ریاضیات

پیشرفت در ریاضیات خالص
جلد 3 شماره 9 B (2013) ، شناسه مقاله: 41122،17 صفحه DOI: 10.4236 / apm.2013.39A2002

از مقادیر ویژه تا مقادیر واحد: یک بررسی

خدمات هیدرولوژیکی ، اورشلیم ، اسرائیل

ایمیل: dax20@water.gov.il

کپی رایت © 2013 آکیا داکس. این یک مقاله دسترسی آزاد است که تحت مجوز Creative Commons Attribution توزیع شده است ، استفاده ، توزیع و تولید مثل بدون محدودیت در هر رسانه را مجاز می داند ، به شرط آنکه اثر اصلی به درستی ذکر شود.

دریافت شده در 15 آگوست 2013؛ تجدید نظر شده در 15 سپتامبر 2013 ؛ 21 سپتامبر 2013 پذیرفته شده است

کلمات کلیدی: مقادیر ویژه؛ مقادیر واحد ؛ Rayleigh Quotient؛ ماتریس های ضریب متعامد؛ برابری فاکتورهای متعامد؛ قضیه اكارت-یانگ؛ اصول Extremum Ky Fan

چکیده

تشابه بین مقادیر ویژه و مقادیر واحد چهره های بسیاری دارد. بررسی کنونی چندین نمونه از این تشبیه را گرد هم آورده است. یک مثال مربوط به شباهت بین مقدارهای ریلی متقارن و مقدارهای ریلی مستطیل است. بسیاری از خواص مفید ساقه مقادیر ویژه از قضیه مینیماکس Courant-Fischer ، از قضیه Weyl ، و نتیجه آن است. جنبه دیگر مربوط به نسخه های "مستطیلی" این قضیه ها است. مقایسه خصوصیات ماتریس های Rayleigh Quotient با ماتریس های Orthogonal Quotient موضوع را در نور جدید روشن می کند. برابری ضرایب متعامد یک نتیجه اخیر است که مسئله حداقل هنجار اكارت-یانگ را به مسئله حداكثر هنجار معادل تبدیل می كند. این مسئله پیوند شگفت انگیزی بین قضیه اكارت-یانگ و حداكثر اصل Ky Fan را آشكار می كند. می بینیم که این دو قضیه دو روی یک سکه را منعکس می کنند: اصل حداکثر کلی تری وجود دارد که هر دو قضیه به راحتی از آن گرفته می شوند. Ky Fan از اصل extremeum خود (در مورد ردیابی ماتریس ها) برای استخراج نتایج آنالوگ در تعیین ماتریس های مثبت Rayleigh Quotients استفاده کرده است. اصل جدید extremeum این نتایج را به ماتریس های مستطیل مستطیل گسترش می دهد. آوردن همه این موضوعات زیر یک سقف ، بینش جدیدی در مورد روابط جذاب بین مقادیر ویژه و ارزشهای منفرد فراهم می کند.

1. مقدمه

اجازه دهید  یک  ماتریس متقارن واقعی باشد و اجازه دهید

یک بردار غیر صفر داده شده باشد. سپس شناخته شده Rayleigh Quotient به این صورت تعریف می شود

(1.1)

یکی از انگیزه های این تعریف در مشاهده زیر نهفته است. بگذارید  یک عدد واقعی داده شود. سپس ارزش ویژه  ای از آن وجود دارد به  گونه ای که

(1.2)

و مقدار  آن مسئله حداقل هنجار را حل می کند

(1.3)

توسط داده شده است . به عبارت دیگر ، برآورد ارزش ویژه مربوط به آن را ارائه می دهد . ترکیب این برآورد با تکرار معکوس باعث تکرار تکرار مقدار ریلی می شود. از دیگر ویژگیهای مرتبط می توان به نابرابری های مینیمکس Courant-Fischer ، قضیه یکنواختی ویل و بسیاری دیگر از نتایج ناشی از این مشاهدات اشاره کرد. به طور خاص ، بزرگترین و کوچکترین مقادیر ویژه برای  ارضای

(1.4)

و

(1.5)

به ترتیب. برای بحث دقیق در مورد مقدار ریلی و خصوصیات آن ، به عنوان مثال ، [1-41] را ببینید.

س thatالی که مطالعه ما را آغاز می کند این است که چگونه تعریف Rayleigh Quotient را برای تخمین مقدار منفرد یک ماتریس مستطیل شکل عمومی گسترش دهیم ، جایی که اصطلاح "مستطیل شکل" به این معنی است که ماتریس لزوماً متقارن یا مربع نیست. به عبارت دقیق تر ، اجازه دهید  یک  ماتریس واقعی باشد ، و اجازه دهید  و  یک جفت بردار غیر صفر باشد. سپس ما به دنبال یک تابع اسکالر هستیم، و ، مثلاً ، مقدار آنها تقریباً با ارزش مفرد "متناظر" برابر است . پاسخ توسط مستطیل مستطیل داده شده است ،

(1.6)

که  نشانگر هنجار بردار اقلیدسی است. توجیهات این تعریف در بخش 3 آورده شده است. در آنجا نشان داده شده است که خصوصیات مقدار مستطیل (1.6) به خصوصیات مقدار ریلی شباهت دارد (1.1). در واقع ، همانطور که بررسی ما نشان می دهد ، شباهت فوق یک قانون کلی تر را منعکس می کند: ویژگی های بهینه ماتریس های فاضلاب متعامد شبیه ماتریس های Rayleigh Quotient هستند (گسترش می یابند).

اجازه دهید  یک  ماتریس واقعی با باشد

ستونهای عادی. بگذارید  واقعی باشد

ماتریس با  ستون های متعادل. سپس یک  ماتریس از فرم

(1.7)

ماتریس Orthogonal Quotient نامیده می شود. توجه داشته باشید که

(1.8)

بنابراین ورودی ها از  مقدار مطلق برابر با ضریب های مستطیل مربوطه برخوردارند. ماتریس های فرم (1.7) را می توان ماتریس های Rayleigh Quotient "مستطیل شکل" دید. تعریف سنتی از ماتریس های متقارن Rayleigh Quitient به ماتریس های متقارن فرم اشاره دارد

(1.9)

که در آن  و  تعریف همانطور که در بالا، به عنوان مثال، [20،30،36]. متریال های متقارن Rayleigh Quitient این فرم را بعضی اوقات مقطع می نامند. یک کلاس بزرگتر از ماتریس های Rayleigh Quotients در [ 34 ] در نظر گرفته شده است . این ماتریس ها فرم دارند

(1.10)

کجا  یک ماتریس مربع عمومی (غیر عادی) از نظم وجود دارد .  ماتریس  فرض بر این است به رتبه ستون کامل باشد، و  ماتریس  نشان دهنده یک معکوس چپ . یعنی یک ماتریس راضی کننده. ماتریس فرمها (1.9) و (1.10) نقش مهمی در روش ریلی-ریتز و در روشهای فضایی Krylov دارند ، به عنوان مثال ، [30،34]. در این زمینه ادبیات غنی در مورد مرزهای باقیمانده برای مقادیر ویژه و فضاهای ویژه وجود دارد. برای مثال ، به [19-21،30،32،34،36] مراجعه کنید. برنامه های دیگر ماتریس های Rayleigh Quotient در الگوریتم های بهینه سازی بوجود می آیند که سعی می کنند تقریب های خود را در یک منیفولد خاص Stiefel حفظ کنند ، به عنوان مثال ، [6،7،9،35].

کلاس سوم ماتریس های Rayleigh Quotient از (1.7) با گرفتن بدست می آید . این ماتریس ها در مرزهای باقیمانده برای مقادیر منفرد و فضاهای مجزا درگیر هستند ، به عنوان مثال ، [2،21].

با این حال ، بررسی ما به جهات مختلف تبدیل می شود. هدف این است که خواص بهینه سازی ماتریس های ضریب متعامد را کشف کند. مقایسه این خصوصیات با ماتریس های متقارن Rayleigh Quotients مشاهدات بسیار جالبی را نشان می دهد. در قلب این مشاهدات رابطه تعجب آور بین قضیه حداقل هنجار اكارت-یانگ [ 5 ] و حداكثر اصل Ky Fan [ 10 ] وجود دارد.

قضیه اكارت-یانگ مسئله تقریب یك ماتریس با ماتریس دیگر با درجه پایین را در نظر می گیرد. راه حل این مشکل را نیز به اشمیت نسبت می دهند [ 31] به [17 ، pp. 137،138 ~] و [33 ، p. 76] مراجعه کنید. نیاز به تقریب های سطح پایین یک ماتریس یک مشکل اساسی است که در بسیاری از برنامه ها بوجود می آید ، به عنوان مثال [3-5،8،14،15،18،33]. حداکثر اصل Ky Fan مسئله به حداکثر رساندن ردیابی یک ماتریس متقارن Rayleigh Quotient را در نظر می گیرد. همچنین یک نتیجه کاملاً شناخته شده است که کاربردهای بسیاری دارد ، به عنوان مثال ، [1،10-12 ، 16،22،28]. با این حال ، تاکنون ، این دو قضیه همیشه به عنوان نتایج مستقل و غیر مرتبط در نظر گرفته شده اند که مبتنی بر استدلال های مختلف هستند. برابری ضرایب متعامد یک نتیجه اخیر است که مسئله حداقل هنجار EckartYoung را به یک مسئله حداکثر هنجار معادل تبدیل می کند. این شباهت شگفت آور بین قضیه اكارت-یانگ و حداكثر اصل Ky Fan را آشكار می كند. می بینیم که این دو قضیه دو روی یک سکه را منعکس می کنند: یک قاعده حداکثر کلی تری وجود دارد که هر دو قضیه به راحتی از آن گرفته می شوند.

طرح بررسی ما به شرح زیر است. این کار با معرفی برخی نکات و حقایق ضروری آغاز می شود. سپس مشخص می شود که خصوصیات اساسی مقدار مستطیل (1.6) را نشان می دهد ، نشان می دهد که تعدادی از کمترین مشکلات نرمال شبیه به 1.3 را حل می کند. یک خطای محدود شده ، شبیه به (1.2) ، ما را قادر می سازد فاصله بین  و نزدیکترین مقدار منفرد را محدود کنیم .

جنبه دیگری از تشبیه بین مقادیر ویژه و مقادیر واحد در بخش 4 بررسی شده است ، که در آن نسخه های "مستطیلی" قضیه مینیمکس Courant-Fischer و قضیه Weyl را در نظر می گیریم. این راه را برای اثبات "سنتی" قضیه اكارت-یانگ هموار می كند. سپس با استفاده از قضیه تسلط Ky Fan می توان قضیه میرسکی را نتیجه گرفت.

رابطه بین ماتریس های متقارن Rayleigh Quotient و ماتریس های Orthogonal Quotients در بخش 5 مطالعه شده است. در آنجا نشان داده شده است که کمترین خصوصیات مربعات ماتریس های Orthogonal Quotient شبیه ماتریس های متقارن Rayleigh-Quotient است. یکی از پیامدهای این خصوصیات برابری ضرایب متعامد است که در بخش 6 استخراج شده است. همانطور که در بالا ذکر شد ، این برابری مسئله حداقل مربعات اكارت-یانگ را به حداكثر مسئله معادل تبدیل می كند ، كه تلاش می كند تا هنجار Frobenius از ماتریس عناصر متعامد را به حداكثر برساند فرم (1.7).

نسخه متقارن برابری فاکتورهای متعامد مسئله به حداکثر رساندن (یا به حداقل رساندن) ردپای ماتریس های متقارن رله را در نظر می گیرد. راه حل این مشکلات توسط اصول افراطی Ky Fan ارائه شده است. شباهت بین حداکثر شکل قضیه اكارت-یانگ و حداكثر اصل Ky Fan نشان می دهد كه هر دو مشاهده موارد خاصی از یك اصل افراطی كلی تر هستند. استنباط این اصل در بخش 8 انجام شده است. در آنجا نشان داده شده است که هر دو نتیجه از اصل حداکثر توسعه یافته به راحتی نتیجه می گیرند.

بررسی با بحث درباره برخی عواقب اصل توسعه یافته پایان می یابد. یک نتیجه یک برابری حداکثر حداکثر است که مسئله حداقل هنجار میرسکی را با مسئله حداکثر توسعه یافته مرتبط می کند. نوع دوم پیامدها مربوط به ردپای ماتریس های ضریب متعامد است. نتایج Ky Fan در مورد ردیابی ماتریس های متقارن ریلی [ 10 ] در مقالات اخیر وی [11،12] به محصولات مقادیر ویژه و عوامل تعیین شده گسترش یافت. اصل جدید extremeum گسترش این خصوصیات را به ماتریس های متعامد متعامد امکان پذیر می کند.

بررسی کنونی چندین نتیجه قدیمی و جدید را گرد هم آورده است. نتایج "قدیمی" با ارجاعات مناسب ارائه می شوند. در مقابل ، نتایج "جدید" بدون ارجاع به دست می آیند ، زیرا بیشتر آنها از مقاله تحقیقی اخیر [ 3 ] این نویسنده گرفته شده است. با این حال مقاله حاضر تعدادی از مشارکت ها را در بر می گیرد که در [ 3 ] موجود نیست. یک سهم در مورد گسترش قضیه 11 پشت هنجار Frobenius است. سهم دیگر حداقل و حداکثر برابری است که در بخش 9 معرفی شده است. تفاوت اصلی بین [ 3] و این مقاله در مفهوم آنها نهفته است. مقاله اول مقاله تحقیقی است که هدف آن ایجاد اصل گسترش افراطی است. این بررسی برخی از ویژگیهای جذاب تشبیه بین مقادیر ویژه و مقادیر واحد را نشان می دهد. برای این منظور ما چندین نتیجه ظاهرا غیر مرتبط را ارائه می دهیم. قرار دادن همه این مباحث در زیر یک سقف دید بهتری نسبت به این روابط دارد. توصیف نتایج بر روی ماتریس ها و بردارهای با ارزش واقعی متمرکز می شود. این کار ارائه را ساده می کند و به تمرکز بر ایده های اصلی کمک می کند. درمان این مورد باارزش کاملاً واضح است.

منبع

https://file.scirp.org/Html/2-5300515_41122.htm