ریاضیات

چگونه می توان فرکانس مقادیر ویژه ماتریس لاپلاس را درک کرد

مفهوم "فرکانس" را نمی توان بصورت تصویری در فضای نمودار نمایش داد ، بنابراین درک انتزاعی از معادله ویژه است .

ماتریس لاپلاسیل ازnمقادیر ویژه غیر منفی واقعی، در جهت صعودی ازλ1≤λ2≤...≤λn ، و کوچکترین ارزش ویژهλ1=0،زیراnمقدار ویژه مربوط به بردار همه یک بعد 0 است.

اگرچه بردارهای ویژه ماتریس منحصر به فرد نیستند ، اما مقادیر ویژه منحصر به فرد هستند. این بدان معناست که اگرچه بردارهای ویژه ما با یکدیگر متعامد هستند لزوماً حاوی همه 1 بردار نیستند ، اما مقادیر ویژه ماتریس باید مقادیر ویژه مربوط به هر 1 بردار را داشته باشد.

ثابت كردن:

لبه عنوان ... تعریف شده استل=د-آ، در میان آنهادماتریس درجه است ، هر عنصر ازدمن=Σج=1nآمنج. وآاین ماتریس مجاورت است ، زیرا ما در اینجا در مورد یک نمودار ساده بحث می کنیم ، یعنی هیچ ارتباطی بین خود و خود وجود ندارد ، بنابراین مورب 0 است. دیده می شود کهلحاصل جمع هر ردیف 0 است. بنابراین می توانید:

(34)ل(11⋮1)=0→

اثبات شده

دیده می شود که مقادیر ویژه ماتریس لاپلاسیλ1=0در آن زمان ، هر م componentلفه بردار ویژه ثابت است و دامنه تغییر آن 0 است ؛ ما آن را بدون اثبات می دهیم ، هرچه مقدار ویژه متغیر باشد به دامنه تغییر هر یک از اجزای بردار ویژه مربوط می شود. در سیگنال کلی تبدیل فوریه ، اساس این استه-جwتی، یکی از آنهاwمی تواند فرکانس را نشان دهد ،wهرچه بزرگتر ، سریعتر تغییر پایه می یابد. تشبیه به تبدیل فوریه نمودار ، مقدار ویژه فرکانس را نشان می دهد ، مقدار ویژه بزرگتر ، پایهتومنسریعتر تغییر.

از درک ریاضی معادله ویژه:

(35)لتو=λتو

تعیین شده توسط نمودارnدر فضای بعدی ، مقدار ویژه کوچکتر استλمننمایش: ماتریس لاپلاسلپایه مربوطهتومنهرچه م theلفه و "اطلاعات" در قسمت بالا کمتر باشد ، البته قسمت کم فرکانس نیز قابل چشم پوشی است.

در حقیقت ، فشرده سازی تصویر یک اصل است ، در آن تجزیه ماتریس پیکسل ها ، مقادیر ویژه کوچک (فرکانس پایین) همه 0 می شوند ، کاهش بعد PCA یکسان است ، پس از تجزیه ماتریس کوواریانس در آن ، قبل از حذف نزولی بردارهای اختصاصی مربوط به مقادیر ویژه K به عنوان "محور مختصات" جدید استفاده می شود.

نظریه Graph Convolution به پایان رسیده است ، بیایید Grav Convolution Network را شروع کنیم

منبع

https://zdaiot.com/MachineLearning/%E5%9B%BE%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/%E5%9B%BE%E5%8D%B7%E7%A7%AF%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/