ردیابی را کاملاً به معنای زیر مشخص کنید. بگذارید f یک عملکرد خطی در فضای ماتریسهای مربع باشد که f ( xy ) = f ( yx ) را راضی کند . سپس f و tr متناسب هستند. [یادداشت 2]

عدم تغییر شباهت [ ویرایش ]

ردیابی شباهت-ثابت است ، به این معنی که برای هر ماتریس مربع A و هر ماتریس برگشت پذیر P از همان ابعاد ، ماتریس های A و P -1 AP ردیابی یکسانی دارند. این بخاطر این است که

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} \ right) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {P} ^ { -1} (\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ راست) = \ operatorname {tr} \ چپ ((\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ mathbf {P} ^ {- 1} \ راست) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {A} \ چپ (\ mathbf {P} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ راست) \ راست) = \ operatorname {tr} (\ mathbf { آ} ).}$

ردی از محصول ماتریس متقارن و مورب متقارن [ ویرایش ]

اگر است متقارن و B است چوله متقارن ، و سپس

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 0}$ .

ارتباط با ارزشهای ویژه [ ویرایش ]

ردیابی ماتریس هویت [ ویرایش ]

اثری از N × N ماتریس بعد از فضا است، یعنی N . [1]

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {I} _ {n} \ راست) = n}$

این امر منجر به تعمیم ابعاد با استفاده از ردیابی می شود .

ردیابی ماتریس بیکار [ ویرایش ]

رد یک ماتریس idempotent (یک ماتریس که 2 = ) به برابر است رتبه از .

ردیابی ماتریس توانمند [ ویرایش ]

رد ماتریس توان توان صفر است.

وقتی مشخصه میدان پایه صفر باشد ، معکوس نیز برقرار است: اگر tr ( A k ) = 0 برای کل k باشد ، A توان ضعیف دارد.

هنگامی که مشخصه n > 0 مثبت باشد ، هویت در ابعاد n یک نمونه نمونه است ، به عنوان مثال ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} ^ {k} \ right) = \ operatorname {tr} \ چپ (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n \ ekv 0}$ ، اما هویت توانایی بالایی ندارد.

ردیابی برابر است با مجموع مقادیر ویژه [ ویرایش ]

به طور کلی تر ، اگر

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (x- \ lambda _ {i} \ right) ^ {d_ {i}}}$

است چند جمله ای مشخصه یک ماتریس ، پس از آن

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} d_ {i} \ lambda _ {i}}$

یعنی رد ماتریس مربع برابر است با مجموع مقادیر ویژه شمارش شده با ضرب ها.

https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی