ریاضیات

9. حداقل و حداکثر برابری

برابری ضرایب متعامد (6.1) مسئله حداقل Eckart-Young را با یک مسئله حداکثر معادل متصل می کند. اعتبار این برابری به خصوصیات خاص هنجار ماتریس Frobenius بستگی دارد. س raisedالی که در این بخش مطرح شده این است که آیا امکان گسترش این برابری به سایر هنجارهای ماتریس یکنواخت ثابت نیز وجود دارد؟ به عبارت دیگر ، مسئله حداقل هنجار میرسکی (22/4) مربوط به مسئله حداکثر هنجار (18/8) است. قضیه های بعدی در هنگام استفاده از Shatten -norm (2.16) در شکل قدرت خود ، به این س answerال پاسخ می دهند ،

(9.1)

قضیه 33 (حداقل-حداکثر برابری) فرض کنید که . در این حالت تابع توان (9.1) برابری را برآورده می کند

(9.2)

اثبات مقدار بهینه اصطلاح به حداقل رسیده توسط قضیه 9 (قضیه میرسکی) آورده شده است ، و این مقدار برابر است . مقدار بهینه مسئله دیگر با حداکثر اصل (8.13) تعیین می شود و این مقدار برابر است .                           

اگر  تابع توان (9.1) با هنجار ردیابی (18/2) مطابقت داشته باشد. در این حالت (9.2) نتیجه زیبا زیر را به همراه دارد.

(9.3)

ما دیده ایم که مسئله به حداقل رساندن میرسکی (22/4) و حداکثر مسئله (18/8) دارای یک ویژگی مشترک هستند: مقادیر بهینه هر دو مسئله برای ماتریس های SVD بدست می آیند ، و . این مشاهده ما را قادر می سازد تا حداقل حداکثر برابری را به سایر هنجارهای یکنواخت ثابت تغییر دهیم. به عنوان مثال هنجار طیفی را در نظر بگیرید (19/2). در این حالت (9.3) با جایگزین می شود

(9.4)

بعداً به یاد بیاورید که ستون های jth ماتریس های SVD یک جفت بردار منفرد تشکیل می دهند که مربوط به یکدیگر است . در واقع ، این خاصیت است که برابری در (9.2) را تضمین می کند. این راه را برای نوع دیگری از برابری فاکتورهای متعامد هموار می کند.

قضیه 34 اجازه دهید ماتریس  و  از جفت بردار منحصر به فرد از تشکیل . به این معنا که ، و برای ، ستون j ام از این ماتریس را برآورده سازد:

، و ضریب مستطیل  یک مقدار منفرد از است . در این حالت تابع توان (9.1) برابری را برآورده می کند

(9.5)

اثبات این اصطلاح  شامل  قدرتهایی با ارزشهای منفرد است ، در حالی که اصطلاح دیگر شامل سایر  قدرتها است.                               

منبع

https://file.scirp.org/Html/2-5300515_41122.htm