ادامه قانون L'Hôpital

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم دی ۱۳۹۹ | 12:16

عوارض [ ویرایش ]

گاهی اوقات قانون L'Hôpital منجر به پاسخ در تعداد محدودی از مراحل نمی شود مگر اینکه برخی مراحل اضافی اعمال شود. مثالها شامل موارد زیر است:

دو برنامه می تواند منجر به بازگشت به عبارت اصلی شود که باید ارزیابی شود:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = \ lim _ { x \ to \ infty} {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = \ lim _ {x \ to \ infty} { \ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = \ cdots.}$

با جایگزینی می توان با این وضعیت مقابله کرد $y = e ^ {x}$ و توجه داشته باشید که y به بی نهایت می رود همانطور که x به بی نهایت می رود. با این جایگزینی ، این مشکل را می توان با استفاده از یک قانون واحد حل کرد:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = \ lim _ { y \ to \ infty} {\ frac {y + y ^ {- 1}} {yy ^ {- 1}}} = \ lim _ {y \ to \ infty} {\ frac {1-y ^ {- 2 }} {1 + y ^ {- 2}}} = {\ frac {1} {1}} = 1.}$

همچنین می توان عدد و مخرج را در هر ضرب کرد ${\ displaystyle e ^ {x} ،}$ در آن مرحله قانون L'Hôpital می تواند بلافاصله با موفقیت اعمال شود: [7]

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = \ lim _ { x \ to \ infty} {\ frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}} = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {2e ^ {2x}} { 2e ^ {2x}}} = 1.}$

تعداد زیادی از برنامه های دلخواه ممکن است هرگز منجر به پاسخ حتی بدون تکرار نشوند:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x ^ {\ frac {1} {2}} + x ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {x ^ { \ frac {1} {2}} - x ^ {- {\ frac {1} {2}}}}} = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {{\ frac {1} {2 }} x ^ {- {\ frac {1} {2}}} - {\ frac {1} {2}} x ^ {- {\ frac {3} {2}}}} {{\ frac {1 } {2}} x ^ {- {\ frac {1} {2}}} + {\ frac {1} {2}} x ^ {- {\ frac {3} {2}}}}} = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {- {\ frac {1} {4}} x ^ {- {\ frac {3} {2}}} + {\ frac {3} {4}} x ^ {- {\ frac {5} {2}}}} {- {\ frac {1} {4}} x ^ {- {\ frac {3} {2}}} - {\ frac {3} {4}} x ^ {- {\ frac {5} {2}}}}} = \ cdots.}$

در این حالت با تغییر شکل متغیرها نیز می توان با این وضعیت کنار آمد $y = {\ sqrt {x}}$ :

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x ^ {\ frac {1} {2}} + x ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {x ^ { \ frac {1} {2}} - x ^ {- {\ frac {1} {2}}}}} = \ lim _ {y \ to \ infty} {\ frac {y + y ^ {- 1} } {yy ^ {- 1}}} = \ lim _ {y \ to \ infty} {\ frac {1-y ^ {- 2}} {1 + y ^ {- 2}}} = {\ frac { 1} {1}} = 1.}$

باز هم ، یک روش جایگزین ضرب عدد و مخرج در است $x ^ {1/2}$ قبل از اعمال قانون L'Hôpital:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x ^ {\ frac {1} {2}} + x ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {x ^ { \ frac {1} {2}} - x ^ {- {\ frac {1} {2}}}}} = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {x-1 }} = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {1}} = 1.}$

یک دام مشترک استفاده از قانون L'Hôpital با برخی استدلال های دایره ای برای محاسبه یک مشتق از طریق ضریب اختلاف است . به عنوان مثال ، وظیفه اثبات فرمول مشتق شده برای قدرت x را در نظر بگیرید :

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}} = nx ^ {n-1}.}$

با اعمال قانون L'Hôpital و یافتن مشتقات با توجه به h از عدد و مخرج ، همانطور که انتظار می رفت ، nx n -1 را نشان می دهد. با این حال ، افتراق عدد به استفاده از واقعیتی که در حال اثبات است نیاز داشت. این نمونه ای از پرسش از س ، ال است ، زیرا ممکن است تصور شود که این واقعیت در طول اثبات اثبات نشده است.

مثالهای متقابل وقتی مشتق مخرج صفر باشد [ ویرایش ]

ضرورت شرطی که ${\ displaystyle g '(x) \ neq 0}$ نزدیک $ج$ ${\ displaystyle f (x) = x + \ sin x \ cos x}$ ${\ displaystyle g (x) = f (x) e ^ {\ sin x}.}$ پس هیچ محدودیتی برای وجود ندارد $f (x) / g (x)$ مانند $x \ به \ بی اعتبار.$ با این حال،

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}} & = {\ frac {2 \ cos ^ {2} x} {(2 \ cos ^ {2 } x) e ^ {\ sin x} + (x + \ sin x \ cos x) e ^ {\ sin x} \ cos x}} \\ [4pt] & = {\ frac {2 \ cos x} {2 \ cos x + x + \ sin x \ cos x}} e ^ {- \ sin x} ، \ end {تراز شده}}}$

که به 0 گرایش دارد $x \ به \ بی اعتبار$ . نمونه های دیگری از این نوع توسط رالف پ. بواس جونیور یافت شد . [9]

سایر اشکال نامشخص [ ویرایش ]

سایر اشکال نامشخص ، مانند 1 ∞ ، 0 0 ، ∞ 0 ، 0 · ∞ و ∞ - ∞ ، گاهی اوقات می توانند با استفاده از قانون L'Hôpital ارزیابی شوند. به عنوان مثال ، برای ارزیابی حدی که شامل ∞ - باشد ، تفاوت دو عملکرد را به یک ضریب تبدیل کنید:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ lim _ {x \ به 1} \ چپ ({\ frac {x} {x-1}} - {\ frac {1} {\ ln x}} \ راست) & = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x \ cdot \ ln x-x + 1} {(x-1) \ cdot \ ln x}} & \ quad (1) \\ [6pt] & = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {\ ln x} {{\ frac {x-1} {x}} + \ ln x}} & \ quad (2) \\ [6pt] & = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x \ cdot \ ln x} {x-1 + x \ cdot \ ln x}} & \ quad (3) \\ [6pt] & = \ lim _ { x \ به 1} {\ frac {1+ \ ln x} {1 + 1 + \ ln x}} & \ quad (4) \\ [6pt] & = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {1+ \ ln x} {2+ \ ln x}} \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} ، \ end {تراز شده}}}$

جایی که قانون L'Hôpital هنگام رفتن از (1) به (2) و دوباره هنگام رفتن از (3) به (4) اعمال می شود.

قانون L'Hôpital را می توان با استفاده از لگاریتم برای "حرکت دادن نما به پایین" در اشکال نامعین شامل نمایانگرها به کار برد. در اینجا مثالی با فرم نامشخص 0 0 آورده شده است :

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {x} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} e ^ {\ ln (x ^ {x})} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} e ^ {x \ cdot \ ln x} = e ^ {\ lim \ حدود _ {x \ تا 0 ^ {+}} (x \ cdot \ ln x)} .}$

جابجایی حد در داخل تابع نمایی معتبر است زیرا تابع نمایی مداوم است . حالا نماینده $ایکس$ "به پایین منتقل شده" است. حد ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ cdot \ ln x}$ به شکل نامشخص 0 · ∞ است ، اما همانطور که در یک مثال بالا نشان داده شده است ، قانون l'H'pital برای تعیین اینکه

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ cdot \ ln x = 0.}$

بدین ترتیب

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {x} = e ^ {0} = 1.}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی