ریاضیات

• λ·A = { λ·a : a ∈ A };
• A + B = { a + b : a ∈ A, b ∈ B }; .
• A·B = { a·b : a ∈ A, b ∈ B };.

• p = inf A if and only if for every ε > 0 there is an x ∈ A with x < p + ε, and x ≥ p for every x ∈ A.
• p = sup A if and only if for every ε > 0 there is an x ∈ A with x > p − ε, and x ≤ p for every x ∈ A.
• If A ⊆ B then inf A ≥ inf B and sup A ≤ sup B.

• If λ ≥ 0, then inf ( λ·A ) = λ·( inf A ) and sup ( λ·A ) = λ·( sup A ).
• If λ ≤ 0, then inf ( λ·A ) = λ·( sup A ) and sup ( λ·A ) = λ·( inf A ).
• inf ( A + B ) = ( inf A ) + ( inf B ), and sup ( A + B ) = ( sup A ) + ( sup B ).
• If A, B are nonempty sets of positive real numbers then inf ( A·B ) = ( inf A )·( inf B ); similarly for suprema.[2]

Duality[edit]

• x ≤ y in Pop if and only if x ≥ y in P,

then infimum of a subset S in P equals the supremum of S in Pop and vice versa.

For subsets of the real numbers, another kind of duality holds: inf S = −sup(−S), where −S = { −s | s ∈ S }.

Examples[edit]

Infima[edit]

Suprema[edit]

In the last example, the supremum of a set of rationals is irrational, which means that the rationals are incomplete.

One basic property of the supremum is

for any functionals f and g.