ادامه قانون L'Hôpital

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم دی ۱۳۹۹ | 12:17

قضیه Stolz – Cesàro [ ویرایش ]

قضیه Stolz-Cesàro یک نتیجه مشابه شامل محدودیت توالی است ، اما از عملگرهای اختلاف محدود به جای مشتقات استفاده می کند .

تفسیر هندسی [ ویرایش ]

منحنی صفحه ای را در نظر بگیرید که مختصات x آن با g ( t ) و مختصات y آن f ( t ) داده می شود ، با هر دو عملکرد پیوسته ، یعنی مکان نقاط فرم [ g ( t ) ، f ( t )] . فرض کنید f ( c ) = g ( c ) = 0 . حد نسبتf ( t )/g ( t )همانطور که t → c شیب مماس منحنی در نقطه [ g ( c ) ، f ( c )] = [0،0] است . مماس منحنی در نقطه [ g ( t ) ، f ( t )] توسط [ g ′ ( t ) ، f ′ ( t )] داده می شود . قانون L'Hôpital سپس می گوید که شیب منحنی زمانی که t = c باشد محدوده شیب مماس به منحنی با نزدیک شدن منحنی به مبدا است ، به شرطی که این تعریف تعریف شود.

اثبات قانون L'Hôpital [ ویرایش ]

مورد خاص [ ویرایش ]

اثبات قاعده L'Hôpital در مواردی که f و g به طور مداوم در نقطه c قابل تفکیک باشند و یک حد محدود پس از دور اول تمایز پیدا شود ، ساده است. این دلیل بر قاعده کلی L'Hôpital نیست زیرا در تعریف آن سخت تر است ، و هم مستلزم تفاوت است و هم اینکه عدد c یک عدد واقعی است. از آنجا که بسیاری از توابع مشترک مشتقات مداوم دارند (به عنوان مثال چند جمله ای ، سینوس و کسینوس ، توابع نمایی ) ، این یک مورد خاص است که قابل توجه است.

فرض کنید f و g به طور مداوم با یک عدد واقعی c قابل تفکیک باشند ، ${\ displaystyle f (c) = g (c) = 0}$ ، و آن $g '(c) \ neq 0$ . سپس

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & \ lim _ {x \ به c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ به c} {\ frac {f (x) -0} {g (x) -0}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x) -f (c)} {g (x) -g (c)} } \\ [6pt] = {} و \ lim _ {x \ to c} {\ frac {\ چپ ({\ frac {f (x) -f (c)} {xc}} \ راست)} {{ سمت چپ ({\ frac {g (x) -g (c)} {xc}} \ راست)}} = {\ frac {\ lim \ حدود _ {x \ به c} \ چپ ({\ frac {f ( x) -f (c)} {xc}} \ سمت راست)} {\ lim \ limit _ {x \ to c} \ چپ ({\ frac {g (x) -g (c)} {xc}} \ راست)}} = {\ frac {f '(c)} {g' (c)}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g' (x)} }. \ end {تراز شده}}}$

این از تعریف تفاوت ضریب مشتق حاصل می شود. آخرین برابری از تداوم مشتقات در c حاصل می شود . حد در نتیجه گیری مشخص نیست زیرا ${\ displaystyle g '(c) \ neq 0}$ .

اثبات نسخه کلی تر قانون L'Hôpital در زیر آورده شده است.

اثبات عمومی [ ویرایش ]

دلیل زیر به دلیل تیلور (1952) است ، جایی که اثبات یکپارچه برای0/0 و ∞/∞اشکال نامشخص آورده شده است. تیلور خاطرنشان می کند که اثبات مختلفی را می توان در Lettenmeyer (1936) و Wazewski (1949) یافت .

بگذارید f و g توابع رضایت بخش فرضیه های بخش فرم عمومی باشند . اجازه دهید ${\ mathcal {I}}$ فاصله باز در فرضیه با نقطه پایانی c باشد. با توجه به اینکه ${\ displaystyle g '(x) \ neq 0}$ در این فاصله و g مداوم است ، ${\ mathcal {I}}$ می تواند کوچکتر انتخاب شود تا g غیر صفر روشن باشد ${\ mathcal {I}}$ . [d]

برای هر x در فاصله ، تعریف کنید $m (x) = \ inf {\ frac {f '(\ xi)} {g' (\ xi)}}$ و $M (x) = \ sup {\ frac {f '(\ xi)} {g' (\ xi)}}$ مانند $\ xi$ در تمام مقادیر بین x و c محدوده دارد . (علامت inf و sup نشانگر حقیر و برتر است .)

از تفاوت f و g به بعد ${\ mathcal {I}}$ ، قضیه مقدار میانگین کوشی اطمینان حاصل می کند که برای هر دو نقطه مشخص x و y در ${\ mathcal {I}}$ وجود دارد $\ xi$ بین x و y به گونه ای که ${\ frac {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} = {\ frac {f '(\ xi)} {g' (\ xi)}}$ . در نتیجه، $m (x) \ leq {\ frac {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} \ leq M (x)$ برای تمام انتخاب های متمایز x و y در فاصله. مقدار g ( x ) - g ( y ) برای x و y متمایز همیشه بدون صفر است ، زیرا اگر اینگونه نبود ، قضیه مقدار میانگین به معنای وجود p بین x و y است به طوری که g ' ( p ) = 0

تعریف m ( x ) و M ( x ) به یک عدد واقعی گسترش یافته منجر می شود و بنابراین امکان دارد مقادیر ± on را به خود اختصاص دهند. در دو حالت زیر ، m ( x ) و M ( x ) مرزهای نسبت را تعیین می کنندf/g.

مورد 1: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0}$

برای هر x در فاصله ${\ mathcal {I}}$ ، و نقطه y بین x و c ،

${\ displaystyle m (x) \ leq {\ frac {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} = {\ frac {{\ frac {f (x)} { g (x)}} - {\ frac {f (y)} {g (x)}}} {1 - {\ frac {g (y)} {g (x)}}}} \ leq M (x )}$

و در نتیجه به عنوان Y نزدیک ج ، ${\ frac {f (y)} {g (x)}}$ و ${\ frac {g (y)} {g (x)}}$ صفر شود ، و همینطور

${\ displaystyle m (x) \ leq {\ frac {f (x)} {g (x)}} \ leq M (x).}$

مورد 2: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} | g (x) | = \ infty}$

برای هر x در این بازه ${\ mathcal {I}}$ ، تعریف کردن است $S_ {x} = \ {y \ mid y {\ text {بین}} x {\ text {و}} c \} است$ . برای هر نقطه y بین x و c ،

${\ displaystyle m (x) \ leq {\ frac {f (y) -f (x)} {g (y) -g (x)}} = {\ frac {{\ frac {f (y)} { g (y)}} - {\ frac {f (x)} {g (y)}}} {1 - {\ frac {g (x)} {g (y)}}}} \ leq M (x ).}$

با نزدیک شدن y به c ، هر دو ${\ frac {f (x)} {g (y)}}$ و ${\ frac {g (x)} {g (y)}}$ صفر شود ، و بنابراین

${\ displaystyle m (x) \ leq \ liminf _ {y \ in S_ {x}} {\ frac {f (y)} {g (y)}} \ leq \ limsup _ {y \ in S_ {x} } {\ frac {f (y)} {g (y)}} \ leq M (x).}$

حد برتر و حد تحتانی از وجود حد لازم استf/g هنوز تاسیس نشده است.

همچنین این مورد است که

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} m (x) = \ lim _ {x \ to c} M (x) = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(x)}} = L.}$

[e] و

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} \ left (\ liminf _ {y \ in S_ {x}} {\ frac {f (y)} {g (y)}} \ right) = \ liminf _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$ و

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} \ left (\ limsup _ {y \ in S_ {x}} {\ frac {f (y)} {g (y)}} \ right) = \ limsup _ {x \ به c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}.}$

در حالت 1 ، قضیه فشار این مسئله را ثابت می کند ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$ وجود دارد و برابر با L است . در مورد 2 ، و قضیه فشار دوباره ادعا می کند که ${\ displaystyle \ liminf _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ limsup _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g ( x)}} = L}$ ، و بنابراین حد

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$ وجود دارد و برابر با L است . این نتیجه ای است که باید اثبات می شد.

در حالت 2 این فرض که f ( x ) از بینهایت واگراست در اثبات استفاده نشده است. این بدان معنی است که اگر | g ( x ) | همانطور که x به c نزدیک می شود و f و g هر دو فرضیه های قاعده L'Hypital را برآورده می کنند ، به بی نهایت تغییر می کنند ، بنابراین هیچ فرض دیگری در مورد حد f ( x ) لازم نیست: حتی ممکن است حد f ( x ) وجود ندارد. در این حالت ، قضیه L'Hopital در واقع نتیجه سزارو-استولز است. [10]

در مورد وقتی | g ( x ) | همانطور که x به c نزدیک می شود و f ( x ) به یک حد محدود در c نزدیک می شود ، پس قانون L'Hôpital قابل اجرا خواهد بود ، اما کاملاً ضروری نیست ، زیرا حساب حد اساسی نشان می دهد که حد f ( x ) / g ( X ) به عنوان X نزدیک ج باید صفر باشد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی