ادامه معادلات كوشی -ریمان

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم شهریور ۱۳۹۹ | 21:9

کلیات [ ویرایش ]

قضیه Goursat و کلیات آن [ ویرایش ]

فرض کنید که F = تو + من V یک تابع مختلط است که است که مشتق به عنوان یک تابع F : ℝ 2 → ℝ 2 . سپس Goursat را 'ثانیه قضیه ادعا میکند که F در Ω حوزه های پیچیده باز اگر و تنها اگر در معادله کوشی ریمان در حوزه (تحلیلی است رودین 1966 ، قضیه 11.2). به طور خاص ، لازم نیست که فرق پذیری مستمر f فرض شود ( Dieudonné 1969 ، 9.10، ، مثال 1).

فرضیه های قضیه گورسات می تواند به میزان قابل توجهی تضعیف شود. اگر F = تو + من V مداوم در یک مجموعه باز Ω و است مشتقات جزئی از F با توجه به X و Y در Ω وجود داشته باشد، و برآورده معادلات کوشی ریمان در سراسر Ω، پس از آن F هولومورفیک (و در نتیجه تحلیلی) است. این نتیجه قضیه Looman-Menchoff است .

این فرضیه که F اطاعت از معادلات کوشی-ریمان در سراسر حوزه Ω ضروری است. می توان برای ساختن یک تابع مداوم که رضایت از معادلات کوشی – ریمن را در یک نقطه امکان پذیر باشد ، اما در نقطه تحلیلی نیست (به عنوان مثال ، f ( z ) = z 5 / | z | 4 ) . به طور مشابه ، علاوه بر معادلات كوچي -ريمان (مانند تداوم) برخي فرض اضافي نيز لازم است ، همانطور كه مثال زير نشان مي دهد ( لومان 1923 ، ص 107)

${\ displaystyle f (z) = {\ fill {Case} \ exp (-z ^ {- 4}) & {\ text {if}} z \ not = 0 \\ 0 & {\ text {if}} z = 0 \ پایان {موارد}}}$

که معادلات كوچی-ریمان را در همه جا برآورده می كند ، اما در z = 0 مداوم نیست .

با این وجود ، اگر یک تابع معادلات كوچی-ریمان را در یك مجموعه باز به معنای ضعیف برآورده كند ، آنگاه تابع تحلیلی است. به طور دقیق تر ( گری و موریس 1978 ، قضیه 9):

اگر f ( z ) به صورت محلی در یک دامنه باز Ω ⊂ integr یکپارچه باشد ، و معادلات کوشی-ریمان را ضعیف برآورده کند ، پس f تقریباً در همه جا با یک عملکرد تحلیلی در Ω موافق است .

این در واقع یک مورد خاص از نتیجه عمومی تر در عادی بودن محلول های معادلات دیفرانسیل جزئی hypoelliptic است.

چندین متغیر [ ویرایش ]

در تئوری چندین متغیر پیچیده ، معادلات كوچی-ریمان ، مناسب تعمیم یافته ، وجود دارد . آنها یک سیستم بیش از حد تعیین نشده از PDE ها را تشکیل می دهند. این کار با استفاده از یک تعمیم مستقیم و مستقیم از مشتقات Wirtinger انجام می شود ، جایی که عملکرد مورد نظر برای داشتن مشتقات (جزئی) Wirtinger با توجه به هر متغیر پیچیده ناپدید می شود.

اشکال دیفرانسیل پیچیده [ ویرایش ]

همانطور که اغلب فرموله شده است ، اپراتور d-bar

${\ نوار {\ جزئی}}$

عملکرد هولومورف را نابود می کند. این مستقیماً فرمول را تعمیم می دهد

${\ جزئی جزئی \ \ \ \ جزئی {\ نوار {z}}} = 0 ،$

جایی که

${\ جزئی جزئی \ \ \ \ جزئی {\ نوار {z}}} = {1 \ بیش از 2} \ سمت چپ (part \ جزئی جزئی f \ over \ partial x} + i {\ جزئی f \ over \ partial y} \ right )$

تبدیل Bäcklund [ ویرایش ]

معادلات كوچی-ریمان به عنوان توابع هارمونیكی مزدوج ، نمونه ساده ای از تبدیل بكلوند است . تركیبات پیچیده تر و معمولاً غیر بكلوند بكلوند ، مانند معادله سینوس گوردون ، از نظر تئوری سولیتون ها و سیستم های انتگرال پذیرفته شده اند .

تعریف در جبر کلیفورد [ ویرایش ]

در جبر کلیفورد تعداد پیچیده است $z = x + iy$ به عنوان نشان داده شده است $z \ equiv x + Iy$ جایی که} $I \ equiv \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}$ . عملگر مشتق بنیادی در جبر کلیفورد از اعداد مختلط به عنوان تعریف شده است $\ nabla \ equiv \ sigma _ {1} \ partial _ {x} + \ sigma _ {2} \ partial _ {y}$ . کارکرد $f = تو + Iv$ اگر و فقط اگر تحلیلی در نظر گرفته شود $\ nabla f = 0$ ، که می تواند به روش زیر محاسبه شود:

$\ displaystyle {\ fill {تراز شده} 0 & = \ nabla f = (\ sigma _ {1} \ partial _ {x} + \ sigma _ {2} \ partial _ {y}) (u + \ sigma _ {1 \ sigma _ {2} v) \\ [4pt] & = \ sigma _ {1} \ partial _ {x} u + \ underbrace {\ sigma _ {1} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} _ {= \ sigma _ {2}} \ partial _ {x} v + \ sigma _ {2} \ partial _ {y} u + \ underbrace {\ sigma _ {2} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2 } _ {= - \ sigma _ {1}} \ part _ _ {y} v = 0 \ end {تراز شده}}}$

گروه بندی توسط $\ سیگما _ {1$ و $\ سیگما _ {2$ :

$\ displaystyle \ nabla f = \ sigma _ {1} (\ partial _ {x} u- \ partial _ {y} v) + \ sigma _ {2} (\ partial _ {x} v + \ partial _ {y } u) = 0 \ Leftrightarrow \ fill {Case} \ partial _ {x} u- \ partial _ {y} v = 0 \\ [4pt] \ part _ _ {x} v + \ part _ _} y} u = 0 \ پایان {موارد}}}$

از این پس در نمادهای سنتی:

$\ displaystyle {\ آغاز {موارد} {\ dfrac {\ جزئی u} {\ جزئی x}} = {\ dfrac {\ partial v} {\ partial y}} \\ [12pt] {\ dfrac {\ جزئی } {\ جزئی y}} = - {\ dfrac {\ جزئی v} {\ جزئی x}} \ end {موارد}}$

نگاشت های شکل در ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

بگذارید Ω یک مجموعه باز در فضای اقلیدسی باشد ℝ n . معادله برای نقشه برداری جهت گیری $\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ به عنوان یک نقشه برداری سازگار (یعنی حفظ زاویه) این است که

$Df ^ {T} Df = (\ det (Df)) ^ {2 / n} من$

جایی که Df ماتریس Jacobian است ، با انتقال $Df ^ {T}$ ، و من ماتریس هویت را بیان می کنم ( ایوانیکی و مارتین 2001 ، ص 32). برای n = 2 ، این سیستم معادل معادلات استاندارد كوشی-ریمان از متغیرهای پیچیده است ، و راه حلها توابع هولومورفیك هستند. در بعد n > 2 ، این هنوز هم گاهی اوقات سیستم كوچی-ریمان نامیده می شود ، و قضیه لیوویل ، فرضیات هموار بودن مناسب ، دلالت می كند كه هر نوع نقشه برداری یک تغییر Möbius است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی