لم ژ زیگ زاگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هفتم آذر ۱۳۹۹ | 19:18

در ریاضیات ، به ویژه جبر همولوژیک ، لماژ زیگ زاگ وجود یک توالی دقیق دقیق خاص را در گروه های همسانی مجموعه های زنجیره ای خاص تأیید می کند . نتیجه در هر گروه آبلیان معتبر است .

فهرست

بیانیه [ ویرایش ]

در یک دسته آبلیایی (مانند دسته گروههای آبلیان یا دسته فضاهای برداری در یک زمینه خاص ) ، اجازه دهید $({\ mathcal {A}} ، \ partial _ {{\ bullet}}) ، ({\ mathcal {B}} ، \ partial _ {{\ bullet}} ')$ و مجتمع های زنجیره ای هستند که در توالی دقیق کوتاه زیر قرار می گیرند :

$0 \ longrightarrow {\ mathcal {A}} {\ stackrel {\ alpha} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {B}} {\ stackrel {\ beta} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {C}} \ longrightarrow 0$

چنین توالی مختصر برای نمودار جابجایی زیر است :

که در آن ردیف ها توالی دقیق هستند و هر ستون یک مجموعه زنجیره ای است .

لگای زیگزاگ ادعا می کند که مجموعه ای از نقشه های مرزی وجود دارد

$\ delta _ {n}: H_ {n} ({\ mathcal {C}}) \ longrightarrow H _ {{n-1}} ({\ mathcal {A}}) ،$

که توالی زیر را دقیق می کند:

نقشه ها $\ alpha _ {*} ^ {{}}$ و $\ beta _ {*} ^ {{}}$ نقشه های معمول ناشی از همسانی هستند. نقشه های مرزی $\ دلتا _ {n} ^ {{}}$ در زیر توضیح داده شده است. نام لما از رفتار "زیگ زاگ" نقشه ها در توالی ناشی می شود. نسخه متفاوتی از لگام زیگ زاگ به طور معمول به عنوان " لمام مار " شناخته می شود (این گواه اصل اثبات لگم زیگ زاگ است که در زیر آورده شده است).

ساخت نقشه های مرزی [ ویرایش ]

نقشه ها $\ دلتا _ {n} ^ {{}}$ با استفاده از یک استدلال تعقیب نمودار استاندارد تعریف می شوند. اجازه دهید $c \ در C_ {n}$ نماینده یک کلاس در $H_ {n} ({\ mathcal {C}})$ ، بنابراین. دقیق بودن ردیف به این معنی است $\ beta _ {n} ^ {{}}$ الزامی است ، بنابراین باید برخی وجود داشته باشد $ب \ در B_ {n}$ با $\ beta _ {n} ^ {{}} (b) = c$ . با تغییر در نمودار ،

$\ beta _ {{n-1}} \ partial _ {n} '(b) = \ partial _ {n}' '\ beta _ {n} (b) = \ partial _ {n}' '(c) = 0$

با دقت ،

$\ partial _ {n} '(b) \ in \ ker \ beta _ {{n-1}} = {\ mathrm {im}} \ alpha _ {{n-1}}.$

بنابراین ، از آن زمان $\ alpha _ {{n-1}} ^ {{}}$ تزریقی است ، یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد $a \ in A _ {{n-1}}$ به طوری که $\ alpha _ {{n-1}} (a) = \ partial _ {n} '(b)$ . این یک چرخه است ، از $\ alpha _ {{n-2}} ^ {{}}$ تزریقی است و

$\ alpha _ {{n-2}} \ partial _ {{n-1}} (a) = \ partial _ {{n-1}} '\ alpha _ {{n-1}} (a) = \ partial _ {{n-1}} '\ partial _ {n}' (b) = 0 ،$

از آنجا که $\ جزئی ^ {2} = 0$ . به این معنا که، $\ partial _ {{n-1}} (a) \ in \ ker \ alpha _ {{n-2}} = \ {0 \}$ . این یعنی $آ$ یک چرخه است ، بنابراین نشان دهنده یک کلاس در است $H _ {{n-1}} ({\ mathcal {A}})$ . اکنون می توانیم تعریف کنیم

${\ displaystyle \ delta _ {} ^ {} [c] = [a].}$

با تعیین نقشه های مرزی ، می توان مشخص کرد که آنها به خوبی تعریف شده اند (یعنی مستقل از گزینه های c و b ). اثبات از استدلالهای تعقیب نمودار مشابه با موارد فوق استفاده می کند. از این قبیل استدلال ها همچنین استفاده می شود تا نشان دهد توالی در همسانی دقیقاً در هر گروه وجود دارد.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

توالی مایر-ویتوریس

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Zig-zag_lemma

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی