ادامه ماتریس متقارن مشخص

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه چهارم شهریور ۱۳۹۹ | 19:39

محدب [ ویرایش ]

مجموعه ماتریس های متقارن نیمه مثبت مثبت محدب است . یعنی اگر $م$ و $ن$ semidefinite مثبت هستند ، پس برای هر $\ آلفا$ بین 0 و 1 ، $\ displaystyle \ alpha M + (1- \ alpha) N$ همچنین semidefinite مثبت است. برای هر وکتور $ایکس$ :

$\ displaystyle x ^ {\ textf {T}} \ left (\ alpha M + (1- \ alpha) N \ Right) x = \ alpha x ^ {\ textf T}} Mx + (1- \ alpha) x ^ \ textf T}} Nx \ geq 0.$

این ویژگی تضمین می کند که مشکلات برنامه نویسی نیمه نهایی به یک راه حل بهینه در سطح جهانی تبدیل می شوند.

رابطه با کسین [ ویرایش ]

قطعیت مثبت یک ماتریس {\ نمایشگر A ${\ نمایشگر A$ بیان می کند که زاویه $\ تتا$ بین هر بردار $ایکس$ و تصویر آن $تبر$ همیشه ... هست $\ displaystyle - \ pi / 2 <\ theta <+ \ pi / 2}$ :

$\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {x ^ {T} Ax} {\ left \ Vert x \ Right \ Vert \ left \ Vert Axe \ Right \ Vert}} = {\ frac {\ langle x، Ax \ rangle} {\ چپ \ Vert x \ Right \ Vert \ left \ Vert Ax \ Right \ Vert}}، \ theta = \ta (x، Ax) = {\ widehat {x، Ax}} = {\ text زاویه بین}} x {\ متن و}} تبر}$

خواص بیشتر [ ویرایش ]

اگر $م$ یک ماتریس Toeplitz متقارن ، یعنی ورودی ها است $m_ {ij$ به عنوان تابعی از اختلاف شاخص مطلق آنها آورده شده است: $\ displaystyle m_ {ij} = ساعت (| ij |)}$ و نابرابری شدید
$\ displaystyle \ sum \ nolimits _ {j \ neq 0} \ left | h (j) \ Right | <h (0)$
پس از آن $م$ است به شدت مثبت مشخص شده است.
اجازه دهید $M> 0$ و $ن$ هرمیتی اگر $\ displaystyle MN + NM \ geq 0$ (احترام ، $\ displaystyle MN + NM> 0$ ) سپس $\ displaystyle N \ geq 0$ ( $N> 0$ ) [18]
اگر $M> 0$ واقعی است ، پس وجود دارد $\ delta> 0$ به طوری که $\ displaystyle M> \ delta I$ ، جایی که $من$ است ماتریس .
اگر $M_k$ نشان دهنده پیشرو است $k \ بار k$ جزئی، ${\ displaystyle \ det \ left (M_ {k} \ Right) / \ det \ left (M_ {k-1} \ Right)$ است ک هفتم محور در طول تجزیه LU .
ماتریس قطعی منفی است در صورتی که مرتبه اصلی آن در صدر اصلی باشد در صورت منفی است $ک$ عجیب است و مثبت $ک$ یکنواخت است

ماتریس هرمیتی در صورتی که تنها همه خردسالان اصلی آن غیرقانونی باشند semidefinite مثبت است. با این وجود ، توجه به افراد خردسال اصلی اصلی کافی نیست ، همانطور که در ماتریس مورب با مدخل 0 و − 1 بررسی می شود.

بلوک ماتریس [ ویرایش ]

آ مثبت ${\ نمایشگر 2n \ بار 2n$ ماتریس ممکن است توسط بلوک ها نیز تعریف شود :

$\ displaystyle M = {\ آغاز {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}}$

که در آن هر بلوک است $n \ n n$ . با استفاده از وضعیت مثبت ، بلافاصله از آن پیروی می کند $آ$ و $د$ هرمیتی هستند ، و $\ displaystyle C = B ^ {*}}$ .

ما آن را داریم $\ displaystyle z ^ {*} Mz \ geq 0$ برای همه پیچیده است $z$ ، و به ویژه برای $\ displaystyle z = [v، 0] ^ {\ textf T}}$ . سپس

$\ displaystyle \ fill {bmatrix} v ^ {*} & 0 \ end {bmatrix}} {\ fill bmatrix} A&B \\ B ^ {*} & D \ end {bmatrix}} {\ fill bmatrix} v \ \ 0 \ end {bmatrix} = v ^ {*} Av \ geq 0.$

یک استدلال مشابه می تواند برای آن اعمال شود $د$ و بنابراین نتیجه می گیریم که هر دو $آ$ و $د$ همچنین باید ماتریس های مشخص مثبت باشند.

نتایج مکالمه را می توان با شرایط قوی تر روی بلوک ها اثبات کرد ، برای مثال با استفاده از مکمل Schur .

فوق العاده محلی [ ویرایش ]

یک فرم درجه دوم عمومی $f (\ mathbf {x})$ بر $ن$ متغیرهای واقعی $x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n$ همیشه می تواند به صورت نوشته شود $\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ textf {T}} M \ mathbf {x}$ جایی که $\ mathbf {x}$ وکتور ستون با آن متغیرها ، و $م$ یک ماتریس واقعی متقارن است. بنابراین ، مثبت بودن ماتریس بدین معنی است $f$ حداقل یک (صفر) منحصر به فرد دارد $\ mathbf {x}$ صفر است و برای سایرین کاملاً مثبت است $\ mathbf {x}$ .

به طور کلی ، یک عملکرد واقعی دو برابر متفاوت است $f$ بر $ن$ متغیرهای واقعی دارای حداقل محلی در آرگومان ها هستند $x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n$ اگر شیب آن صفر باشد و Hessian آن (ماتریس همه مشتقات دوم) در آن نقطه نیمه قطعی مثبت است. جمله های مشابهی را می توان برای ماتریس های مشخص و نیمه قطعی منفی بیان کرد.

کواریانس [ ویرایش ]

در آمار ، ماتریس کواریانس از توزیع احتمال چند متغیره همیشه مثبت و نیمه قطعی است. و مثبت قطعی است مگر اینکه یک متغیر عملکرد خطی دقیق دیگران باشد. در مقابل ، هر ماتریس نیمه قطعی مثبت ماتریس کواریانس برخی توزیع چند متغیره است.

برنامه افزودنی برای ماتریس های مربع غیر هرمی [ ویرایش ]

تعریف قطعی مثبت را می توان با تعیین هر ماتریس پیچیده تعمیم داد $م$ (به عنوان مثال غیر متقارن واقعی) به عنوان قطعی مثبت اگر $\ displaystyle \ Re \ left (z ^ {*} Mz \ Right)> 0$ برای همه بردارهای پیچیده غیر صفر $z$ ، جایی که ${\ displaystyle \ Re (c)$ قسمت واقعی یک عدد پیچیده را نشان می دهد $ج$ . [19] فقط قسمت هرمیتی ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (M + M ^ {*} \ Right)$ تعیین می کند که آیا ماتریس مثبت قطعی است یا به معنای باریک بالا در بالا ارزیابی می شود. به همین ترتیب ، اگر $ایکس$ و $م$ ما واقعی هستیم $\ displaystyle x ^ {\ textf {T}} Mx> 0$ برای همه بردارهای غیرزرو واقعی $ایکس$ اگر و فقط اگر قسمت متقارن باشد ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (M + M ^ {\ textf {T}} \ Right)$ به معنای باریک قطعی مثبت است. فوراً مشخص است $\ displaystyle x ^ {\ textf {T}} Mx = x_ {i} M_ {ij} x_ {j}$ نسبت به جابجایی M بی حساس است.

در نتیجه ، یک ماتریس واقعی غیر متقارن تنها با مقادیر ویژه مقدماتی مثبت نیازی به قطعیت مثبت ندارد. به عنوان مثال ، ماتریس $\ displaystyle M = \ سمت چپ [{\ شروع {smallmatrix} 4 & 9 \\ 1 & 4 \ end smallmatrix} \ Right]$ دارای مقادیر ویژه ای مثبت هنوز قطعی مثبت نیست. به ویژه ارزش منفی از $\ displaystyle x ^ {\ textf {T}} Mx$ با انتخاب به دست می آید $\ displaystyle x = \ سمت چپ [{\ شروع {smallmatrix} -1 \\ 1 \ end {smallmatrix}} \ Right]$ (که eigenveector همراه با مقادیر ویژه منفی قسمت متقارن از است $م$ )

به طور خلاصه ، وجه تمایز قضیه واقعی و پیچیده این است که ، یک اپراتور مثبت محدود در فضای پیچیده هیلبرت لزوماً هرمیتی یا خود متعهد است. ادعای عمومی را می توان با استفاده از هویت قطبی شدن استدلال کرد . این در واقعیت دیگر صادق نیست.

برنامه ها [ ویرایش ]

ماتریس رسانایی گرما [ ویرایش ]

قانون انتقال حرارت فوریه ، شار گرما را ارائه می دهد $ق$ از نظر شیب دما $\ displaystyle g = \ nabla T$ برای رسانه های ناهمسانگرد به عنوان نوشته شده است $\ displaystyle q = -Kg$ ، که در آن $ک$ ماتریس هدایت حرارتی متقارن است. منفی در قانون فوریه درج شده است تا منعکس کننده این انتظار باشد که گرما همیشه از گرما به سرما جاری می شود. به عبارت دیگر ، از آنجا که شیب دما $گرم$ همیشه از سرما به گرما ، شار گرما اشاره دارد $ق$ انتظار می رود که محصول داخلی منفی داشته باشد $گرم$ به طوری که $\ displaystyle q ^ {\ textf {T}} g <0$ . جایگزینی قانون فوریه سپس این انتظار را به وجود می آورد $\ displaystyle g ^ {\ textf {T}} کیلوگرم> 0$ دلالت بر اینکه ماتریس رسانایی باید قطعی مثبت باشد.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی