ادامه فرم های دیفرانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه یکم شهریور ۱۳۹۹ | 0:27

دی آر.اچ . ام کو همولوژی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

از جبر فارغ التحصی $\ امگا (U)$ یک مجموعه کوکته می تواند به همراه مشتقات خارجی ساخته شود . برای این است که پس از آن با روش های معمول در مقایسه جبر همسان یکی های cohomology تعریف شده است. ژرژ د رام توانست نشان دهد كه این تئوری كوهومولوژی به نام وی با جامعه شناسی مفرد موافق است. برای تعریف جامعه شناسی د رام ، ابتدا اصطلاحات فرم دقیق و بسته بسته بندی شده تعریف می شود:

اشکال دقیق و بسته [ ویرایش | ویرایش منبع ]

آ $ک$ -شکل $\ امگا$ یعنی بسته شده که $\ mathrm d \ omega = 0$ اعمال میشود؛ اگر یکی وجود داشته باشد ، دقیقاً نامیده می شود $(k-1)$ -شکل $\ و$ در آنجا $\ omega = \ mathrm d \ eta$ اعمال میشود. بخاطر فرمول $\ mathrm d \ mathrm d \ eta = 0$ هر شکل دقیق بسته است توجه داشته باشید که بر خلاف دقیق ، نزدیکی یک خاصیت محلی است: $\ {V_ \ alpha \$ پوشش باز از $تو ،$ یکی است $ک$ -شکل $\ امگا$ بسته اگر و فقط در صورت محدودیت $\ امگا$ بر $V_ \ alpha$ برای هر $\ آلفا$ بسته است

گروههای جامعه شناسی د رام [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فضای عامل

{بسته $ک$ شکل در $تو$ $\ بزرگ /$ {دقیق $ک$ شکل در $تو$

به نام $ک$ -همین گروه کوه شناسی د رام $\ mathrm H ^ k _ {\ mathrm {dR}} (U).$ این شامل اطلاعاتی در مورد ساختار توپولوژیک جهانی است $ایالات متحده$

لم پوانکاره [ ویرایش | ویرایش منبع ]

→ نوشتار اصلی : پوانکاره لم

لم پوانکاره این را می گوید $\ mathrm {H}} _ {{{\ mathrm {dR}}}} ^ {k} (U) = 0$ برای $k> 0$ و مناطق ستاره ای $تو$ . به طور کلی، بیانیه ای از این لم به اعمال contractible زیر مجموعه باز $تو$ از $\ mathbb R ^ n.$ اثبات سازنده است؛ ح نمونه های صریح ساخته شده است که برای کاربردها بسیار مهم است. توجه داشته باشید که $\ mathrm H ^ 0 _ {\ mathrm {dR}} (U)$ از توابع محلی ثابت تشکیل شده است ، زیرا با تعریف هیچ صور صفر وجود ندارد. پس اینطور $\ mathrm H ^ 0 _ {\ mathrm {dR}} (U) \ not = 0$ برای هر v varnothing. $U \ not = \ varnothing.$

است $\ امگا$ بسته و ' $\ eta = \ mathrm d \ eta '$ دقیقاً ، به شرح زیر است

$\ omega \ wedge \ eta = \ omega \ wedge \ mathrm d \ eta '= (- 1) ^ {\ deg \ omega} \ mathrm d (\ omega \ wedge \ eta') \،.$

در صورتی که $\ امگا$ دقیق و $\ و$ بسته است بنابراین نقشه‌های ناشی از آن وجود دارد

$\ mathrm H ^ k _ {\ mathrm {dR}} (U) \ times H ^ m _ {\ mathrm {dR} U (U) \ longrightarrow \ mathrm H ^ {k + m} _ {\ mathrm {dR}} ( U)$

نمونه ای از الکترودینامیک [ ویرایش | ویرایش منبع ]

در الکترودینامیک ، لیم Poincaré برای این جفت دلالت دارد $\ vec E ، \ vec B$ زمینه های الکترومغناطیسی و در نتیجه یک مرحله دیفرانسیل متناوب دو مرحله ای $\ mathbf F$ می توان در یک فضای Minkowski چهار بعدی ، یک فرم بالقوه بردار تک مرحله خلاصه کرد $\ mathbf {A$ با $\ mathbf F = \ mathrm {d} \ mathbf {A$ وجود دارد ، به اصطلاح "چهار پتانسیل" ، همچنین چهار بردار را ببینید . چگالی جریان و شارژ نیز می تواند به یک چهار بردار یا یک شکل 3 متناوب تبدیل شود $\ mathbf j$ خلاصه می شود

معادلات نسبیتی ماکسول از الکترودینامیک در یک منیفولد فضا-زمان چهار بعدی $م$ (با متریک $g _ {\ آلفا ، \ بتا$ و تعیین کننده متریک $ج$ به عنوان مثال ، در اینجا امضای یک فضای مینکوفسکی موجود است $\ mathrm {diag} (+ 1 ، -1 ، -1 ، -1)$ برای $\ alpha = 0،1،2،3 ،$ با توجه به تعریف عنصر خط $\ mathrm {ds$ ) به عنوان مثال با استفاده از این نمادگرایی بخوانید:

$\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {F} = 2 (\ partial _ {\ gamma} F _ {\ alpha \ beta + \ partial _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alpha} + \ partial _ \ alpha} F _ {\ beta \ gamma}) \ mathrm {d} \، x ^ {\ alpha} \ گوه \ mathrm {d} \، x ^ {\ beta} \ گوه \ mathrm {d} \، x ^ \ گاما} = 0$

(به اصطلاح هویت Bianchi ) و

$\ displaystyle \ mathrm {d} (* \ mathbf {F}) = {F ^ {\ alpha \ beta}} _ {؛ \ alpha} {\ sqrt {-g}} \، \ epsilon _ {\ beta \ gamma \ delta \ eta \ mathrm {d} \، x ^ {\ gamma} \ wedge \ mathrm {d} \، x ^ {\ delta} \ wedge \ mathrm {d} \، x ^ {\ eta} = \ mathbf {j}$

با تانسور میدان الکترومغناطیسی به صورت 2 شکل بیان شده است

$\ displaystyle \ mathbf {F} = F _ {\ alpha \ beta} \، \ mathrm {d} \، x ^ {\ alpha} \ wedge \ mathrm {d} \، x ^ {\ beta} \،،}$

z $F_ {1،2 B = B_z$ با مؤلفه z از بردار القایی مغناطیسی و با جریان (نوشته شده به صورت 3 شکل)

$\ displaystyle \ mathbf {j} = j ^ {\ alpha} {\ sqrt {-g} \، \ epsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ mathrm {d} \، x ^ {\ beta \ گوه \ mathrm {d} \، x ^ {\ gamma \ گوه \ mathrm {d} \، x ^ {\ delta}.$

اینجاست $\ epsilon _ {\ alpha \ بتا \ گاما \ دلتا}$ نماد ضد تقارن ( نماد Levi-Civita ) ، و جمع رنگ مخفف کواریان است . طبق معمول ، شاخص های دو برابر به هم اضافه می شوند (مجموعه همایش انیشتین ) و از واحدهای طبیعی استفاده می شود (سرعت نور $ج$ جایگزین توسط $1$ ) با استفاده از $*$ اپراتور ، مجموعه دوم از چهار معادله Maxwell را می توان به صورت متناوب با 1 فرم برای جریان نوشت. از معادلات ماکسول می توان آن را مشاهده کرد $\ mathbf F$ و $* \ mathbf F$ در الکترودینامیک از معادلات بسیار متفاوت پیروی کنید ، بنابراین دوگانگی تقارن این نظریه نیست. این امر به این دلیل است که دوگانگی بین میدانهای الکتریکی و مغناطیسی تبادل می یابد ، اما در الکترودینامیک هیچ تک قطبی مغناطیسی مشخص نیست. معادلات رایگان ماکسول ، که برای $\ mathbf j \ equiv 0$ در نتیجه ، تقارن دوگانه دارند.

شکل بالقوه $\ mathbf {A$ فقط تا یک افزودنی است $\ mathrm d \ chi$ به وضوح: $\ mathbf {A$ و $\ mathbf {A} + \ mathrm d \ chi$ نتیجه همان $\ mathbf F ،$ با فرم کالیبراسیون i $\ چی$ ، $\ mathrm d (\ mathrm d \ chi) \ Equiv 0$ راضی اما در غیر این صورت دلخواه. می توانید از این آزادی به اصطلاح کالیبراسیون اضافی برای برطرف کردن محدودیت های اضافی به نقطه استفاده کنید. به عنوان مثال ، در الکترودینامیک چنین چیزی را می طلبد $\ mathbf {A$ در همه جا شرایط به اصطلاح لورنز ( کالیبراسیون لورنز ) $\ mathrm {d} (* \ mathbf A) = 0$ باید اعمال شود ، در چهار مؤلفه این شرط ساده است $\ partial_ \ nu A ^ \ nu = 0$ . این "رفع کالیبراسیون" سرانجام منجر به اصطلاح "پتانسیل عقب مانده" به عنوان یک راه حل بی نظیر از هر چهار معادله ماکسول می شود:

$A ^ \ nu (\ mathbf r، t) = \ int \، \ frac {j ^ \ nu (\ mathbf {r '}، t- \ frac {| \ mathbf r - \ mathbf {r'} |} c})} \ 4 \ pi | \ mathbf r - \ mathbf {r '} |} \، \ mathrm d ^ 3 r' \،$

در هنگام انتقال به دوتایی ، باید توجه داشت كه شخص با اینها سر و كار ندارد $\ mathbb {R} ^ 4 ،$ اما با $\ mathbb {M} ^ 4$ باید این کار را انجام دهد که متریک متفاوتی دارد ، یعنی متریک مینکوفسکی . متغیر عنصر خط در تحولات لورنتس است $\ mathrm {d} s ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm d \ tau ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2-c ^ 2dt ^ 2 = - \ mathrm dx_ \ nu \ mathrm dx ^ \ خوب،$ که در آن $\ mathrm d \ tau$ دیفرانسیل زمان مناسب است و از جمع جمع استفاده شده است. اجزای چهار بردار همکار و متضاد اکنون متفاوت هستند. درست است $+ \ mathrm dx_0 \ equiv + \ mathrm dx ^ 0 = c \، dt،$ ولی $- \ mathrm d x_1 \ equiv + \ mathrm dx ^ 1 = dx، \، \، - \ mathrm dx_2 \ equiv + \ mathrm dx ^ 2 = dy، \، \، - \ mathrm dx_3 \ equiv + \ mathrm dx ^ 3 = dz.$

نظریه ادغام [ ویرایش | ویرایش منبع ]

جهت گیری [ ویرایش | ویرایش منبع ]

→ نوشتار اصلی : جهت (ریاضی)

است $n = \ کم U ،$ این اسم یکی است $ن$ -فروش کن ، $تو ،$ که در هر نقطه ناپدید می شود ، تمرکز روی آن است. $ایالات متحده$ $تو$ همراه با چنین شکلی گرا نامیده می شود. جهت گیری $\ آلفا$ جهت گیری فضاهای مماس و انتهای زاویه را تعریف می کند: یک پایه $\ eta_1 ، \ ldots ، \ eta_n$ فضای cotangent در یک نقطه $پ$ اگر گرایش مثبت داشته باشید

$\ alpha_p = a \ cdot \ eta_1 \ گوه \ ldots \ گوه \ eta_n$

با یک عدد مثبت a} $آ$ اعمال میشود؛ یک پایه $X_1 ، \ ldots ، X_n$ از فضای مماس در یک نقطه $پ$ اگر گرایش مثبت داشته باشید

$\ alpha (X_1 ، \ ldots ، X_n)> 0$

اعمال میشود.

گفته می شود که دو جهت معادل هستند اگر تنها با یک عامل مثبت جهانی متفاوت باشند. این شرط معادل تعریف جهت گیری یکسان در هر فضای مماس یا لنگه است.

است $تو$ متصل شده ، دو کلاس هم ارزی یا دقیقاً وجود ندارد.

$تو$ اگر جهت یابی باشد به جهت یابی گفته می شود $تو$ وجود دارد

ادغام اشکال دیفرانسیل [ ویرایش | ویرایش منبع ]

دوباره است $n = \ کم U ،$ و فرض می کنیم $تو$ جهت گیری را انتخاب کنید سپس یک انتگرال متعارف وجود دارد

$\ int_U \ امگا$

برای $ن$ -شکل دادن $\ امگا$ است $تو$ یک زیر مجموعه باز از $\ mathbb {R} ^ {n$ و $x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n$ توابع مختصات استاندارد در $\ mathbb {R} ^ {n$ و است

$\ displaystyle \ omega = f \، \، \ mathrm {d} x_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge \ mathrm d} x_ {n}،}$

بنابراین اعمال می شود

$\ int_U \ omega = \ int_U f (x_1 ، \ نقطه ، x_n) \، \، \ mathrm dx_1 \ ldots \ mathrm dx_n؛$

انتگرال در سمت راست عادی است Lebesgue انتگرال $\ mathbb R ^ n.$

است $م$ $ن$ منیفولد گرا بعدی $زیر مجموعه M \$ باز و $\ phi \ Colon U \ to \ R ^ n$ کارت ، اینگونه تعریف می کنید

$\ int_U \ omega = \ int _ {\ phi (U) (\ phi ^ {- 1}) ^ * \ omega$

به عنوان یک انتگرال از $ن$ -شکل $\ امگا$ بیش از یک منطقه نقشه $تو$ . فرم دیفرانسیل $\ امگا$ بنابراین با پارامتر کردن است $\ phi ^ {- 1} \ Colon \ phi (U) \ به U$ از جانب $تو$ در زیر مجموعه باز $\ phi (U) \ زیرمجموعه \ R ^ n$ مطابق با تعریف بالا یکپارچه شد و سپس یکپارچه شد از این قضیه تحول نتیجه می گیرد که این تعریف برای هماهنگی تغییرات متغیر است.

عمومی تر است $ب$ یک زیر مجموعه قابل اندازه گیری از $تو$ اینگونه تعریف می کنید

$\ int_B \ omega = \ int_U \ chi_B \ امگا$

با عملکرد خاص $\ chi_B$ $\ امگا$ خارج از $ب$ مجموعه صفر

برای تعریف انتگرال در کل $م$ می تواند یک تجزیه باشد

$M = \ bigcup_ {j = 1} ^ {\ infty} M_j$

در بسیاری از زیر مجموعه های قابل اندازه گیری قابل تفکیک است $M_j$ انتخاب شود به طوری که هر یک $M_j$ به طور کامل در یک منطقه نقشه $U_ {j$ گنجانده شده است بنابراین شرط می بندید

$\ int_M \ omega = \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ int_ {M_j} \ امگا$ .

قانون تحول زیر برای انتگرال اشکال دیفرانسیل کاربرد دارد: واقعی $f \ colon M \ to N$ پس از آن پایدارمورفیسم حفظ کننده جهت گیری است $\ omega \ in \ Omega ^ n (N)$

$\ int_N \ omega = \ int_M f ^ * \ امگا$

با $م$ فرم بازیابی شده $f ^ * \ امگا$ .

قضیه استوكس [ ویرایش | ویرایش منبع ]

→ نوشتار اصلی : قضیه استوکس

است $م$ یک جمع و جور گرا $ن$ منیفولد متمایز بعدی با مرز $\ جزئی جزئی م$ و می بینید $\ جزئی جزئی م$ با جهت گیری القایی ، هر یک را نگه می دارد $(n-1)$ -شکل $\ امگا$

$\ int_M \ mathrm d \ omega = \ int _ {\ part M M} \ omega.$

این قضیه یک تعمیم فراگیر از قضیه اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال است . این شامل قضیه انتگرال گاوسی و قضیه انتگرال کلاسیک توسط استوکس به عنوان موارد خاص است .

است $م$ بسته است ، یعنی اعمال می شود $\ جزئی جزئی M = \ vacyset ،$ بنابراین برای دقیق $ن$ -شکل $\ omega ^ {\ متن {دقیق} ،$ برای $\ omega \ Equiv \ omega ^ \ text {دقیق} = \ mathrm {d} \ varphi،$ رابطه:

$\ int_M \ omega ^ \ text {دقیق = \ int_M \ mathrm d \ varphi = \ int _ {\ partial M = \ vacyset} \ varphi = 0 \،$

برای روشن کردن ویژگی ذکر شده در $م$ یکی اغلب از فرمول استفاده می کند با یک انتگرال دایره:

$\ oint_M \ omega ^ \ text {دقیق} = 0$

انتگرال نقشه را ارائه می دهد

$\ mathrm H ^ n _ {\ mathrm {dR}} (M) \ to \ mathbb R.$

است $م$ متصل ، این نقشه برداری یک ایزومورفیسم است . این شما را به زندگی مشترک دی رام باز می گرداند (به بالا مراجعه کنید).

محاسبات نمونه [ ویرایش | ویرایش منبع ]

بر $\ mathbb {R} ^ {3}$ با مختصات دکارتی $(x ، y ، z)$ یک شکل باشد

$\ omega = z ^ 2 \، \ mathrm dx + 2y \، \ mathrm dy + xz \، \ mathrm dz$

و فرم 2

$\ nu = z \، \ mathrm dz \ wed \ mathrm dx$

داده شده.

موارد زیر مربوط به محصول خارجی است

$\ omega \ wedge \ nu = z ^ 3 \، \ underbrace {\ mathrm dx \ wedge \ mathrm dz \ wedge \ mathrm dx} _ {= \، 0} + 2yz \، \ underbrace {\ mathrm dy \ wedge \ mathrm dz \ wge \ mathrm dx} _ {= \، \ mathrm dx \ wedge \ mathrm dy \ wedge \ mathrm dz} + xz ^ 2 \، \ underbrace {\ mathrm dz \ wedge \ mathrm dz w wedge \ mathrm dx} _ = \، 0} = 2yz \، \ mathrm dx \ wedge \ mathrm dy \ wedge \ mathrm dz$ .

مشتق خارجی {\ صفحه نمایش \ امگا $\ امگا$ نتایج

$\ mathrm d \ omega = 2 z \، \ mathrm dz \ wedge \ mathrm dx + 2 \، \ mathrm dy \ wedge \ mathrm dy + (z \، \ mathrm dx + x \، \ mathrm dz) \ wedge \ mathrm dz = 2 z \، \ mathrm dz \ wge \ mathrm dx - z \، \ mathrm dz \ wedge \ mathrm dx = z \، \ mathrm dz \ wedge \ mathrm dx$ ،

بنابراین $\ mathrm d \ omega = \ nu$ . به ویژه است $\ mathrm d \ nu = 0$ . این نیز می تواند توسط فاکتور مستقیم بررسی شود: $\ mathrm d \ nu = \ mathrm dz \ wedge \ mathrm dz \ wedge \ mathrm dx = 0$ .

ادامه دهید $c \ colon [0،1] \ to \ R ^ 3$ داده شده توسط $c (t) = (t ^ 2.2t، 1)$ ، سپس با دنبال کنید $x = t ^ 2$ ، $y = 2t$ ، $z = 1$ و $\ mathrm dx = 2t \، \ mathrm dt$ ، $\ mathrm dy = 2 \، \ mathrm dt$ ، $\ mathrm dz = 0$ برای $[0.1]$ فرم بازیابی شده:

$c ^ * \ omega = 2t \، \ mathrm dt + 8 t \، \ mathrm dt = 10 t \، \ mathrm dt$ .

برای انتگرال از $\ امگا$ از طریق $ج$ منحنی داده شده $\ گاما = c ([0.1])$ در $\ mathbb {R} ^ {3}$ بنابراین نتیجه می گیرد

$\ int _ {\ گاما} \ omega = \ int _ {[0،1]} c ^ * \ omega = \ int_0 ^ 1 10 t \، \ mathrm dt = 5$ .

است $S ^ 2 = \ {\ mathbf {x} \ در \ R ^ 3: \ | \ mathbf {x} \ | _2 = 1 \$ حوزه واحد در $\ mathbb {R} ^ {3}$ ، همینطور است $S ^ {2$ لبه کره واحد $B ^ 3 = \ {\ mathbf {x} \ در \ R ^ 3: \ | \ mathbf {x} \ | _2 <1 \$ ، بنابراین $S ^ 2 = \ جزئی B ^ 3$ . طبق قضیه استوکس ، به همین دلیل $\ mathrm d \ nu = 0$

$\ int_ {S ^ 2} \ nu = \ int_ {B ^ 3} \ mathrm d \ nu = 0$ .

فرم 3 $\ امگا \ گوه \ nu$ به عنوان مثال می تواند از مکعب واحد استفاده کند $W = [0.1] ^ 3$ برای یکپارچه شدن انتگرال آنها با انتگرال Lebesgue از عملکرد ضریب موافق است $(x، y، z) \ mapsto 2yz$ همخوانی داشتن:

$\ int_W \ omega \ wedge \ nu = \ int_W 2yz \، \ mathrm dx \ wedge \ mathrm dy \ wedge \ mathrm dz = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 2yz \، \ mathrm dx \، \ mathrm dy \، \ mathrm dz = 2 \ cdot \ int_0 ^ 1 y \، \ mathrm dy \ cdot \ int_0 ^ 1 z \، \ mathrm dz = \ frac {1} {2$ .

اشکال دیفرانسیل پیچیده [ ویرایش | ویرایش منبع ]

→ نوشتار اصلی : فرم دیفرانسیل مجتمع

در تئوری اشکال پیچیده دیفرانسیل ، حسابهای معرفی شده در اینجا به منیفولدهای پیچیده منتقل می شود . در اکثر موارد ، این کار به طور مشابه با تعریف اشکال شرح داده شده در اینجا کار می کند. با این حال ، شبیه به اعداد پیچیده ، فضاهای اشکال دیفرانسیل پیچیده به دو فاصله از اشکال دیفرانسیل (واقعی) تبدیل می شوند

$\ mathcal {E} ^ r (M) \ kong \ Omega ^ {r، r} (M) = \ Omega ^ r (M) \ oplus i \ Omega ^ r (M)$

جدا شد فضا $\ امگا ^ {پ ، q$ اتاق سپس نامیده می شود $(پ ، س)$ -شکل دادن. مشابه آن با مشتقات بیرونی ، دو مشتق جدید را می توان در این فضاها تعریف کرد. این Dolbeault - نام و Dolbeault اپراتور متقابل، و مشابه به cohomology د Rham می تواند یک ابزار Dolbeault متقابل اپراتور دوباره های cohomology فرم. این امر به عنوان cohomology Dolbeault نامیده می شود .

منبع

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی