ادامه دی آر.اچ . ام کو همولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم شهریور ۱۳۹۹ | 0:50

N -torus [ ویرایش ]

به همین ترتیب ، اجازه دادن n > 0 در اینجا ، به دست می آوریم

$\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (T ^ {n}) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n \ انتخاب k}.}$

ما همچنین می توانیم ژنراتورهای صریح و مشخصی را برای cohomology de Rham Torus با استفاده از اشکال دیفرانسیل پیدا کنیم. با توجه به چند برابر ${\ displaystyle \ pi: X \ to X / G$ و یک شکل دیفرانسیل $\ displaystyle \ امگا \ در \ امگا ^ {k} (X)$ ما می توانیم این را بگوییم $\ امگا$ است $ج$ در صورت وجود هرگونه دیفرانسیسم ناشی از $ج$ ، $\ displaystyle \ cdot g: X \ to X$ ما داریم $\ displaystyle (\ cdot g) ^ {*} (\ امگا) = \ امگا$ . به ویژه ، بازپرداخت هر شکلی در $X / G$ است $ج$ -ثابت. همچنین بازپرداخت یک مورفیسم تزریقی است. در مورد ما\ $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {n}$ اشکال دیفرانسیل $\ displaystyle dx_ {i}}$ هستند $\ mathbb {Z} ^ {n$ از زمان متغیر ${\ displaystyle d (x_ {i} + k) = dx_ {i}$ . اما توجه کنید که $\ displaystyle x_ {i} + \ alpha$ برای $\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ ثابت نیست ${\ نمایشگر 0}$ -فرم. این با تزریق نشان می دهد که

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ in H_ {dR} ^ {1} (T ^ {n})$

از آنجا که حلقه زیست شناسی یک توروس توسط تولید می شود $ح ^ {1$ با استفاده از محصولات بیرونی این اشکال ، همه نمایندگان صریح راجع به جامعه شناسی د رام یک توروس ارائه می دهند.

فضای اقلیدس سوراخ شده [ ویرایش ]

فضای اقلیدس سوراخ شده به سادگی فضای اقلیدسی است که منشأ آن حذف شده است.

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ forall n \ in \ mathbb {N}، H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {{\ vec 0}} \}) & \ simeq {\ شروع {موارد} \ mathbb {R} & k = 0 ، n-1 \\ 0 & k \ neq 0، n-1 \ end {موارد}} \\ & \ simeq H_ \ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {n-1}) \ end {تراز شده}}$

نوار Möbius [ ویرایش ]

ممکن است از این واقعیت استنباط کنیم که نوار Möbius ، M ، می تواند تغییر شکل را به سمت 1- حوزه (یعنی دایره واحد واقعی) جمع کند ، که است:

$H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (م) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ 1).$

قضیه دی .ر.ام [ ویرایش ]

استوکس قضیه بیان است دوگانگی بین د های cohomology Rham را و همسانی از زنجیر . این می گوید که جفت شدن اشکال و زنجیره های دیفرانسیل ، از طریق ادغام ، یک همگن را از جامعه شناسی د رام می بخشد $H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)$ به گروههای مفرد $\ displaystyle H ^ {k} (M؛ \ mathbb {R}).$ قضیه دی رام ، که توسط ژرژ د رام در سال 1931 اثبات شد ، بیان می کند که برای یک مانیتور صاف M ، این نقشه در واقع یک ایزومورفیسم است .

دقیق تر نقشه را در نظر بگیرید

$\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M) \ to H ^ {p} (M؛ \ mathbb {R})،}$

تعریف شده به شرح زیر است: برای هر $\ displaystyle [\ omega] \ in H _ {\ mathrm {dR} ^ {p} (M)$ بگذارید من ( ω ) عنصر آن باشم $\ displaystyle \ text {Hom}} (H_ {p} (M)، \ mathbb {R}) \ simeq H ^ {p} (M؛ \ mathbb {R})}$ که به شرح زیر عمل می کند:

$H_p (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int_c \ امگا.$

قضیه د رام ادعا می کند که این یک ایزومورفیسم بین کوه شناسی د رام و جامعه شناسی مفرد است.

کالا بیرونی بخشد مجموع مستقیم از این گروه با یک حلقه ساختار. نتیجه دیگر قضیه این است که دو حلقه محکم شناسی ایزومورفیک هستند (به عنوان حلقه های درجه بندی شده ) ، که در آن محصول مشابه در محاسبه مفرد محصول جام است .

ایزومورفیسم Sheaf- تئوریک د رام [ ویرایش ]

به cohomology د Rham است ریخت به چک های cohomology H * ( U ، F ) ، که در آن F است که بافه از گروه های abelian تعیین شده توسط $\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$ برای همه مجموعه های باز متصل U ⊂ M ، و برای مجموعه های باز U ، V به گونه ای که U ⊂ V ، گروه مورفیسم res V ، U : F ( V ) → F ( U ) توسط نقشه هویت موجود در $\ displaystyle \ mathbb {R}،$ و که در آن U خوب است پوشش را باز از M (یعنی تمام مجموعه باز در پوشش را باز U هستند contractible به یک نقطه، و تمام تقاطع محدود از مجموعه های در U هم خالی است و یا contractible به یک نقطه هستند). به عبارت دیگر ، F ، پوسته ثابت است که توسط sheafification تخصیص presheaf ثابت داده شده است $\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$ .

بیان دیگر، اگر M جمع و جور است C متر 1 چند برابر از ابعاد متر ، سپس برای هر K ≤ متر ، یک ریختی وجود دارد

$\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ civ \ check {H}} ^ {k} (M، \ mathbb {R})}$

جایی که سمت چپ گروه cohomology k -th de Rham و سمت راست همگانی Čech برای شلف ثابت با فیبر است. $\ displaystyle \ mathbb {R}.$

اثبات [ ویرایش ]

اجازه دهید Ω K نشان دهنده بافه میکروب از K -forms در M (با Ω 0 بافه C متر 1 توابع در M ). توسط لیمون Poincaré ، ترتیب زیر شیوها دقیقاً (در دسته شیوخ) است:

$\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {R} \ to \ Omega ^ {0} \، {\ xrightarrow {d}} \، \ Omega ^ {1} \، {\ xrightarrow d}} \، \ Omega ^ {2} \، {\ xrightarrow d}} \ dots {\ xrightarrow {d}} \، \ Omega ^ {m} \ to 0.}$

این دنباله اکنون به توالی های دقیق کوتاه تقسیم می شود

$0 \ to d \ Omega ^ {k-1} \، \ xrightarrow {\ زیرمجموعه} \، \ امگا ^ k \، \ xrightarrow {d} \، d \ Omega ^ k \ to 0.$

هر یک از این موارد باعث ایجاد توالی دقیق و طولانی در زندگی شناسی می شوند . از آنجا که بافه C متر 1 توابع در اذعان منیفولد پارتیشن وحدت ، بافه-های cohomology H من (Ω K ) ناپدید برای من > 0 . بنابراین ، توالی های دقیق زیست شناسی طولانی ، در نهایت از زنجیره ایزومورفیسم جدا می شوند. در یک انتهای زنجیره ، cohomology Čech و در طرف دیگر ، cohomology de Rham قرار دارد.

ایده های مرتبط [ ویرایش ]

جامعه شناسی د رام الهام بخش بسیاری از ایده های ریاضی ، از جمله زندگی شناسی Dolbeault ، نظریه هاج ، و قضیه شاخص Atiyah-Singer است . با این حال ، حتی در زمینه های کلاسیک تر ، قضیه الهام بخش تعدادی از تحولات است. در مرحله اول ، تئوری هاج ثابت می کند که یک همسنجی بین جامعه شناسی متشکل از اشکال هارمونیک و جامعه شناسی دو رام وجود دارد که از اشکال بسته مدولو اشکال دقیق تشکیل شده است. این به تعریف مناسب از اشکال هارمونیک و قضیه هاج بستگی دارد. برای اطلاعات بیشتر به تئوری هاج مراجعه کنید .

اشکال هارمونیک [ ویرایش ]

همچنین ببینید: دیفرانسیل هارمونیک

اگر M یک منیفولد فشرده ریمانی باشد ، سپس هر کلاس هم ارزی در $H ^ k _ {\ mathrm {dR}} (م)$ دقیقاً یک شکل هارمونیک دارد . بدین معنی که ، هر عضو ω یک کلاس هم ارزی معین از فرم های بسته را می توان به صورت نوشت

$\ displaystyle \ omega = \ alpha + \ gamma$

که α α دقیق و γ هارمونیک است: Δ γ = 0 .

هر عملکرد هارمونیکی روی یک منیفولد ریمانی جمع و جور ثابت است. بنابراین ، این عنصر نماینده خاص را می توان درک کرد که یک قسمت انتهایی (حداقل) از همه اشکال معادل هماهنگی روی مانیفولد است. به عنوان مثال، در 2 - چنبره ، یکی ممکن است ثابت تصور 1 دندانی به عنوان یکی که در آن همه از "مو" منظمی در همان جهت خار (و همه از "مو" داشتن با طول مشابه). در این حالت ، دو ترکیب از نظر فرهنگ شناختی متمایز وجود دارد. همه بقیه ترکیبات خطی هستند. به طور خاص، این نشان می دهد که 1 تعداد بتی از 2 -torus دو است. به طور کلی ، در یک toros n- بعدی T Nمی توان ترکیبهای مختلف K- form را در توروس در نظر گرفت. وجود دارد N را انتخاب ک چنین combings است که می تواند به شکل بردارهای پایه برای استفاده $H ^ k _ {\ متن {dR}} (T ^ n)$ ؛ K هفتم تعداد بتی برای د Rham گروه های cohomology برای N -torus بنابراین N را انتخاب ک .

به طور دقیق تر ، برای یک مانیفولد دیفرانسیل M ، ممکن است آن را به برخی از متریک کمکی ریمانی مجهز کند . سپس Δ Laplacian Δ توسط تعریف می شود

$\ دلتا = د \ دلتا + \ دلتا د$

با د بیرونی مشتق و دلتا codifferential . لاپلاسین همگن (در درجه بندی ) خطی عملگر دیفرانسیل عمل به جبر بیرونی از فرم های دیفرانسیل : ما می توانیم در عمل خود را در هر یک از اجزای درجه نگاه K به طور جداگانه.

اگر M است جمع و جور و گرا ، در بعد از هسته از بازیگری لاپلاس بر فضای K -forms سپس برابر (توسط نظریه هاج ) که از د گروه های cohomology Rham را در درجه K : میدارد لاپلاس یک منحصر به فرد هارمونیک فرم در هر کلاس زندگی شناسی از فرم های بسته . به طور خاص ، فضای کلیه K- فرم های هارمونیک بر روی M isomorphic است $\ displaystyle H ^ {k} (M؛ \ mathbb {R}).$ ابعاد هر فضا متناهی است و با شماره k -th Betti داده می شود .

تجزیه هاج [ ویرایش ]

اجازه دهید M یک جمع و جور گرا ریمانی . تجزیه هاج کشورهای که هر ک دندانی در M منحصر به فرد به مجموع سه تجزیه L 2 جزء است:

$\ displaystyle \ امگا = \ alpha + \ بتا + \ گاما ،$

که α دقیقاً است ، β دقیق است و γ هارمونیک است.

یکی می گوید که یک شکل β است به شرکت بسته اگر δβ = 0 و همکاری دقیق است اگر β = δη برای برخی از فرم η ، و γ هارمونیک اگر دلتا γ = 0 . این امر با ذکر این نکته که اشکال دقیق و کاملاً دقیق متعامد هستند ، به شرح زیر است. مکمل متعامد سپس از اشکال تشکیل می شود که هم بسته و هم بسته هستند: یعنی از اشکال هارمونیک. در اینجا ، ارتزونیت با توجه به محصول داخلی L 2 در Ω k ( M ) تعریف شده است :

$\ displaystyle (\ alpha، \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta.$

با استفاده از فضاها یا توزیع Sobolev ، تجزیه را می توان به عنوان مثال به یک منیفولد کامل ریومانی (جهت دار یا نه) گسترش داد. [2]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی