نشانگر تیسوت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سیزدهم مهر ۱۳۹۹ | 12:11

طرح Behrmann با indicatrices تیسوت است

در نقشه برداری ، یک indicatrix تیسوت است ( تیسوت indicatrix ، بیضی تیسوت است ، تیسوت بیضی ، بیضی اعوجاج ) (الجمع: "indicatrices تیسوت است") یک تدبیر ریاضی توسط ریاضیدان فرانسوی ارائه شده است نیکولاس آگوست تیسوت در سال 1859 و 1871 به منظور مشخص تحریف محلی با توجه به ترسیم نقشه . این هندسه این است که نتایج از طرح دایره از بینهایت کوچک شعاع از یک مدل هندسی منحنی، مانند یک جهان، بر روی یک نقشه. تیسوت ثابت کرد که نمودار حاصل بیضی استمحورهای آن دو جهت اصلی را نشان می دهد که در آن مقیاس در آن نقطه از نقشه حداکثر و حداقل است.

یک نشانگر منفرد اعوجاج را در یک نقطه واحد توصیف می کند. از آنجا که اعوجاج در نقشه متفاوت است ، به طور کلی شاخص های Tissot در سراسر نقشه قرار می گیرند تا تغییر فضایی اعوجاج را نشان دهند. یک طرح مشترک آنها را در هر تقاطع از نصف النهارها و موازی های نمایش داده شده قرار می دهد. این نمودارها در مطالعه پیش بینی نقشه مهم هستند ، هم برای نشان دادن تحریف و هم برای فراهم آوردن مبنایی برای محاسبات که میزان اعوجاج را دقیقاً در هر نقطه نشان می دهد.

یک مکاتبات یک به یک بین Tissot indicatrix و سنسور متریک تبدیل مختصات طرح ریزی نقشه وجود دارد. [1]

فهرست

توضیحات [ ویرایش ]

نظریه تیسوت در زمینه تجزیه و تحلیل نقشه برداری توسعه یافت . به طور کلی مدل هندسی نشان دهنده زمین است و به شکل کره یا بیضوی در می آید .

شاخص های Tissot نشان دهنده تحریف های خطی ، زاویه ای و منطقه ای نقشه ها است:

نقشه تحریف فاصله (اعوجاج خطی) هر کجا که خارج قسمت بین طول یک خط بینهایت کوتاه به عنوان بر روی سطح طرح ریزی بینی، و به عنوان آن را در اصل به مدل زمین است، انحراف از 1. خارج قسمت است به نام فاکتور مقیاس . تا زمانی که طرح ریزی در نقطه مورد نظر مطابقت نداشته باشد ، عامل مقیاس با جهت اطراف نقطه متفاوت است.
یک نقشه زاویه ها را تحریف می کند هر کجا که زاویه های اندازه گیری شده در مدل زمین در پیش بینی حفظ نشوند. این امر با بیضی از اعوجاج بیان می شود که دایره ای نیست.
یک نقشه مناطق را تحریف می کند هر کجا مناطقی که در مدل زمین اندازه گیری نشده اند ، در این طرح محافظت نشوند. این با بیضوی اعوجاج بیان می شود که مناطق آن در نقشه متفاوت است.

در نقشه های مطابق ، جایی که هر نقطه زوایای پیش بینی شده از مدل هندسی را حفظ می کند ، شاخص های Tissot همه دایره های اندازه هستند که با توجه به مکان متفاوت هستند ، احتمالاً با جهت گیری های مختلف (با توجه به چهار ربع چهار دایره ای که به نصف النهار تقسیم می شوند و موازی آنها ). در پیش بینی های مساحت مساوی ، جایی که نسبت سطح بین اجسام حفظ می شود ، شاخص های Tissot همه دارای یک منطقه هستند ، اگرچه اشکال و جهت گیری آنها با توجه به مکان متفاوت است. در پیش بینی های دلخواه ، هر دو منطقه و شکل در نقشه متفاوت است.

