فضای قابل اندازه گیری

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه چهارم آذر ۱۳۹۹ | 21:37

در ریاضیات ، یک فضای قابل اندازه گیری یا فضای بورل [1] یک موضوع اساسی در تئوری اندازه گیری است . این شامل یک مجموعه و یک جبر σ است ، که زیر مجموعه هایی را که اندازه گیری می شوند تعریف می کند .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

یک مجموعه را در نظر بگیرید $ایکس$ و یک جبر ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ بر $ایکس$ . سپس تاپل ${\ displaystyle (X ، {\ mathcal {A}})}$ یک فضای قابل اندازه گیری نامیده می شود. [2]

توجه داشته باشید که در مقابل یک فضای اندازه ، هیچ اندازه گیری برای یک فضای قابل اندازه گیری مورد نیاز است.

مثال [ ویرایش ]

به مجموعه نگاه کنید

${\ displaystyle X = \ {1،2،3 \}.}$

یکی ممکنه $\ سیگما$ -جبر خواهد بود

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ {X ، \ emptyset \}.}$

سپس ${\ displaystyle (X ، {\ mathcal {A}} _ {1})}$ یک فضای قابل اندازه گیری است. یک امکان دیگر $\ سیگما$ -جبر می تواند نیرویی باشد که روشن می شود $ایکس$ :

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2} = {\ mathcal {P}} (X).}$

با استفاده از این ، فضای دوم قابل اندازه گیری در مجموعه $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید ${\ displaystyle (X ، {\ mathcal {A}} _ {2})}$ .

فضاهای قابل اندازه گیری مشترک [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ متناهی یا قابل شمارش نامحدود است ، $\ سیگما$ جبر بسیاری از زمان ها است مجموعه قدرت در $ایکس$ ، بنابراین ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}$ . این منجر به فضای قابل اندازه گیری می شود ${\ displaystyle (X ، {\ mathcal {P}} (X))}}$ .

اگر $ایکس$ یک فضای توپولوژیکی است ، $\ سیگما$ -جبر معمولاً Borel است $\ سیگما$ -جبر ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ، بنابراین ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {B}} (X)}$ . این منجر به فضای قابل اندازه گیری می شود ${\ displaystyle (X ، {\ mathcal {B}} (X))}$ که برای همه فضاهای توپولوژیکی مانند اعداد واقعی مشترک است $\ mathbb {R}$ .

ابهام با فضاهای بورل [ ویرایش ]

اصطلاح Borel space برای انواع مختلف فضاهای قابل اندازه گیری استفاده می شود. می تواند رجوع شود

هر فضای قابل اندازه گیری ، بنابراین مترادف یک فضای قابل اندازه گیری است که در بالا تعریف شده است [1]
یک فضای قابل اندازه گیری که بورل با یک زیر مجموعه قابل اندازه گیری از اعداد واقعی ناهمسان است (دوباره با Borel $\ سیگما$ -جبر) [3]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_space

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی