ادامه واریته تصویری

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم شهریور ۱۳۹۹ | 1:14

تنوع و ساختار طرح [ ویرایش ]

ساختار متنوع [ ویرایش ]

بگذارید k یک زمینه جبری بسته باشد. اساس تعریف انواع تصویری، فضای تصویری است $\ mathbb {P} ^ {n$ ، که می تواند به روشهای مختلف اما معادل تعریف شود:

به عنوان مجموعه تمام خطوط از طریق مبدا در $\ displaystyle k ^ {n + 1}}$ (یعنی فضاهای زیر بردار یک بعدی از $\ displaystyle k ^ {n + 1}}$ )

به عنوان مجموعه ای از توپ ها ${\ displaystyle (x_ {0} ، \ dots ، x_ {n}) \ in k ^ {n + 1}$ رابطه تعدیل را تعدیل کنید

${\ displaystyle (x_ {0} ، \ نقطه ، x_ {n}) \ sim \ lambda (x_ {0} ، \ dots ، x_ {n})}$

برای هرچی $\ displaystyle \ lambda \ in k \ smallsetminus \ {0 \}$ . کلاس هم ارزی بودن چنین برآمدگی توسط

${\ displaystyle [x_ {0}: \ نقطه: x_ {n}]$

و از آن به عنوان مختصات همگن یاد می شود .

انواع تصویری است، با این تعریف، یک بسته از $\ mathbb {P} ^ {n$ ، جایی که بسته به توپولوژی زریسکی اشاره دارد . [2] به طور کلی ، زیر مجموعه های بسته شده از توپولوژی زریسکی به عنوان مکان صفر توابع چند جمله ای تعریف شده اند. با توجه به چند جمله ای ${\ displaystyle f \ in k [x_ {0 ، \ نقطه ، x_ {n}]$ ، شرایط

${\ displaystyle f ([x_ {0}: \ نقطه: x_ {n}]) = 0$

معنی ندارد برای چند جمله ای های خودسرانه، اما تنها در صورتی F است همگن ، یعنی، درجه کل از همه تک جملهای، دوجمله ای (که مجموع است ج ) همان است. در این حالت ، ناپدید شدن

$\ displaystyle f (\ lambda x_ {0} ، \ dots، \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {\ deg f} f (x_ {0} ، \ نقطه ، x_ {n})}$

مستقل از انتخاب است $\ displaystyle \ lambda (\ neq 0)$ .

بنابراین ، انواع طرح دار از ایده آل های اصلی همگن I من ناشی می شود $k [x_ {0} ، ... ، x_ {n}]$ ، و تنظیم

${\ displaystyle X = \ {[x_ {0}: \ bots: x_ {n}] \ in \ mathbb {P} ^ {n} ، f ([x_ {0}: \ نقاط: x_ {n}]) = 0 \ متن {برای همه} f \ در I \}.}$ .

علاوه بر این ، انواع پروژکتور X نوعی جبر است ، به این معنی که توسط زیر مجموعه های وابسته به آفیس پوشانده شده است و بدیهیات تفکیک را برآورده می کند. بنابراین ، مطالعه محلی X (به عنوان مثال ، تکینگی) نسبت به تنوع وابسته به آن کاهش می یابد. ساختار صریح به شرح زیر است. فضای پروژکتور

$\ mathbb {P} ^ {n$ توسط نمودارهای عرفان آزاد باز پوشانده شده است

${\ displaystyle U_ {i} = \ {[x_ {0}: \ نقطه: x_ {n}] ، x_ {i} \ neq 0 \} ،}$

که خودشان دارای فضاهای n هستند با حلقه مختصات

$\ displaystyle k \ left [y_ {1} ^ {(i)، \ dots، y_ {n} ^ {(i)} \ Right]، \ quad y_ {j} ^ {(i)} = x_ j} / x_ {i}.}$

برای سادگی نمادین i = 0 بگویید و متن (0) را رها کنید. سپس ${\ نمایشگر X \ cap U_ {0}}$ یک خرده فرعی بسته از $\ displaystyle U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^ {n}$ تعریف شده توسط ایده آل ${\ displaystyle k [y_ {1} ، \ نقطه ، y_ {n}]$ تولید شده توسط

${\ displaystyle f (1 ، y_ {1} ، \ نقطه ، y_ {n})}$

برای همه F در من . بنابراین، X تنوع جبری تحت پوشش (است N 1) نمودارآفین به باز

${\ displaystyle X \ cap U_ {i}}$ .