نشان دادننقشه های جهانی با مقایسه شاخص های Tissot در برخی پیش بینی های معمول

ریاضیات [ ویرایش ]

نشانگر تیسوت

در تصویر مجاور ، ABCD دایره ای با مساحت واحد است که در مدل کروی یا بیضوی کره زمین تعریف شده است و A′B′C′D ′ نشانگر Tissot است که از برآمدگی آن بر روی صفحه حاصل می شود. بخش OA در OA و بخش OB به OB ed تبدیل می شود. مقیاس خطی در امتداد این دو جهت حفظ نمی شود ، زیرا OA not با OA برابر نیست و OB ′ برابر با OB نیست. زاویه MOA ، در دایره واحد واحد ، در زاویه M′OA ′ در بیضی اعوجاج تبدیل می شود. از آنجا که M′OA ′ ≠ MOA ، ما می دانیم که یک اعوجاج زاویه ای وجود دارد. مساحت دایره ABCD ، طبق تعریف ، برابر با 1 است. از آنجا که مساحت بیضی A′B less کمتر از 1 است ، تحریف مساحت رخ داده است.

در برخورد با یک نشانگر Tissot ، مفاهیم مختلف شعاع وارد عمل می شوند. اولین شعاع بی نهایت دایره اصلی است. بیضی اعوجاج حاصل نیز دارای شعاع بی نهایت کم خواهد بود ، اما با ریاضیات دیفرانسیل ، نسبت این مقادیر بی نهایت محدود است. بنابراین ، به عنوان مثال ، اگر بیضی اعوجاج حاصل از آن همان اندازه بی نهایت کوچک کره باشد ، شعاع آن 1 در نظر گرفته می شود. در آخر ، اندازه ای که شاخص برای بررسی انسان بر روی نقشه ترسیم می کند ، اختیاری است. هنگامی که آرایه ای از شاخص ها بر روی نقشه ترسیم می شود ، همه آنها با همان مقدار دلخواه مقیاس بندی می شوند تا اندازه آنها به تناسب درست باشد.

مانند M در نمودار ، محورها از O در امتداد موازی و در امتداد نصف النهار ممکن است هنگام پیش بینی تغییر طول و چرخش داشته باشند. در ادبیات معمول است که مقیاس را در امتداد نصف النهار به عنوان h و مقیاس را در امتداد موازی به عنوان k نشان می دهیم ، برای یک نقطه مشخص. به همین ترتیب ، ممکن است زاویه بین نصف النهار و موازی از 90 درجه به مقداری دیگر تغییر کرده باشد. در واقع ، مگر اینکه نقشه مطابق باشد ، ممکن است تمام زوایا به جز زاویه دیگری که با محور نیمه بزرگ و نیمه جزئی بیضی متمرکز شده است ، تغییر کرده باشند. یک زاویه خاص بیشترین تغییر را خواهد کرد و مقدار حداکثر تغییر به عنوان تغییر شکل زاویه ای شناخته می شود ، که به عنوان θ oted نشان داده می شود. عموماً کدام یک از زاویه ها و جهت گیری آنها به طور برجسته در تحلیل اعوجاج شکل نمی گیرد. این ارزش تغییر است که قابل توجه است. مقادیر h ، k و θ as را می توان به صورت زیر محاسبه کرد. [2] : 24

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} h & = {\ frac {1} {R}} {\ sqrt {{{\ چپ ({\ frac {\ جزئی x} {\ جزئی \ varphi}} \ راست)}} ^ {2}} + {{\ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} \ right)} ^ {2}}}} \\ k & = {\ frac {1} {R \ cos \ varphi}} {\ sqrt {{{\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial \ lambda}} \ right)} ^ {2}} + {{\ left ({\ frac {\ partial y } {\ partial \ lambda}} \ right)} ^ {2}}}} \\\ sin \ theta '& = {\ frac {1} {R ^ {2} hk \ cos \ varphi}} \ چپ ( {{\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial x} {\ partial \ lambda}} - {\ frac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial y} {\ partial \ lambda}}} \ right) \\ a '& = {\ sqrt {{h ^ {2}} + {k ^ {2}} + 2hk \ sin \ theta'}} \\ b '& = {\ sqrt {{h ^ {2}} + {k ^ {2}} - 2hk \ sin \ theta'}} \\ a & = {\ frac {a '+ b'} {2 }} \\ b & = {\ frac {a'-b '} {2}} \\ s & = hk \ sin \ theta' \\\ امگا و = 2 \ arcsin \ سمت چپ ({\ frac {b '} { آ'}} \ راست) \ end {تراز شده}}}$

جایی که φ و λ عرض و طول جغرافیایی هستند ، x و y مختصات پیش بینی شده اند ، و R شعاع کره زمین است.

در نتیجه ، a و b نمایانگر فاکتورهای مقیاس حداکثر و حداقل در نقطه هستند ، که همان چیزی است که در محورهای نیمه بزرگ و نیمه ساز بیضوی تیسوت وجود دارد. s مقدار تورم یا تورم در منطقه را نشان می دهد (همچنین توسط a ∙ b داده می شود ) ؛ و ω نشان دهنده حداکثر اعوجاج زاویه ای در نقطه است.

برای فرافکنی مرکاتور و هر پیش بینی متقارن دیگر ، h = k و θ ′ = 90 ° به طوری که هر بیضی به دایره ای تبدیل می شود که شعاع h = k برابر با فاکتور مقیاس در هر جهت در آن نقطه است.

برای فرافکنی سینوسی و هر طرح مساحت مساوی دیگر ، محور نیمه اصلی بیضی متقابل محور نیمه جزئی است به طوری که هر بیضی دارای همان مساحت است حتی اگر خارج از مرکز آنها متفاوت باشد.

برای پیش بینی های دلخواه ، نه شکل و نه ناحیه بیضی ها به طور کلی با یکدیگر ارتباط ندارند. [3]

مشتق جایگزین برای محاسبه عددی [ ویرایش ]

روش دیگر برای درک و استخراج شاخص Tissot از طریق هندسه افتراقی سطوح است. [4] این روش خود را به خوبی به روشهای عددی مدرن می بخشد ، زیرا پارامترهای نشانگر Tissot را می توان با استفاده از تجزیه ارزش واحد (SVD) و تقریب اختلاف مرکزی محاسبه کرد .

فاصله افتراقی روی بیضی [ ویرایش ]

اجازه دهید یک نقطه ${\ کلاه {X}}$ ، در یک بیضی به صورت زیر پارامتر می شود:

${\ displaystyle {\ hat {X}} (\ lambda، \ phi) = \ left [{\ start {matrix} N \ cos {\ lambda} \ cos {\ phi} \\ - N (1-e ^ { 2}) \ sin {\ phi} \\ N \ sin {\ lambda} \ cos {\ phi} \ end {matrix}} \ right]}$

جایی که ${\ displaystyle (\ lambda ، \ phi)}$ به ترتیب طول و عرض جغرافیایی هستند ، و $ن$ تابعی از شعاع استوایی است ، $R$ ، و غیر عادی بودن ، $ه$ :

${\ displaystyle N = {\ frac {R} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} (\ phi)}}}}}$

عنصر فاصله روی کره ، $ds$ با اولین شکل اساسی تعریف می شود :

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ begin {bmatrix} d \ lambda & d \ phi \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix} d \ lambda \\ d \ phi \ end {bmatrix}}}$

ضرایب آن به صورت زیر تعریف می شود:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & E = {\ frac {\ جزئی {{کلاه {X}}} {\ جزئی \ lambda}} {\ boldsymbol {\ cdot}} {\ frac {\ جزئی {\ کلاه { X}}} {\ partial \ lambda}} \\ & F = {\ frac {\ partial {\ hat {X}}} {\ partial \ lambda}} {\ boldsymbol {\ cdot}} {\ frac {\ partial {\ hat {X}}} {\ partial \ phi}} \\ & G = {\ frac {\ partial {\ hat {X}}} {\ partial \ phi}} {\ boldsymbol {\ cdot}} {\ frac {\ partial {\ hat {X}}} {\ partial \ phi}} \\\ end {تراز شده}}}$

محاسبه مشتقات لازم:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ hat {X}}} {\ partial \ lambda}} = \ left [{\ start {matrix} -N \ sin {\ lambda} \ cos {\ phi} \\ 0 \\ N \ cos {\ lambda} \ cos {\ phi} \ end {matrix}} \ right] \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial {\ hat {X}}} {\ partial \ phi}} = \ left [{\ start {matrix} -M \ cos {\ lambda} \ sin {\ phi} \\ - M \ cos {\ phi} \\ M \ sin {\ lambda} \ sin {\ phi} \ پایان {matrix}} \ right]}$

جایی که $م$ تابعی از شعاع استوایی است ، $R$ ، و خارج از مرکز بودن بیضی ، $ه$ :

${\ displaystyle M = {\ frac {R (1-e ^ {2})} {(1-e ^ {2} \ sin ^ {2} (\ phi)) ^ {\ frac {3} {2} }}}}$

جایگزینی این مقادیر به اولین شکل اساسی فرمول فاصله اساسی روی بیضوی را می دهد:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (N \ cos {\ phi} \ right) ^ {2} d \ lambda ^ {2} + M ^ {2} d \ phi ^ {2}}$

این نتیجه مربوط به اندازه گیری فاصله روی سطح بیضی به عنوان تابعی از سیستم مختصات کروی است.

تبدیل عنصر فاصله [ ویرایش ]

به یاد بیاورید که هدف شاخص Tissot این است که چگونه فواصل کره هنگام نقشه برداری روی یک سطح مسطح تغییر می کند. به طور خاص ، رابطه مورد نظر تبدیل است ${\ mathcal {T}}$ که فاصله دیفرانسیل را در امتداد پایه های سیستم مختصات کروی به فاصله دیفرانسیل در امتداد پایه های سیستم مختصات دکارتی بر روی نقشه مسطح مربوط می کند. این را می توان با رابطه بیان کرد:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} dx \\ dy \ end {bmatrix}} = {\ mathcal {T}} {\ start {bmatrix} ds (\ lambda، 0) \\ ds (0، \ phi) \ پایان {bmatrix}}}$

جایی که ${\ displaystyle ds (\ lambda ، 0)}$ و ${\ displaystyle ds (0 ، \ phi)}$ محاسبه را نشان می دهد $ds$ در امتداد محورهای طولی و جغرافیایی به ترتیب. محاسبه ${\ displaystyle ds (\ lambda ، 0)}$ و ${\ displaystyle ds (0 ، \ phi)}$ می توان مستقیماً از معادله بالا انجام داد ، بازده:

${\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} & ds (\ lambda ، 0) = N \ cos (\ phi) d \ lambda \\ & ds (0 ، \ phi) = MD \ phi \ end {تراز شده}}}$

برای اهداف این محاسبه ، مفید است که این رابطه را به عنوان یک عمل ماتریس بیان کنید:

${\ displaystyle {\ start {bmatrix} d \ lambda \\ d \ phi \ end {bmatrix}} = K {\ start {bmatrix} ds (\ lambda، 0) \\ ds (0، \ phi) \ end { bmatrix}} ، \ qquad K = {\ start {bmatrix} {\ frac {1} {N \ cos {\ phi}}} و 0 \\ 0 & {\ frac {1} {M}} \ end {bmatrix}} }$

اکنون ، برای ارتباط فواصل سطح بیضی با فاصله در صفحه ، باید سیستم های مختصات را با هم مرتبط کنیم. از قانون زنجیره ای می توان نوشت:

${\ displaystyle {\ start {bmatrix} dx \\ dy \ end {bmatrix}} = J {\ begin {bmatrix} d \ lambda \\ d \ phi \ end {bmatrix}}}$

جایی که J ماتریس یعقوبی است :

${\ displaystyle J = {\ start {bmatrix} {\ frac {\ partial x} {\ partial \ lambda}} & {\ frac {\ partial x} {\ partial \ phi}} \\ {\ frac {\ partial y} {\ partial \ lambda}} و {\ frac {\ partial y} {\ partial \ phi}} \ end {bmatrix}}}$

اتصال ماتریس برای $d \ lambda$ و $d \ فی$ تعریف تبدیل را ارائه می دهد ${\ mathcal {T}}$ نشان داده شده توسط شاخص:

${\ displaystyle {\ start {bmatrix} dx \\ dy \ end {bmatrix}} = JK {\ begin {bmatrix} ds (\ lambda، 0) \\ ds (0، \ phi) \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}} = JK}$

این تبدیل ${\ mathcal {T}}$ نقشه برداری را از سطح بیضی به صفحه محصور می کند. بیان شده در این فرم ، SVD می تواند برای تقسیم اجزای مهم تحول محلی استفاده شود.

محاسبه عددی و SVD [ ویرایش ]

به منظور استخراج اطلاعات تحریف مورد نظر ، در هر مکان مشخص در سیستم مختصات کروی ، مقادیر $ک$ می توان مستقیم محاسبه کرد. یعقوبیان ، $ج$ ، می تواند از طریق تابع نگاشت به صورت تحلیلی محاسبه شود ، اما تقریب تقارن مقادیر در هر مکان روی نقشه با استفاده از اختلافات مرکزی اغلب ساده تر است . پس از محاسبه این مقادیر ، SVD می تواند برای هر ماتریس تحول اعمال شود تا اطلاعات اعوجاج محلی را استخراج کند. به یاد داشته باشید ، از آنجا که اعوجاج محلی است ، هر مکان بر روی نقشه تغییر شکل خاص خود را خواهد داشت.

تعریف SVD را بخاطر بسپارید:

${\ displaystyle \ mathrm {SVD} ({\ mathcal {T}}) = U \ Lambda V ^ {T}}$

این تجزیه تحول است ، ${\ mathcal {T}}$ ، به یک چرخش در دامنه منبع (یعنی سطح بیضی) ، $V ^ {T}$ ، مقیاس گذاری در اساس ، $\ لامبدا$ ، و چرخش دوم بعدی ، $تو$ . برای درک تحریف ، اولین چرخش بی ربط است ، زیرا محورهای دایره را می چرخاند اما هیچ تاثیری در جهت گیری نهایی بیضی ندارد. عملیات بعدی ، که توسط ماتریس مقدار منحصر به فرد مورب نشان داده می شود ، دایره را در امتداد محورهای خود مقیاس بندی می کند و آن را به بیضی تغییر شکل می دهد. بنابراین ، مقادیر منفرد نمایانگر عوامل مقیاس در امتداد محورهای بیضی است. اولین مقدار منفرد ، محور نیمه اصلی را فراهم می کند ، $آ$ ، و دوم محور نیمه جزئی را فراهم می کند ، $ب$ ، که عوامل پوسته پوسته شدن جهت تحریف هستند. اعوجاج مقیاس را می توان به عنوان منطقه بیضی محاسبه کرد ، $آب$ ، یا معادل آن توسط تعیین کننده ${\ mathcal {T}}$ . سرانجام ، جهت گیری بیضی ، $\ تتا$ ، می تواند از ستون اول استخراج شود $تو$ مانند:

${\ displaystyle \ theta = \ arctan \ چپ ({\ frac {u_ {1،0}} {u_ {0،0}}} \ راست)}$

گالری [ ویرایش ]

طرح عرضی مرکاتور با شاخص های Tissot
طرح stereographic با indicatrices تیسوت است
نمای مسطح با indicatrices تیسوت است
طرح quincuncial پیرس با indicatrices تیسوت است
طرح استوانه ای میلر با indicatrices تیسوت است
طرح چکشی با indicatrices تیسوت است
طرح سمتی فاصله با indicatrices تیسوت است
طرح فولر با indicatrices تیسوت است

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_indicatrix

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی