دی آر.اچ . ام کو همولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم شهریور ۱۳۹۹ | 0:49

زمینه بردار مربوط به یک شکل دیفرانسیل در صفحه سوراخ شده که بسته اما دقیق نیست ، نشان می دهد که جامعه شناسی د رام این فضا غیر پیش پا افتاده است.

در ریاضیات ، cohomology د رام (بعد از ژرژ د رام ) ابزاری است که هم به توپولوژی جبری و هم به توپولوژی دیفرانسیل تعلق دارد ، قادر به بیان اطلاعات اصلی توپولوژیکی در مورد منیفولدهای صاف به شکلی بخصوص که با محاسبات و بازنمایی بتن از کلاسهای کوه شناسی سازگار است . این یک نظریه کوهشناسی است که بر اساس وجود اشکال دیفرانسیل با خواص تجویز شده است.

ادغام در مفهوم اشکال است از اهمیت اساسی در توپولوژی دیفرانسیل، هندسه، و فیزیک، و نیز بازده یکی از مهمترین نمونه مهم از های cohomology ، یعنی د Rham های cohomology ، که (به طور کلی) اقدامات دقیقا چه حد است که قضیه اساسی حساب در ابعاد بالاتر و منیفولدهای عمومی شکست می خورد.- ترنس تائو ، فرم های افتراقی و ادغام [1]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

پیچیده د Rham است که cochain پیچیده از فرم های دیفرانسیل در برخی از صاف منیفولد M ، با مشتق بیرونی به عنوان دیفرانسیل:

$\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to} \ \ \ امگا ^ {1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ امگا ^ {2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ به} \ \ \ امگا ^ {3} (M) \ به \ cdots ،$

جایی که Ω 0 ( M ) فضای توابع صاف در M است ، Ω 1 ( M ) فضای 1- شکل و غیره است. فرمهایی که تصویر سایر اشکال تحت مشتق بیرونی است ، به علاوه تابع ثابت 0 در Ω 0 ( M ) ، دقیق نامیده می شوند و فرم هایی که مشتقات بیرونی آن 0 باشد بسته خوانده می شوند (به اشکال دیفرانسیل بسته و دقیق مراجعه کنید ). رابطه d 2= 0 سپس می گوید که فرم های دقیق بسته هستند.

در مقابل ، اشکال بسته لزوماً دقیق نیستند. یک نمونه مصور ، دایره ای به عنوان منیفولد است ، و 1- شکل مربوط به مشتق زاویه از یک نقطه مرجع در مرکز آن ، که معمولاً به عنوان dθ نوشته می شود (شرح داده شده در فرم های افتراقی بسته و دقیق ). هیچ تابع وجود دارد θ تعریف شده بر روی دایره تمام به طوری که dθ مشتق شده از آن است. افزایش 2 π در گردش یک بار در اطراف دایره در جهت مثبت حاکی از یک عملکرد چند منظوره θ است . از بین بردن یک نقطه از دایره ، این امر را جلوگیری می کند ، در عین حال توپولوژی منیفولد را تغییر می دهد.

ایده پشت پرده زندگی مشترک ، تعریف کلاس های هم ارزی اشکال بسته روی یک منیفولد است. یکی طبقه بندی دو شکل بسته آلفا ، β ∈ اهم بر K ( M ) به عنوان cohomologous اگر آنها توسط فرم دقیق، این است که، اگر متفاوت α - β دقیق است. این طبقه بندی باعث ایجاد رابطه هم ارزی در فضای اشکال بسته در Ω k ( M ) می شود . سپس گروه kohomology k -th de Rham را تعریف می کند $H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)$ مجموعه کلاس های هم ارزی ، یعنی مجموعه اشکال بسته در مدول Ω k ( M ) فرم های دقیق.

توجه داشته باشید که ، برای هر منیفولد M که از اجزای جدا شده m تشکیل شده است ، که هر یک از آنها به هم متصل هستند ، ما آن را داریم

$\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {0} (M) \ kong \ mathbb {R} ^ {m}.$

این از این واقعیت ناشی می شود که هر عملکرد صاف در M با مشتق صفر در همه جا به طور جداگانه بر روی هر یک از اجزای متصل به M ثابت است .

محاسبات د رام محاسبه شده [ ویرایش ]

ممکن است فرد با استفاده از واقعیت فوق در مورد محاسبات صفر و یک توالی مایر - ویتوریس کلیات مشترک د رام یک مانیفولد را پیدا کند . یک واقعیت مفید دیگر این است که جامعه شناسی د رام یک متغیر هموپی است. در حالی که محاسبه داده نشده است ، محاسبات محاسبه شده در مورد Rhem برای برخی از اشیاء توپولوژیک رایج در زیر آمده است:

N -sphere [ ویرایش ]

برای n- sphere ، S n ، و همچنین هنگامی که با محصولی از فواصل باز جمع آوری شده ، موارد زیر را در اختیار شما قرار می دهیم. بگذارید n > 0 ، m ≥ 0 ، و من یک بازه واقعی واقعی باشید. سپس

$\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {n} \ دفعات I ^ {m}) \ simeq {\ شروع {موارد} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {یا }} k = n ، \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {و}} k \ neq n. \ end {موارد}}}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی