ریاضیات

ساختار جبری → نظریه گروه نظریه گروه

نمایش
مفاهیم اساسی
نمایش
گروههای محدود
نمایش گروه های گسسته مشبک
نمایش
گروه های توپولوژیک و لی
نمایش
گروه های جبری
 
گروه های لی

نمایش
گروه های کلاسیک
نمایش
گروه های ساده لی
نمایش
سایر گروه های لی
نمایش
جبرها را لی بگویید
نمایش
جبر لی نیمه ساده
نمایش
نظریه بازنمایی
نمایش
گروه های لی در فیزیک
نمایش
دانشمندان واژه نامه جدول گروه های لی
در ریاضیات ، گروه خطی عمومی درجه n مجموعه ای از n × n ماتریس های معکوس پذیر ، همراه با عملکرد ضرب ماتریس معمولی است . این یک گروه را تشکیل می دهد ، زیرا محصول دو ماتریس معکوس پذیر دوباره معکوس پذیراست و وارون یک ماتریس وارون معکوس پذیراست ، ماتریس هویت به عنوان عنصر هویت گروه است. این گروه به این دلیل نامگذاری شده است که ستونهای یک ماتریس معکوس پذیر به طور خطی مستقل هستند ، از این رو بردارها / نقاطی که تعریف می کنند به صورت کلی خطی هستند، و ماتریسها در گروه خطی عمومی امتیازات را در حالت خطی کلی به نقاط در حالت خطی کلی می گیرند.
برای دقیق تر ، لازم است مشخص شود که چه نوع اشیایی ممکن است در ورودی های ماتریس ظاهر شوند. به عنوان مثال ، گروه خطی کلی روی از R (مجموعه اعداد حقیقی ) گروهی از n × n ماتریس های معکوس پذیر اعداد حقیقی است و با GL n ( R ) یا GL ( n ، R ) نشان داده می شود .
به طور کلی ، گروه خطی عمومی درجه n روی از هر میدان F (مانند اعداد مختلط ) ، یا یک حلقه R (مانند حلقه اعداد صحیح ) ، مجموعه ای از n × n ماتریس های معکوس پذیر با ورودی های F است (یا R ) ، دوباره با ضرب ماتریس به عنوان عملکرد گروه. [1] علامت گذاری معمول GL n ( F ) یا GL ( n ، F ) است یا اگر میدان قابل فهم باشد به سادگی GL ( n ) است.
به طور کلی هنوز ، گروه خطی کلی فضای بردار GL ( V ) گروه خود شکل گرایی انتزاعی است ، لزوماً به عنوان ماتریس نوشته نشده است.
گروه خطی ویژه ، نوشته شده SL ( N ، F ) یا SL N ( F )، است زیر گروه از GL ( N ، F ) متشکل از ماتریس با تعیین ، از مجموع 1
گروه GL ( n ، F ) و زیرگروههای آن اغلب گروههای خطی یا گروههای ماتریسی نامیده می شوند (گروه انتزاعی GL ( V ) یک گروه خطی است اما یک گروه ماتریسی نیست). این گروه ها در تئوری نمایش های گروهی مهم هستند و همچنین در مطالعه تقارن فضایی و تقارن فضاهای برداری به طور کلی و همچنین مطالعه چند جمله ای ها بوجود می آیند . گروه های مدولار ممکن است به عنوان خارج قسمت از گروه خطی ویژه متوجه SL (2، Z ) .
اگر n ≥ 2 باشد ، گروه GL ( n ، F ) هابلی نیست .
 
فهرست1گروه خطی عمومی یک فضای بردار2از نظر عوامل تعیین کننده3به عنوان یک گروه لی3.1مورد حقیقی3.2مورد مختلط4روی از زمینه های محدود4.1تاریخ5گروه خطی ویژه6زیر گروه های دیگر6.1زیر گروه های قطری6.2گروه های کلاسیک7گروههای مرتبط و مونوئیدها7.1گروه خطی مصوری7.2گروه وابسته7.3گروه نیمه خطی عمومی7.4مونوئید خطی کامل8گروه خطی عمومی بی نهایت9همچنین ببینید10یادداشت11لینک های خارجی
گروه خطی عمومی یک فضای برداری [ ویرایش ]
اگر V یک فضای بردار روی از میدان F باشد ، گروه خطی کلی V ، نوشته شده GL ( V ) یا Aut ( V ) ، گروه تمام اتومورفیسم های V است ، یعنی مجموعه تمام تبدیلات خطی ذهنی V → V ، همراه با ترکیب عملکردی به عنوان عملکرد گروه. اگر V دارای بعد محدود n باشد ، GL ( V ) و GL ( n ، F ) ناهمسان هستند . ایزومورفیسم متعارف نیست ؛ بستگی به انتخاب مبنا در V دارد . با توجه به اساس ( E 1 ، ...، E N ) از V و های automorphism T در GL ( V )، ما و سپس برای هر اساس بردار الکترونیکی من که
{\ displaystyle Te_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}}
برای برخی از ثابت IJ در F ؛ ماتریس مربوط به T پس از آن فقط ماتریس با ورودی های داده شده توسط a ij است .
به روشی مشابه ، برای یک حلقه جابجایی R ممکن است گروه GL ( n ، R ) به عنوان گروه خود شکل گیری یک ماژول R آزاد M از رتبه n تفسیر شود . همچنین می توان GL ( M ) را برای هر R- modul تعریف کرد ، اما به طور کلی این برای GL ( n ، R ) (برای هر n ) غیر همسان نیست .
از نظر عوامل تعیین کننده [ ویرایش ]
روی از یک میدان F ، ماتریس معکوس پذیر است اگر و فقط اگر تعیین کننده آن غیر صفر باشد. بنابراین ، یک تعریف جایگزین از GL ( n ، F ) به عنوان گروه ماتریس هایی با تعیین کننده غیر صفر است.
روی از یک حلقه مبادله R ، احتیاط بیشتری لازم است: یک ماتریس روی از R معکوس پذیراست اگر و فقط اگر تعیین کننده آن یک واحد در R باشد ، یعنی اگر تعیین کننده آن در R معکوس پذیرباشد . بنابراین ، ممکن است GL ( n ، R ) به عنوان گروهی از ماتریس ها تعیین شود که تعیین کننده های آنها واحد هستند.
روی از یک حلقه R غیر تغییر دهنده ، عوامل تعیین کننده اصلاً رفتار خوبی ندارند. در این مورد، GL
 ( N ، R ) ممکن است به عنوان تعریف گروه واحد از حلقه ماتریس M ( N ، R ) .
به عنوان یک گروه لی [ ویرایش ]
مورد حقیقی [ ویرایش ]
گروه خطی کلی GL ( n ، R ) در قسمت اعداد حقیقی یک گروه لی حقیقی از بعد n 2 است . برای دیدن این نکته ، توجه داشته باشید که مجموعه تمام n × n ماتریس حقیقی ، M n ( R ) ، یک فضای برداری حقیقی از بعد n 2 را تشکیل می دهد . زیرمجموعه GL ( n ، R ) از آن ماتریسهایی تشکیل شده است که تعیین کننده آنها غیر صفر است. عامل تعیین کننده یک نقشه چند جمله ای است و از این رو GL ( n ،R ) یک زیرگروه اشتیانی باز از M n ( R ) است ( زیرمجموعه باز غیر خالی M n ( R ) در توپولوژی زاریسکی ) ، و بنابراین [2] یک منیفولد صاف از همان بعد است.
جبر لی از GL ( N ، R ) ، نشان داده می شود{\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} ،} شامل همه n × n ماتریس حقیقی است که کموتاتور به عنوان براکت Lie عمل می کند.
به عنوان یک چند برابر، GL ( N ، R ) است متصل بلکه دو اجزای متصل : ماتریس با تعیین مثبت و کسانی که با تعیین منفی است. م componentلفه هویت ، نشان داده شده با GL + ( n ، R ) ، متشکل از ماتریس های حقیقی n × n با تعیین کننده مثبت است. این نیز یک گروه Lie از بعد n 2 است . جبر لی همان GL ( n ، R ) است .
گروه GL ( n ، R ) نیز غیرتراکمی است . "این" [3] حداکثر زیر گروه فشرده از GL ( N ، R ) است گروه متعامد O ( N )، در حالی که «" زیر گروه فشرده حداکثر GL + ( N ، R ) است گروه متعامد ویژه SO ( N ). در مورد SO ( n ) ، گروه GL + ( n ، R ) به سادگی متصل نیست(به استثنای n = 1) ، بلکه دارای یک گروه بنیادی غیر همسان با Z برای n = 2 یا Z 2 برای n > 2 است .
مورد مختلط [ ویرایش ]
گروه خطی عمومی روی از زمینه اعداد مختلط ، GL ( N ، C ) ، یک است مختلط لی گروه از ابعاد مختلط N 2 . به عنوان یک گروه لی حقیقی (از طریق تحقق) ، بعد 2 n 2 دارد . مجموعه تمام ماتریس های حقیقی یک زیر گروه حقیقی Lie را تشکیل می دهد. اینها با مطالب مطابقت دارد
GL ( n ، R ) n ، C ) 2n ، R ) ،
که دارای ابعاد حقیقی n 2 ، 2 n 2 و 4 n 2 = (2 n ) 2 هستند . مجتمع N ماتریس بعدی می تواند به عنوان حقیقی 2 مشخص N ماتریس بعدی که حفظ یک ساختار مختلط خطی - مشخص، که رفت و آمد با یک ماتریس J به طوری که J 2 = - من ، که در آن J مربوط به ضرب واحد موهومی من .
جبر لی مربوط به GL ( N ، C ) عبارت است از تمام N × N ماتریس مختلط با کموتاتور خدمت به عنوان براکت لی.
برخلاف حالت حقیقی ، GL ( n ، C ) به هم متصل است . این امر به دنبال، در بخش، از گروه ضربی از اعداد مختلط C * متصل است. منیفولد گروه GL ( n ، C ) فشرده نیست. بلکه حداکثر زیر گروه فشرده آن گروه واحد U ( n ) است. همانطور که برای U ( n ) ، منیفولد گروه GL ( n ، C ) به سادگی متصل نیست اما دارای یک گروه بنیادی غیر همسان با Z است .
روی از زمینه های محدود [ ویرایش ]

جدول Cayley از GL (2 ، 2) ، که با S 3 نامتقارن است .
اگر F یک میدان محدود با عناصر q باشد ، بنابراین ما گاهی اوقات به جای GL ( n ، F ) GL ( n ، q ) را می نویسیم . وقتی ص اول است، GL ( N ، P ) است گروه automorphism بیرونی از گروه Z ص N ، و همچنین های automorphism گروه زیرا، Z ص N آبلی است، به طوری که گروه automorphism داخلی بی اهمیت است.
ترتیب GL ( n ، q ) :
{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) \ \ cdots \ (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}
این را می توان با شمردن ستونهای احتمالی ماتریس نشان داد: ستون اول می تواند چیزی به جز بردار صفر باشد. ستون دوم می تواند چیزی به جز مضرب ستون اول باشد. و به طور کلی، ک هفتم ستون می تواند هر بردار نه در طول خطی از اولین K - 1 ستون. در علامت گذاری آنالوگ q ، این است{\ displaystyle [n] _ {q}! (q-1) ^ {n} q ^ {n \ را انتخاب کنید 2}} .
به عنوان مثال ، GL (3 ، 2) دارای نظم (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168 است . این گروه اتومورفیسم هواپیمای Fano و از گروه Z 2 3 است و همچنین به عنوان PSL شناخته می شود (2 ، 7) .
به طور کلی ، می توان نقاط Grassmannian را نسبت به F شمرد : به عبارت دیگر تعداد زیر فضاهای یک بعد مشخص k . این فقط مستلزم یافتن ترتیب زیرگروه تثبیت کننده یکی از چنین فضاهای زیر و تقسیم به فرمولی است که توسط قضیه تثبیت کننده مدار ارائه شده است .
این فرمول به متصل تجزیه شوبرت از Grassmannian، و س -analogs از اعداد بتی از Grassmannians مختلط است. این یکی از سرنخ های منتهی به حدس های ویل بود .
توجه داشته باشید که در حد q ↦ 1 ترتیب GL ( n ، q ) به 0 می رسد! - اما تحت روش صحیح (تقسیم بر ( س - 1) N ) ما می بینیم که آن منظور از گروه متقارن (مقاله را ببینید Lorscheid) است - در فلسفه از زمینه با یک عنصر ، یک نتیجه تفسیر گروه متقارن به عنوان گروه خطی کلی روی میدان با یک عنصر: S n ≅ GL ( n ، 1) .
تاریخچه [ ویرایش ]
گروه خطی عمومی در یک زمینه اصلی ، GL ( ν ، p ) ، ساخته شد و ترتیب آن توسط Évariste Galois در سال 1832 ، در آخرین نامه خود (به شوالیر) و دوم (از سه) نسخه خطی پیوست محاسبه شد ، که وی در زمینه مطالعه گروه Galois از معادله عمومی نظم p ν . [4]
گروه خطی ویژه [ ویرایش ]
مقاله اصلی: گروه خطی ویژه
گروه خطی ویژه ، SL ( n ، F ) ، گروهی از تمام ماتریس ها با تعیین کننده 1 است. آنها از این نظر خاص هستند که روی یک زیرمجموعه قرار می گیرند - آنها یک معادله چند جمله ای را برآورده می کنند (همانطور که تعیین کننده چند جمله ای در ورودی ها است). ماتریس های این نوع گروهی را تشکیل می دهند به عنوان تعیین کننده حاصلضرب دو ماتریس محصول تعیین کننده های هر ماتریس است. SL ( N ، F ) است زیر گروه نرمال از GL ( N ، F ) .
اگر ما ارسال F × برای گروه ضربی از F (به استثنای 0)، پس از آن تعیین شده است همریخت گروه
DET: GL ( N ، F ) → F × .
که صوری است و هسته آن گروه خطی خاصی است. لذا با اولین قضیه ریخت ، GL ( N ، F ) / SL ( N ، F ) است ریخت به F × . در واقع ، GL ( n ، F ) را می توان به عنوان یک محصول نیمه مستقیم نوشت :
GL ( N ، F ) = SL ( N ، F ) ⋊ F ×
گروه خطی ویژه نیز گروه مشتق شده (همچنین به عنوان زیر گروه کموتاتور شناخته می شود) GL ( n ، F ) (برای یک میدان یا حلقه تقسیم F ) به شرطی که{\ displaystyle n \ neq 2} یا k این زمینه با دو عنصر نیست . [5]
هنگامی که F است R و یا C ، SL ( N ، F ) است زیر گروه لی از GL ( N ، F ) از ابعاد N 2 1 - . جبر لی از SL ( N ، F ) عبارت است از تمام N × N ماتریس روی از F با اضمحلال اثری . براکت Lie توسط کموتاتور داده می شود .
ویژه گروه خطی SL ( N ، R ) می تواند به عنوان گروهی از مشخص حجم و گرایش حفظ تبدیلهای خطی R N .
گروه SL ( n ، C ) به سادگی متصل است ، در حالی که SL ( n ، R ) متصل نیست. SL ( n ، R ) همان گروه بنیادی GL + ( n ، R ) را دارد ، یعنی Z برای n = 2 و Z 2 برای n > 2 .
زیرگروههای دیگر [ ویرایش ]
زیرگروههای قطری [ ویرایش ]
مجموعه تمام ماتریس های قطری معکوس پذیر ، یک زیر گروه GL ( n ، F ) ناهمسان از ( F × ) n را تشکیل می دهد . در زمینه هایی مانند R و C ، اینها مطابق با نجات فضا هستند. به اصطلاح اتساع و انقباض
ماتریس عددی یک ماتریس قطری است که ثابت برابر است ماتریس . مجموعه ای از تمام غیر صفر ماتریس اسکالر به شکل یک زیر گروه از GL ( N ، F ) ریخت به F × . این گروه است مرکز از GL ( N ، F ) . به طور خاص ، این یک زیر گروه طبیعی و عادی است.
مرکز SL ( N ، F ) است که به سادگی مجموعه ای از تمام ماتریس اسکالر با واحد تعیین کننده، و ریخت به گروه است N هفتم ریشه های وحدت در زمینه F .
گروه های کلاسیک [ ویرایش ]
گروههای به اصطلاح کلاسیک زیرگروههای GL ( V ) هستند که نوعی شکل دو خطی را در فضای بردار V حفظ می کنند . اینها شاملگروه متعامد ، O ( V ) ، که فرم درجه دوم غیر منحط را در V حفظ می کند ،گروه متقارن ، Sp ( V ) ، که فرم متقارن را در V (یک فرم متناوب غیر منحط) حفظ می کند ،گروه واحد ، U ( V ) ، که وقتی F = C باشد ، یک فرم ازادگر غیر خراب در V را حفظ می کند .
این گروه ها نمونه های مهمی از گروه های لی را ارائه می دهند.
گروهها و مونوئیدهای مرتبط [ ویرایش ]
گروه خطی مصوری [ ویرایش ]
مقاله اصلی: گروه خطی پیش فرض
تصویری گروه خطی PGL ( N ، F ) و ویژه تصویری خطی گروه PSL ( N ، F ) هستند خارج قسمت از GL ( N ، F ) و SL ( N ، F ) توسط خود مراکز (که از تقسیم عددی بر مضرب از تشکیل ماتریس هویت در آن) آنها کنش القا شده در فضای تصویری مرتبط هستند .
گروه وابسته [ ویرایش ]
مقاله اصلی: گروه Affine
گروه affine به AFF ( N ، F ) یک IS پسوند از GL ( N ، F ) توسط گروهی از ترجمه در F N . می توان آن را به عنوان یک محصول نیمه مستقیم نوشت :
Aff ( n ، F ) = GL ( n ، F ) ⋉ F n
که در آن GL ( n ، F ) به صورت طبیعی بر روی F n عمل می کند . گروه آیفین را می توان به عنوان گروهی از تمام تغییر شکل های آیفین فضای آفرین زیربنای فضای بردار F n مشاهده کرد .
یکی ساختارهای مشابهی برای سایر زیر گروه های گروه خطی عمومی دارد: به عنوان مثال ، گروه ویژه وابسته زیرگروه تعریف شده توسط محصول نیمه مستقیم ، SL ( n ، F ) ⋉ F n است و گروه Poincare گروه وابسته ای است که به گروه لورنتس ، O (1 ، 3 ، F ) ⋉ F n .
گروه نیمه خطی عمومی [ ویرایش ]
مقاله اصلی: گروه نیمه خطی عمومی
گروه عمومی semilinear ΓL ( N ، F ) گروه از همه است invertible تبدیلاتsemilinear ، و شامل GL. تحول نیمه خطی تحولی است که به صورت خطی "تا یک پیچ و تاب" است ، به معنی "تا یک شکل دهی درست در یک ضرب اسکالر". می توان آن را به عنوان یک محصول نیمه مستقیم نوشت:
ΓL ( n ، F ) = Gal ( F ) ⋉ GL ( n ، F )
جایی که Gal ( F ) گروه Galois از F (روی از میدان اصلی آن ) است ، که با عمل Galois در ورودی ها بر روی GL ( n ، F ) عمل می کند.
علاقه اصلی ΓL ( N ، F ) است که در ارتباط تصویری گروه semilinear PΓL ( N ، F ) (که شامل PGL ( N ، F )) است گروه collineation از فضای تصویری ، برای N > 2 ، و نقشه در نتیجه semilinear مورد توجه هندسه فرافکنی هستند .
مونوئید خطی کامل [ ویرایش ]

این بخش نیاز به توسعه با: خواص اساسی دارد. با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( آوریل 2015 )
اگر یکی حذف محدودیت تعیین بودن غیر صفر، ساختار جبری ناشی است مونوئید ، معمولا به نام مونوئید کامل خطی ، [6] [7] [8] اما گاهی اوقات نیز کامل خطی نیم گروه ، [9] مونوئید خطی عمومی [10] [11] و غیره در واقع یک نیم گروه معمولی است . [7]
گروه خطی عمومی بی نهایت [ ویرایش ]
گروه کلی خطی بی نهایت و یا پایدار گروه کلی خطی است حد مستقیم از اجزاء GL ( N ، F ) → GL ( N + 1، F ) به عنوان بالا سمت چپ بلوک ماتریس . این یا با GL ( F ) یا با GL (∞ ، F ) مشخص می شود ، و همچنین می تواند به عنوان ماتریس های بی نهایت وارون قابل تفسیر باشد که فقط در بسیاری از مکان ها با ماتریس هویت متفاوت است. [12]
این در تئوری K جبری برای تعریف K 1 استفاده می شود ، و به لطف تناوب Bott ، از یک توپولوژی برتر برخوردار است .
این نباید با فضای اپراتورهای معکوس پذیر (محدود) در فضای هیلبرت ، که یک گروه بزرگتر است ، و از نظر توپولوژیکی بسیار ساده تر ، یعنی انقباضی ، اشتباه گرفته شود - به قضیه کوپر مراجعه کنید .
همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

لیست گروههای ساده متناهیSL 2 ( R )تئوری بازنمایی SL 2 ( R )نمایندگی گروه های لی کلاسیک