نقشه برداری از انقباض

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه یکم مهر ۱۳۹۹ | 12:55

در ریاضیات ، یک نقشه انقباض ، یا انقباض یا پیمانکار ، روی یک فضای متریک ( M ، d ) تابعی f از M به خود است ، با این ویژگی که تعداد واقعی غیر منفی وجود دارد ${\ displaystyle 0 \ leq k <1}$ به طوری که برای کل x و y در M ،

${\ displaystyle d (f (x) ، f (y)) \ leq k \، d (x، y).}$

کوچکترین مقدار k را ثابت Lipschitz از f می نامند . به نقشه های انقباضی گاهی اوقات نقشه Lipschitzian گفته می شود . اگر شرط فوق برای k ≤ 1 برآورده شود ، گفته می شود که نقشه برداری یک نقشه غیر گسترده است .

به طور کلی ، می توان ایده نقشه برداری انقباضی را برای نقشه های بین فضاهای متریک تعریف کرد. بنابراین ، اگر ( M ، d ) و ( N ، d ' ) دو فضای متریک هستند ، پس $f: M \ rightarrow N$ در صورت ثابت بودن یک نقشه انقباضی است ${\ displaystyle 0 \ leq k <1}$ به طوری که

${\ displaystyle d '(f (x)، f (y)) \ leq k \، d (x، y)}$

برای همه X و Y در M .

هر نقشه انقباضی Lipschitz مداوم و از این رو به طور یکنواخت مداوم است (برای یک تابع مداوم Lipschitz ، ثابت k دیگر لزوماً کمتر از 1 نیست).

نقشه انقباض حداکثر یک نقطه ثابت دارد . علاوه بر این، باناخ قضیه نقطه ثابت میگوید که هر نقشه برداری انقباض در غیر خالی فضای متریک کامل تا به یک نقطه ثابت منحصر به فرد، و که برای هر x را در M تکرار تابع توالی X ، F ( X )، F ( F ( X )) ، f ( f ( f ( x ))) ، ... به نقطه ثابت همگرا می شود. این مفهوم برای سیستم های عملکرد تکراری بسیار مفید استکه در آن نگاشت های انقباضی اغلب استفاده می شود. قضیه نقطه ثابت Banach همچنین در اثبات وجود راه حل های معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده می شود و در یک اثبات قضیه تابع معکوس استفاده می شود . [1]

نگاشت انقباض نقش مهمی در مشکلات برنامه نویسی پویا دارد . [2] [3]

فهرست

نقشه برداری کاملاً غیر گسترده [ ویرایش ]

نقشه برداری غیر گسترده با $k = 1$ می تواند به یک نقشه برداری کاملاً گسترده در فضای هیلبرت تقویت شود ${\ mathcal {H}}$ اگر موارد زیر برای تمام x و y در نظر گرفته شود ${\ mathcal {H}}$ :

$\ | f (x) -f (y) \ | ^ {2} \ leq \، \ langle xy، f (x) -f (y) \ rangle.$

جایی که

$d (x ، y) = \ | xy \ |$ .

این یک مورد خاص از است $آلفا$ اپراتورهای متوسط بدون {\ $\ alpha = 1/2$ . [4] یک نقشه برداری کاملاً غیر گسترده ، از طریق نابرابری کوشی- شوارتز ، همیشه گسترده نیست .

کلاس نقشه های کاملاً غیر گسترده تحت ترکیبات محدب بسته است ، اما ترکیبات بسته نیست. [5] این کلاس شامل نگاشت های نزدیک به توابع مناسب ، محدب ، نیمه پایین تر است ، از این رو همچنین شامل پیش بینی های متعامد روی مجموعه های محدب بسته غیر خالی است . کلاس عملگرهای کاملاً غیرپخشی برابر است با مجموعه حلال های عملگرهای حداکثر یکنواخت [6] . با کمال تعجب ، اگرچه تکرار نقشه های غیر گسترده تضمینی برای یافتن یک نقطه ثابت (به عنوان مثال ضرب در 1) ندارد ، اما عدم گسترش کافی برای تضمین همگرایی جهانی به یک نقطه ثابت کافی است ، به شرط وجود یک نقطه ثابت. دقیق تر ، اگر ${\ displaystyle {\ text {Fix}} f: = \ {x \ in {\ mathcal {H}} \ | \ f (x) = x \} \ neq \ varnothing}$ ، سپس برای هر نقطه اولیه ${\ displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {H}}}$ ، تکرار شونده

${\ displaystyle (\ forall n \ in \ mathbb {N}) \ quad x_ {n + 1} = f (x_ {n})}$

بازده همگرایی به یک نقطه ثابت است ${\ displaystyle x_ {n} \ to z \ in {\ text {Fix}} f}$ . این همگرایی ممکن است در یک محیط بی نهایت ضعیف باشد . [5]

نقشه پیمانکاری فرعی [ ویرایش ]

نقشه subcontraction یا مقاطعه کار فرعی یک نقشه است F در یک فضای متریک ( M ، D ) به صورتی که

${\ displaystyle d (f (x) ، f (y)) \ leq d (x، y)؛}$

${\ displaystyle d (f (f (x)) ، f (x)) <d (f (x)، x) \ quad {\ text {مگر اینکه}} \ quad x = f (x).}$

اگر تصویر از یک پیمانکار فرعی F است جمع و جور ، و سپس F تا به یک نقطه ثابت شده است. [7]

فضاهای محدب محلی [ ویرایش ]

در یک فضا در سطح محلی محدب ( E ، P ) با توپولوژی داده شده توسط مجموعه ای P از seminorms ، می توان برای هر تعریف ص ∈ P ص -contraction به عنوان یک نقشه F گونه ای است که برخی وجود دارد ک ص <1 که P ( F ( x ) - f ( y )) ≤ k p p ( x - y ) . اگر f یک p باشد- انعقاد برای همه p ∈ P و ( E ، P ) به ترتیب کامل است ، سپس f دارای یک نقطه ثابت است ، به عنوان حد تعیین شده برای هر دنباله x n +1 = f ( x n ) ، و اگر ( E ، P ) Hausdorff باشد ، سپس نقطه ثابت منحصر به فرد است. [8]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraction_mapping

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی