ریاضیات

6. برابری امتیازات متعامد و قضیه اكارت-یانگ

در این بخش ما برابری فاکتورهای متعامد را استخراج کرده و در مورد رابطه آن با قضیه اكارت-یانگ بحث می كنیم.

قضیه 14 (برابری مقدارهای متعامد) اجازه دهید  و  یک جفت ماتریس مشخص با ستونهای متعادل داشته باشید. سپس

(6.1)

اثبات به دنبال اثبات قضیه 11 می بینیم که

(6.2)

جایی که

بنابراین ، از آنجا  که زیرماتریک اصلی است ،

نتیجه گیری 15 اجازه دهید  هر  ماتریسی باشد که ورودی های آن مطابق با قانون زیر باشد: یا  یا

. به عبارت دیگر ، از  صفر قرار دادن برخی از ورودی ها بدست می آید . سپس

(6.3)

نتیجه 16 (متعامد خارج قسمت برابری در فرم مورب) اجازه دهید  و  یک جفت داده از ماتریس با ستون orthonormal. سپس ماتریس مورب (5.10) برآورده می شود

(6.4)

در نمادهای برداری آخرین برابری شکل می گیرد

(6.5)

بیایید اکنون برگردیم تا مشکل Eckart-Young را بررسی کنیم (4.20). یکی از روشهای بیان  ماتریس ، که رتبه آن حداکثر است ، می باشد

(6.6)

که در آن ، و . متناوبا ما می توانیم  در فرم بنویسیم

(6.7)

ماتریس  مورب واقعی کجاست (شکل اول از تجزیه کامل متعامد حاصل می شود ، در حالی که فرم دوم از SVD حاصل می شود.) جایگزینی (6/6) در عملکرد هدف (20/4) منجر به عملکرد می شود . از این رو ، توسط قضیه 11 ، از دست دادن عمومیت در جایگزینی  با وجود ندارد . به همین ترتیب D را می توان با جایگزین کرد، راه حل (5.11). این مشاهدات منجر به نتیجه گیری زیر می شود.

قضیه 17 (فرمولهای معادل مسئله EckartYoung) در نوشتن مسئله Eckart-Young (4.20) در فرمها هیچ افت کلی وجود ندارد.

(6.8)

یا

(6.9)

علاوه بر این ، هر دو مشکل توسط ماتریس SVD  و حل می شوند . (برای تعریف این ماتریس ها به (2.1) - (2.7) مراجعه کنید.)                              

عملکردهای عینی آخرین مشکلات ، جناح چپ برابری فاکتورهای متعامد را تشکیل می دهد

(6.10)

و

(6.11)

این روابط حداقل مشکلات هنجار (8/6) - (9/6) را به حداکثر معادلات نرمال تبدیل می کند.

قضیه 18 (حداکثر فرمول بندی نرمال مسئله اكارت-یانگ) مسائل اكارت-یانگ (6.8) و (6.9) معادل مسایل است

(6.12)

و

(6.13)

به ترتیب. ماتریس SVD  و  حل هر دو مشکل.                                   

بگذارید ، مقادیر منفرد ماتریس ضرایب متعامد را نشان دهیم . سپس ، به وضوح ،

(6.14)

و مسئله اكارت-یانگ (6.12) را می توان دوباره نوشت

(6.15)

در بخشهای بعدی ، مشکلات گسترده این نوع را در نظر می گیریم. کلید حل مشکلات گسترده در خصوصیات ماتریس های ضریب متعامد متقارن نهفته است.

منبع

https://file.scirp.org/Html/2-5300515_41122.htm