توجه داشته باشید که X بسته شدن انواع آفین است ${\ نمایشگر X \ cap U_ {0}}$ که در $\ mathbb {P} ^ {n$ . در مقابل ، با شروع از برخی از انواع بسته (وابسته) $\ displaystyle V \ زیرمجموعه U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^ {n}$ ، بسته شدن V در $\ mathbb {P} ^ {n$ تنوع پروژه ای به نام تکمیل پروژه ای V است . اگر $\ displaystyle I \ زیرمجموعه k [y_ {1 ، \ نقطه ، y_ {n}]$ تعریف V ، سپس ایده آل تعریف این بسته شدن ایده آل همگن است [3] از $k [x_ {0} ، \ نقطه ، x_ {n}]$ تولید شده توسط

${\ displaystyle x_ {0} ^ {\ deg (f)} f (x_ {1} / x_ {0 ، \ dots، x_ {n} / x_ {0})$

برای همه F در I.

به عنوان مثال ، اگر V یک منحنی میل است که توسط $y ^ {2} = x ^ {3} + تبر + b$ در صفحه سقفی ، سپس تکمیل پروژکتور آن در هواپیمای پروژکتور داده می شود $\ displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} + axz ^ {2} + bz ^ {3}.$

طرح های پروژه ای [ ویرایش ]

برای کاربردهای مختلف ، لازم است تا اشیاء جبری-هندسی کلی تر از انواع طرح دار ، یعنی طرح های پروژکتور در نظر گرفته شود. اولین قدم به سمت طرح های پیش بینی شده ، وقف فضای تصویریبا ساختار طرح است ، به گونه ای که شرح فوق از فضای پروژکتور را به عنوان یک نوع جبری ، یعنی اصلاح $\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)$ یک طرح است که آن را یک اتحادیه از ( n + 1) نسخه های آفین n- فضا k n است . به طور کلی ، [4] فضای تصویری بر روی حلقه A ، اتحادیه طرح های وابسته است

$U_ {i} = \ operatorname {Spec} A [x_ {1} / x_ {i}، \ dots، x_ {n} / x_ {i}]، \ quad 0 \ leq i \ leq n،$

به این ترتیب متغیرها مطابق پیش بینی شده مطابقت دارند. مجموعه ای از نقاط بسته از $\ mathbb {P}} _ {k} ^ {n}$ ، برای زمینه های جبری بسته بسته k ، پس از آن فضای پروژکتور است

$\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)$ به معنای معمول

ساخت و ساز معادل اما ساده توسط ساخت و ساز پروژه ارائه می شود ، که یک آنالوگ طیف یک حلقه است ، با عنوان "Spec" ، که یک طرح عاطفی را تعریف می کند . [5] به عنوان مثال ، اگر A حلقه است ، پس از آن

$\ displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A [x_ {0} ، \ ldots ، x_ {n}]}$

اگر R یک سودمند از است $k [x_ {0 ، \ ldots ، x_ {n}]$ با یک ایده آل همگن من ، پس از آن حدس متعارف غوطه وری بسته را القا می کند

$\ displaystyle \ operatorname {پروژه} R \ hookrightarrow \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}.$

در مقایسه با انواع پروژکتور ، شرط اینکه ایده آل من یک ایده آل برتر باشم ، کنار گذاشته شد. این منجر به یک مفهوم بسیار انعطاف پذیرتر می شود: از یک طرف فضای توپولوژیکی ${\ displaystyle X = \ operatorname {پروژه} R$ ممکن است چندین مؤلفه غیر قابل برگشت داشته باشد. علاوه بر این ، ممکن است توابع xpotent روی X وجود داشته باشد .

زیر مجموعه های بسته شده از $\ mathbb {P}} _ {k} ^ {n}$ از نظر زیست شناختی با ایده آل های همگن من از آنها مطابقت دارم $k [x_ {0 ، \ ldots ، x_ {n}]$ که اشباع ؛ یعنی. ${\ displaystyle I: (x_ {0} ، \ نقطه ، x_ {n}) = من.$ [6] این واقعیت ممکن است به عنوان یک نسخه تصفیه شده Nullstellensatz پیش بینی شده در نظر گرفته شود.

ما می توانیم یک مثال آنالوگ بدون مختصات را ارائه دهیم. یعنی ، با توجه به یک فضای بردار ابعادی محدود V بر k ، اجازه می دهیم

$\ displaystyle \ mathbb {P} (V) = \ operatorname {پروژه} k [V]$

جایی که $k [V] = \ operatorname {Sym} (V ^ {*})$ است جبر متقارن از $V ^ {*$ . [7] این است projectivization از V ؛ یعنی خطوط را در V پارامتر می کند . یک نقشه surjective متعارف وجود دارد $\ displaystyle \ pi: V \ smallsetminus \ {0 \} \ to \ mathbb {P} (V)$ ، که با استفاده از نمودار توضیح داده شده در بالا تعریف شده است. [8] یکی از کاربردهای مهم ساخت و ساز ، این است (به عنوان مثال ، uality سیستم دوتایی و خطی ). یک تقسیم کننده D بر روی یک نوع طرح ریزی X با یک بسته خط L مطابقت دارد . یکی بعد

$\ displaystyle | D | = \ mathbb {P} (\ گاما (X ، L))}$ ؛

آن را به نام سیستم خطی کامل از D .

فضای پروژکتور بیش از هر طرح S را می توان به عنوان محصول فیبر طرح ها تعریف کرد

$\ displaystyle \ mathbb {P} _ {S} ^ {n} = \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n} \ Times _ \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}} S }$

اگر ${\ mathcal {O}} (1)$ است بافه چرخاندن Serre ساخته در $\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}$ ، ما اجازه می دهیم ${\ mathcal {O}} (1)$ معنی قلاب از ${\ mathcal {O}} (1)$ به $\ displaystyle \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}$ ؛ به این معنا که، ${\ mathcal {O}} (1) = g ^ {*} ({\ mathcal {O}} (1))$ برای نقشه متعارف $\ displaystyle g: \ mathbb {P} _ {S} ^ {n} \ to \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}.$

اگر به عنوان یک غوطه وری بسته باشد ، یک طرح X → S بیش از S تصویری خوانده می شود

$\ displaystyle X \ to \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

به دنبال طرح به S .

یک بسته نرم افزاری خط (یا یک پوسته غیر قابل برگشت ${\ ریاضی {L}$ در مورد طرح X بیش از S گفته می شود که اگر غوطه وری وجود داشته باشد نسبت به S بسیار کافی است (یعنی غوطه وری باز که به دنبال آن غوطه وری بسته است)

$\ displaystyle i: X \ to \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}$

برای برخی از n به طوری که ${\ mathcal {O}} (1)$ بازگشت به $\ mathcal {L}.$ سپس S- scheme X اگر مناسب و مناسب باشد وجود دارد و بر روی X نسبت به S یک برش بسیار کافی وجود دارد . در واقع ، اگر X مناسب باشد ، لزوماً غوطه وری مربوط به بسته نرم افزاری خط بسیار بسته است. برعکس ، اگر X تصویری باشد ، پس آن را پس می گیرد ${\ mathcal {O}} (1)$ در زیر غوطه وری بسته X به یک فضای تصویری بسیار فراوان است. این " تصویری" به معنای "مناسب" عمیق تر است: قضیه اصلی نظریه حذف .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_variety

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی