ریاضیات

3. ضرایب مستطیل

اجازه دهید  یک  ماتریس واقعی با ، و اجازه دهید

و  یک جفت بردار غیر صفر باشید. برای ساده کردن بحث های آینده ما را فرض هایی که ، و  و  بردار واحد می باشد. به این معنا که،

با استفاده از این مفروضات ، مقدار مستطیل (1.6) به فرم دو خطی کاهش می یابد

(3.1)

در این بخش ما مختصراً حداقل ویژگیهای اساسی حداقل را که مشخصه این نوع اشکال دو خطی است ، استخراج می کنیم. در ابتدا باید یادآوری کنیم که  مسئله به حداقل رساندن یک پارامتر را حل می کند

(3.2)

این مشاهده نتیجه مستقیم برابری هاست

و

(3.3)

استدلال های مشابه نشان می دهد که  مشکلات حداقل مربعات را حل می کند

(3.4)

و

(3.5)

بعلاوه ، جایگزینی مقدار بهینه مقدار  (3.3) ، برابری مقدار مستطیل را به دست می دهد

(3.6)

که به معنی حل مسئله تقریب رتبه یک است

(3.7)

معادل حل مسئله حداکثر است

(3.8)

با استفاده از SVD  بردارهای واحد در آخرین مسئله می توان به صورت بیان شد

بنابراین ، از آن زمان

(3.9)

عملکرد هدف (3.8) را برآورده می کند

جایی که آخرین نابرابری از نابرابری کوشی شوارتز ناشی می شود. علاوه بر این ، از آنجا که ، این جفت بردار حل می شود (3.8) ، در حالی که  رضایت بخش است

(3.10)

آخرین نتیجه مشابه (1.4) است. با این حال ، در مقابل (1.5) ، در اینجا روابط متعامد بودن (3.9) بر این دلالت دارد

(3.11)

خصوصیات حداقل حداکثر ضرایب مستطیل اسکالر از قضیه Courant-Fischer بدست آمده است ، به بخش بعدی مراجعه کنید.

توجیه دیگری که در پشت تعریف پیشنهادی ضریب مستطیل وجود دارد ، ناشی از مشاهده است که ضریب ریلی مربوط به ماتریس است

و بردار  است .

از این رو در این مورد حد (1.2) حاکی از وجود یک مقدار منحصر به فرد از ، که ارضا

(3.12)

آخرین محدوده را می توان با استفاده از قوانین بازیابی زیر ، که در [ 3 ] مشتق شده است ، اصلاح کرد . بگذارید  یک بردار واحد معین باشد که راضی کند ، و اجازه دهید

و

به ترتیب برآورد مربوط به یک بردار مجرد چپ و یک مقدار واحد را ارائه دهید سپس

و (3.12) به کاهش می یابد

(3.13)

به همین ترتیب اجازه دهید  یک بردار واحد معین باشد که راضی باشد ، و بگذارید

و

به ترتیب برآورد مربوط به یک بردار منفرد و یک مقدار واحد را نشان می دهد. پس اینجا

و (3.12) به کاهش می یابد

(3.14)

این بخش را با ذکر تفاوت بین ضریب مستطیل (1.6) و مقدار ریلی تعمیم یافته (GRQ) پیشنهاد شده توسط Ostrowski به پایان خواهیم رساند [ 26 ]. اجازه دهید  یک ماتریس مربع عمومی (غیر عادی) از نظم n باشد و اجازه دهید  و  دو بردار باشد که  در جایی که  نشانگر انتقال جفت است ، راضی باشد . سپس GRQ ،

(3.15)

با هدف تقریب یک مقدار ویژه از  "مشترک" برای  و . برای بحث های دقیق در مورد GRQ و خصوصیات آن به [25-27،29،40] مراجعه کنید.

منبع

https://file.scirp.org/Html/2-5300515_41122.htm