مانیفولد Calabi – Yau
یک قطعه 2D از یک منیفولد کوینتیک 6D Calabi-Yau.
در هندسه جبری ، منیفولد Calabi-Yau ، همچنین به عنوان یک فضای Calabi-Yau شناخته می شود ، نوع خاصی از منیفولد است که دارای خواصی از قبیل مسطح بودن ریچی است و در فیزیک نظری کاربردهایی دارد . به خصوص در تئوری سوپراسترینگ ، ابعاد اضافی فضایی گاه گاهی به شکل یک منیفولد 6 بعدی Calabi-Yau شکل می گیرد که منجر به ایده تقارن آینه می شود . نام آنها توسط Candelas et al ابداع شد . (1985) ، بعد از Eugenio Calabi ( 1954 ، 1957)) که برای اولین بار حدس زد که چنین سطحی ممکن است وجود داشته باشد ، و شینگ تونگ یاو ( 1978 ) که حدس Calabi را ثابت کرد .
منیفولدها Calabi-Yau منیفولدهای پیچیده ای هستند که تعمیم سطوح K3 در هر تعداد ابعاد پیچیده (یعنی هر تعداد حتی از ابعاد واقعی ) هستند. آنها در ابتدا به عنوان منیفولدهای كوهلر جمع و جور با کلاس ناپدید شده چرن و متری مسطح Ricci تعریف می شدند ، هرچند بسیاری از تعاریف مشابه اما نامساعد گاهی اوقات استفاده می شود.
فهرست
تعاریف [ ویرایش ]
تعریف انگیزشی که توسط Shing-Tung Yau آورده شده است از مجموعه ای از جمع و جور Kähler است که کلاس اول چرن در حال ناپدید شدن است ، یعنی Ricci نیز صاف است . [1]
تعاریف دیگری در مورد مانیفولد Calabi-Yau وجود دارد که توسط نویسندگان مختلف مورد استفاده قرار گرفته است ، برخی از موارد غیرقابل اجتناب. در این بخش برخی از تعاریف متداول و روابط بین آنها خلاصه می شود.
کالابی-یائو N برابر یا کالابی-یائو از ابعاد (مختلط) مانیفولد N گاهی اوقات به عنوان یک جمع و جور تعریف N بعدی Kahler از منیفولد M رضایت یکی از شرایط معادل زیر است:
بسته نرم افزاری متعارف از M بی اهمیت است.
M دارای n -form هولومورفیک است که در هیچ کجا از بین نمی رود.
گروه ساختار از بسته نرم افزاری مماس از M را می توان از U (کاهش N ) به (SU ( N .
M یک معیار Kähler با هولوگونی جهانی موجود در( SU ( n دارد .
این شرایط نشانگر این است که اولین کلاس انتگرال چرن
برای جمع و جور N بعدی Kahler از منیفولد M شرایط زیر معادل یکدیگر هستند، اما ضعیف تر از شرایط فوق، هر چند آنها گاهی اوقات به عنوان تعریف یک خمینه کالابی-یائو استفاده می شود:
M اولین کلاس واقعی چرن را از بین می برد.
M دارای معیار Kähler با انحنای انحنا Ricci است.
M دارای یک معیار Kähler با هولوگونی محلی موجود در SU ( n ) است .
قدرت مثبت از بسته نرم افزاری متعارف از M بی اهمیت است.
M دارای یک پوشش محدود است که دارای یک بسته نرم افزاری معمولی است.
M دارای یک پوشش محدود است که محصول یک توروس و یک منیفولد به سادگی متصل با یک بسته نرم افزاری معمولی است.
اگر یک منیفولد جمع و جور Kähler به سادگی متصل شده باشد ، تعریف ضعیف فوق معادل تعریف قوی تر است. سطوح انریاک نمونه هایی از منیفولدهای پیچیده را نشان می دهد که دارای معیارهای مسطح Ricci هستند ، اما بسته های معمولی آنها امری بی اهمیت نیستند ، بنابراین آنها مطابق تعریف دوم اما اولین تعریف فوق ، مانیفولدهای Calabi-Yau هستند. از طرف دیگر ، پوشش های دوتایی آنها برای هر دو تعریف (در حقیقت ، سطوح K3) منیفولد Calabi-Yau است.
سخت ترین بخش اثبات هم ارزی بین خواص مختلف فوق اثبات وجود معیارهای مسطح ریچی است. این نتیجه از اثبات Yau در مورد حدس Calabi است ، که دلالت بر این دارد که یک منیفولد جمع و جور کوهلر با کلاس ناپدید شده واقعی چرن ، دارای یک متریک کوهلر در همان کلاس با انحنای انحنای ریچی است. (کلاس یک معیار Klerhler ، کلاس زندگی گروهی مربوط به دو شکل آن است.) Calabi نشان داد که چنین متریک بی نظیر است.
تعاریف نابرابر بسیاری دیگر از منیفولدهای Calabi-Yau وجود دارد که گاهی اوقات مورد استفاده قرار می گیرند ، که به روش های زیر (در میان دیگران) متفاوت است:
کلاس اول چرن ممکن است به عنوان یک کلاس انتگرال یا یک کلاس واقعی از بین برود.
بیشتر تعاریف ادعا می کنند که منیفولدهای Calabi-Yau جمع و جور هستند ، اما برخی به آنها اجازه می دهند کاملاً فشرده نباشند. در تعمیم به منیفولدهای غیر فشرده ، تفاوت
باید به صورت مجانلی از بین برود. اینجا،
فرم Kähler با معیار Kähler است ،
( باند تیان ؛ شینگ-تونگ یو 1990 ، 1991 ).
برخی از تعاریف محدودیت هایی را برای گروه اساسی مانیفولد Calabi-Yau ایجاد می کنند ، از جمله اینکه خواستار نهایی یا بی اهمیت هستند. هر منیفولد Calabi-Yau دارای یک پوشش محدود است که محصول یک توروس و یک منیفولد Calabi – Yau به راحتی متصل است.
برخی از تعاریف نیاز دارند که هولوگرافی دقیقاً برابر (SU ( n باشد تا یک زیر گروه از آن ، که دلالت بر این دارد که شماره هاج \
ناپدید شدن برای . سطوح Abelian دارای یک متریک مسطح ریچی با هولوگونی بسیار کوچکتر از SU (2) (در واقع بی اهمیت) بنابراین مطابق چنین تعاریفی مانیفولد Calabi-Yau نیستند.
بسیاری از تعاریف فرض می کنند که یک مانیفولد Calabi-Yau دارای یک معیار ریمانی است ، اما برخی از آنها به عنوان منیفولدهای پیچیده و بدون معیار رفتار می کنند.
اکثر تعاریف فرض می کنند که منیفولد غیر مفرد است ، اما برخی اجازه می دهند تکین های ملایم باشند. در حالی که کلاس چرن به خوبی نمی تواند برای Calabi – Yau مفرد تعریف شود ، ممکن است بسته های متعارف و کلاس متعارف هنوز هم تعریف شود اگر همه مفردات Gorenstein باشند ، بنابراین ممکن است برای گسترش تعریف یکنواخت Calabi-Yau صاف هم تعریف شود. یک تنوع Calabi – Yau احتمالاً مفرد.
مثالها [ ویرایش ]
مهمترین واقعیت اساسی این است که هر نوع جبری نرم و جبر جاسازی شده در یک فضای پروژکتور ، منیفولد Kähler است ، زیرا یک متریک طبیعی Fubini-Study در یک فضای پروژکتور وجود دارد که می تواند آن را محدود به انواع جبر کند. با این تعریف ، اگر ω معیار Kähler بر روی انواع جبری X باشد و بسته نرم افزاری K X بی اهمیت است ، سپس X Calabi – Yau است. علاوه بر این، منحصر به فرد Kahler از ω متریک در X به طوری که [وجود دارد ω 0 ] = [ ω ] ∈ H 2 ( X ، R )، یک واقعیت است که توسط حدس زده بود به Eugenio کالابی و ثابت توسط شینگ تونگ یائو (نگاه کنید بهحدس Calabi ).
در یک بعد پیچیده ، تنها نمونه های کم حجم tori هستند که یک خانواده یک پارامتر را تشکیل می دهند. متریک مسطح Ricci در یک توروس در واقع یک متریک مسطح است ، به طوری که هولوگونی گروه بی اهمیت SU است (1). منیفولد یک بعدی Calabi-Yau یک منحنی بیضوی پیچیده ، و به ویژه ، جبری است .
در دو بعد پیچیده ، سطوح K3 تنها منیفولدهای کاملاً جمع و جور کاملاً متصل به هم را ارائه می دهد. نمونه های غیر متصل به وسیله سطوح آبلیان آورده شده است . سطوح انریاک و سطوح فرعی درجه یک کلاس چرن را دارند که به عنوان عنصر گروه زندگی مشترک واقعی از بین می روند ، اما نه به عنوان یک عنصر از گروه جامع زندگی شناسی یکپارچه ، بنابراین قضیه Yau در مورد وجود یک متریک مسطح Ricci هنوز هم برای آنها صدق می کند اما آنها هستند بعضی اوقات مانیفولد Calabi – Yau محسوب نمی شود. سطوح Abelian گاهی اوقات از طبقه بندی Calabi-Yau جدا نمی شوند ، زیرا هولوگونی آنها (دوباره گروه بی اهمیت) یک زیر گروه مناسب از SU (2) است ، به جای آنکه از SU ( همسان ) باشد (2). با این حالزیر مجموعه سطح Enriques کاملاً با زیر گروه SU (2) در منظر تئوری String مطابقت ندارد .
در سه بعد پیچیده ، طبقه بندی منیفولدهای احتمالی Calabi-Yau یک مشکل آشکار است ، اگرچه Yau گمان می کند که تعداد محدودی از خانواده ها وجود داشته باشد (البته تعداد بسیار بیشتری از تخمین های او از 20 سال پیش). به نوبه خود ، توسط مایلز رید نیز حدس زده شده است كه تعداد انواع توپولوژیكی Calabi – Yau 3 برابر نامتناهی است ، و اینكه همه آنها می توانند به طور مداوم (از طریق تکین های خاص ملایم مانند مخروط ها ) یكدیگر را به دیگری تغییر دهند. سطوح ریمان می تواند. [2] یک نمونه از مانیفولد سه بعدی Calabi-Yau یک سه برابر پنجگانه غیر مفرد در CP 4 است ، که نوع جبری است.متشکل از تمام صفرهای چند جملهای کوانتومی همگن در مختصات همگن CP 4 . مثال دیگر یک مدل صاف از کوینتیک بارت-نیتو است . برخی از ظریف های کوینتیک با اقدامات مختلف Z 5 نیز Calabi-Yau هستند و توجه زیادی را در ادبیات به دست آورده اند. یکی از این موارد مربوط به کوینتیک اصلی توسط تقارن آینه است .
برای هر عدد صحیح مثبت n را از مجموعه ای صفر ، در مختصات همگن از مجموعه تصویری فضای CP N 1 ، از درجه همگن غیر مفرد N + 2 چند جمله ای در N + 2 متغیر جمع و جور کالابی-یائو است N برابر شده است. مورد n = 1 یک منحنی بیضوی را توصیف می کند ، در حالی که برای n = 2 یک سطح K3 به دست می آید.
به طور کلی ، گونه ها / مدارهای Calabi-Yau را می توان به عنوان تقاطعهای کامل وزن در یک فضای پروژکتور وزنی یافت . ابزار اصلی برای یافتن چنین فضاهایی فرمول الحاق است .
تمام منیفولدرهای Hyper-Kähler منیفولدهای Calabi – Yau هستند.
برنامه های کاربردی در تئوری روبرو [ ویرایش ]
منیفولدها Calabi-Yau در تئوری روبنا دارای اهمیت هستند . در اصل ، منیفولدها Calabi-Yau شکلهایی هستند که نیاز به فضا را برای شش بعد فضایی "غیب" نظریه رشته ، که ممکن است کوچکتر از طول قابل مشاهده در حال حاضر باشد ، زیرا هنوز کشف نشده اند ، برآورده می کند. یک جایگزین محبوب شناخته شده به عنوان ابعاد فوق العاده بزرگ ، که اغلب در رخ می دهد braneworld مدل، این است که کالابی-یائو بزرگ است اما ما به یک زیر مجموعه کوچک که در آن تقاطع محدود D-شامه . پسوندهای بعدی به ابعاد بالاتر در حال حاضر با نتایج اضافی برای نسبیت عمومی مورد کاوش قرار گرفته است .
در متعارف ترین مدل های سوپرستینگ ، ده بعد حدس در تئوری رشته ها قرار است به عنوان چهار مورد از آنها آگاه باشیم ، که نوعی فیبراسیون با ابعاد فیبر شش دارند. جمع و جور کردن در مورد Calabi-Yau n مهم است زیرا آنها برخی از ابر تقارن اصلی را به طور ناگسا مانده رها می کنند . به طور دقیق تر ، در صورت عدم وجود شار ، جمع و جور کردن در Calabi-Yau 3 برابر (ابعاد واقعی 6) یک چهارم از ابر تقارن اصلی را ناگهان می گذارد اگر هولوگونی SU کامل باشد (3).
به طور کلی ، یک فشرده سازی بدون شار روی یک n- manifold با هولوگرافی SU ( n ) 2 1− n از ابر تقارن اصلی را بر هم می زند ، متناظر با 2/6 6 n فوق العاده در یک فشرده سازی نوع 2 superagravity یا 2 5 − n supercharges. در یک فشرده سازی از نوع I. هنگامی که شارها شامل شرایط فوق تقارن هستند به جای این دلالت می کند که مانیفولد جمع و جور بودن یک کالابی کلی ، کلیابی-یاو ، یک مفهوم معرفی شده توسط هیچچین (2003) است . این مدل ها به عنوان فشرده سازی شار شناخته می شوند .
فشرده سازی های تئوری F در چهار برابر مختلف Calabi-Yau به فیزیکدانان روش می دهد تا تعداد زیادی راه حل کلاسیک را در منظره نظریه رشته پیدا کنند .
با هر سوراخ در فضای Calabi-Yau متصل می شود ، گروهی از الگوهای ارتعاش رشته رشته کم انرژی است. از آنجا که تئوری رشته می گوید ذرات ابتدایی آشنا ما با ارتعاشات رشته کم انرژی مطابقت دارد ، وجود سوراخ های متعدد باعث می شود الگوهای رشته در چند گروه یا خانواده قرار بگیرند . اگرچه جمله زیر ساده شده است ، اما منطق استدلال را منتقل می کند: اگر کالابیو دارای سه سوراخ باشد ، سه خانواده از الگوهای ارتعاشی و در نتیجه سه خانواده از ذرات به صورت آزمایشی مشاهده می شوند.
از نظر منطقی ، از آنجایی که رشته ها در تمام ابعاد ارتعاش می کنند ، شکل میله های بریده شده بر لرزش آنها و در نتیجه خواص ذرات ابتدایی مشاهده شده تأثیر می گذارد. به عنوان مثال ، اندرو استرومینگر و ادوارد ویتن نشان داده اند كه جرم ذرات به نحوه تقاطع سوراخ های مختلف در یک Calabi-Yau بستگی دارد. به عبارت دیگر ، موقعیت سوراخ ها نسبت به یکدیگر و ماده فضای Calabi-Yau توسط استرومینجر و ویتن یافت شد تا به طریقی خاص بر توده های ذرات تأثیر بگذارد. این البته در مورد همه خصوصیات ذرات نیز صادق است. [3]
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.