T 1 فضا

در توپولوژی و شاخه های مربوط به ریاضیات ، یک فضای T 1 یک فضای توپولوژیک است که در آن هر جفت هر نقاط متمایز، هر محله دیگری را ندارد. [1] R 0 فضا است که در آن این برای هر جفت از است توپولوژیکی تشخیص نقطه است. خصوصیات T 1 و R 0 نمونه هایی از اصطلاحات جدایی هستند 

فهرست

• 1تعاریف
• 2خواص
• 3نمونه
• 4تعمیم دادن به انواع دیگر فضاها
• 5منابع

تعاریف [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک فضای توپولوژیک باشد و x و y در X نقطه باشند . ما می گوییم که x و y را می توان از هم جدا کرد، اگر هر یک در محلهای قرار دارد که نقطه دیگر آن نیست.

• X است T 1 فضای اگر هر دو متمایز امتیاز در X جدا می شود.
• X یک IS R 0 فضای اگر هر دو توپولوژیکی تشخیص نقاط در X جدا می شود.

فضای AT 1 همچنین فضای قابل دسترس یا فضای Tychonoff یا فضای با توپولوژی Fréchet نامیده می شود و فضای R 0 نیز فضای متقارن نامیده می شود . (اصطلاح فضای فریشههمچنین دارای یک معنای کاملا متفاوتی در تجزیه و تحلیل عملکرد . به همین دلیل، مدت T 1 فضای بهتر است. همچنین تصور از یک وجود دارد فضای فریشه-Urysohn و به عنوان یک نوعفضای متوالی . اصطلاح فضای متقارن است معنای دیگری )

خواص [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک فضای توپولوژی باشد. در نتیجه وضعیت های زیر یکسان اند:

• X یک فضای T 1 است.
• X است T 0 فضا و یک R 0 فضا.
• امتیازات در X بسته می شود ؛ یعنی با توجه به هر x در X ، مجموعه تک تک { x } یک مجموعه بسته است .
• هر زیر مجموعه ای از X تقاطع همه مجموعه های باز آن حاوی است.
• هر مجموعه محدود بسته است [2]
• هر مجموعه مختلط از X باز است.
• Ultrafilter را ثابت در X تنها به همگرا X .
• برای هر زیر مجموعه S از X و هر نقطه x در X ، x یک نقطه محدود از S است اگر و فقط اگر هر محدوده باز از x حاوی نقاط بی نهایت از S باشد.

اجازه دهید X یک فضای توپولوژی باشد. در نتیجه وضعیت های زیر یکسان اند:

• X یک R است 0 فضا.
• با توجه به هر x در X ، بسته شدن { x } شامل تنها نقاطی است که از لحاظ توپولوژیکی از x غیر قابل تشخیص است .
• برای هر دو نقطه x و y در فضای، x در بستن { y } است اگر و فقط اگر y در بسته شدن { x } باشد.
• پیش فروش تخصص در X است متقارن (و بنابراین یک رابطه هم ارزی ).
• اولترافیلتر ثابت در x تنها به نقاطی که از لحاظ توپولوژی از x غیر قابل تشخیص هستند، همگرایی می کند .
• هر مجموعه باز ، اتحاد مجموعه های بسته است .

در هر فضای توپولوژیک، به عنوان خواص هر دو نقطه، معانی زیر را داریم

⇒ جداگانه ⇒ قابل تشخیص topologically ⇒ مجزا

اگر فلش اول را می توان معکوس کرد، فضای R 0 است . اگر فلش دوم را می توان معکوس کرد، فضای T 0 است . اگر فلش ترکیبی را می توان معکوس کرد، فضای T 1 است . واضح است که یک فضای T است 1 اگر و تنها اگر آن را هر دو R است 0 و T 0 .

توجه داشته باشید که یک فضای محدود T 1 لزوما گسسته (از آنجا که هر مجموعه بسته است).

مثالها [ ویرایش ]

• فضای Sierpinski یک نمونه ساده از توپولوژی است که T 0 است اما T 1 نیست .
• توپولوژی فاصله با هم تداخل دارند یک مثال ساده از یک توپولوژی است که T است 0 اما T نمی 1 .
• توپولوژی cofinite در مجموعه نامتناهی یک مثال ساده از یک توپولوژی است که T است 1 اما نمی هاسدورف (T 2 ). از آنجایی که هیچ دو مجموعه باز از توپولوژی مختلط وجود ندارد، پیوند وجود دارد. به طور خاص، اجازه دهید X شود مجموعه ای از اعداد صحیح ، و تعریف باز مجموعه ای به زیر مجموعه های آن از X که شامل تمام اما محدود زیر مجموعه از X . سپس اعداد صحیح متمایز x و y داده می شود :

• مجموعه باز O { x } حاوی y اما نه x و مجموعه باز O { y } حاوی x و نه y است .
• معادل هر مجموعه تک تک { x } مکمل از مجموعه باز O { x } است ، بنابراین یک مجموعه بسته است؛

بنابراین فضای نتیجه T 1 توسط هر یک از تعاریف بالا است. این فضا T نمی 2 ، به دلیل تقاطع از هر دو مجموعه باز O و O B است O ∪ B ، است که هرگز خالی است. در عوض، مجموعه ای از اعداد صحیح حتی جمع و جور است اما بسته نیست ، که در فضای هوسدورف غیرممکن است.

• در مثال بالا، می توان کمی تغییر برای ایجاد دو اشاره کرد توپولوژی cofinite است که نمونه ای از R 0 فضا است که نه T 1 و نه R 1 . اجازه دهیم X مجموعه ای از اعداد صحیح باشد و با استفاده از تعریف O A از مثال قبلی، زیربنای مجموعه های باز G x را برای هر اعداد صحیح x تعریف کنیم: G x = O { x ، x +1} اگر x یک حتی تعداد و G x =O { x -1، x } اگر x عدد است. سپس بر اساس توپولوژی توسط محدود داده شده تقاطع از مجموعه subbasis است: با توجه به یک مجموعه متناهی ، مجموعه باز از X هستند

فضای نتیجه T 0 (و در نتیجه T 1 نیست )، زیرا نقاط x و x + 1 (برای x حتی) از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص نیستند؛ اما در غیر این صورت، اساسا معادل نمونه قبلی است.

• توپولوژی ملاقات Zariski در تنوع جبری (بیش از یک میدان بسته جبری ) T است 1 . برای دیدن این، توجه داشته باشید که یک نقطه با مختصات محلی ( ج 1 ، ...، ج N ) است مجموعه ای صفر از چند جمله ای ایکس 1 - ج 1 ، ...، X N - C N . بنابراین، نقطه بسته است. با این حال، این مثال به عنوان یک فضایی است که Hausdorff (T 2 ) نام دارد. توپولوژی Zariski اساسا یک نمونه از توپولوژی مختلط است.
• توپولوژی Zariski در حلقه تعاملی (یعنی طیف اول حلقه ) T 0 است، اما به طور کلی T 1 نیست . [3] برای دیدن این مطلب، توجه داشته باشید که بسته شدن یک مجموعه یک مجموعه ای از تمامآرمان های اول است که حاوی نقطه (و در نتیجه توپولوژی T 0 ) است. با این حال، این بسته شدن است ایده آل حداکثر ، و تنها نقاط بسته آرمان حداکثر هستند و در نتیجه در هر یک از مجموعه های باز از توپولوژی موجود نیست، و در نتیجه فضا اصل T راضی نیست 1 . در مورد این مثال روشن است: توپولوژی Zariski برای یک حلقه تعاملی Aفضای توپولوژیک مجموعه ای است: به شرح زیر داده است X از همه ایده آل های اول از . پایه توپولوژی توسط مجموعه باز داده ای از ایده آل های اول که نمی حاوی در . ساده است که تأیید کنیم که این در واقع اساس را تشکیل می دهد: بنابراین O a ∩ O b = O ab و O 0 = Ø و O 1 = X است . مجموعه بسته از توپولوژی ملاقات Zariski مجموعه از ایده آل های اول که انجام حاوی. توجه کنید که چگونه این مثال ماهرانه از مثال توپولوژی cofinite متفاوت است، بالا: نقاط در توپولوژی بسته نشده است، به طور کلی، در حالی که در یک تی 1 فضا، نقاط همیشه بسته است
• هر کاملا قطع فضای T است 1 ، از هر نقطه است وصل شده و در نتیجه بسته است.

تعاریف دیگر انواع فضاها [ ویرایش ]

اصطلاحات "T 1 "، "R 0 " و مترادف آنها نیز می توانند به چنین تغییراتی از فضاهای توپولوژی به عنوان فضاهای یکنواخت ، فضاهای کوشی و فضاهای همگرایی استفاده شوند . مشخصه ای که مفهوم را در همۀ این نمونه ها متحد می کند این است که محدودیت های اولترافیلترهای ثابت (یا شبکه های ثابت ) منحصر به فرد (برای فضاهای T 1 ) یا منحصر به بالا به غیر قابل تشخیص توپولوژیک (برای فضاهای R 0 ) هستند.

همانطور که معلوم می شود، فضاهای یکنواخت و به طور کلی فضاهای کوشی همیشه R 0 هستند ، بنابراین شرایط T 1 در این موارد به حالت T 0 کاهش می یابد . اما R 0 به تنهایی می تواند یک وضعیت جالب در سایر انواع فضاهای همگرایی مانند فضاهای پیش بینی شده باشد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_topology#T

فضای کلموگروف

  (تغییر مسیر از فضای T0 )

پرش به ناوبریپرش به جستجو

axioms جدایی در فضاهای توپولوژیکی
طبقه بندی کلموگروف
T 0	(کلموگروف)
ت 1	(Fréchet)
T 2	(هاستورف)
T 2 ½	(اروسوهن)
به طور کامل T 2	(کاملا Hausdorff)
T 3	(Hausdorff به طور منظم)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(Hausdorff طبیعی)
T 5	(   Hausdorff کاملا طبیعی )
T 6	(کاملا طبیعی   Hausdorff)
تاریخ فضاهای جداگانه

در توپولوژی و شاخه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای توپولوژیک X یک فضای T 0 یا فضای کولموگروف (به نام Andrey Kolmogorovنامیده می شود) اگر برای هر جفت نقطه متمایز از X ، حداقل یکی از آنها دارای محله ای نیست که دارای دیگری باشد. در یک فضای T 0 ، همه نقاط از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص هستند .

این وضعیت، به نام T 0 شرایط ، از ضعیف ترین است بدیهیات جدایی . تقریبا تمام فضاهای توپولوژیکی که به طور معمول در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند فضاهای T 0 هستند. به طور خاص، تمام فضاهای T 1 ، یعنی تمام فضاهای که در آن برای هر جفت نقاط متمایز، هر کدام دارای یک محله نیستند، فضاهای T 0 هستند. این شامل تمام فضاهای T 2 (یا Hausdorff) است ، یعنی همه فضاهای توپولوژیکی که در آن نقاط متمایز محله های غیر مجاور هستند. با توجه به فضای توپولوژیکی می توان یک فضای T 0 را با شناسایی نقاط غیر قابل تشخیص از لحاظ توپولوژیک ساخت.

T 0 فضاهای که T نمی 1 فضاهای دقیقا کسانی که فضاهای که پیش فروش تخصصی کوچک اما با اهمیت است ترتیب جزئی . این فضاها به طور طبیعی در علوم کامپیوتری رخ می دهد ، به ویژه در معانی معانی .

 

فهرست

• 1تعریف
• 2نمونه ها و مثال های متقابل
  • 2.1فضاهای غیر T 0
  • 2.2فضایی که T 0 است اما نه T 1
• 3با فضاهای T 0 کار می کند
• 4فاکتور کلموگروف
• 5حذف T 0

تعریف [ ویرایش ]

یک فضای T 0 یک فضای توپولوژی است که در آن هر جفت نقطه مشخص از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص است . یعنی، برای هر دو نقطه مختلف x و y یک مجموعه باز است که حاوی یکی از این نکات است و نه دیگری.

توجه داشته باشید که نقاط قابل تشخیص توپولوژیک به طور خودکار متمایز می باشند. از سوی دیگر، اگر singleton مجموعه { x } و { y } را از هم جدا کنند ، نقاط x و y باید از لحاظ توپولوژی قابل تشخیص باشند. به این معنا که،

⇒ جداگانه ⇒ قابل تشخیص topologically ⇒ مجزا

به طور کلی، ویژگی تمایزات توپولوژیک، قوی تر از جدا شدن، اما ضعیف تر از جدا شدن است. در فضایی T 0 ، فلش دوم بالا سمت چپ؛ نقاط مشخص هستند اگر و فقط اگر آنها قابل تشخیص باشند. این به این معنی است که اصل T 0 با بقیه محورهای جداسازی همخوانی دارد .

نمونه ها و نمونه های مخالف [ ویرایش ]

تقریبا تمام فضاهای توپولوژیکی که به طور معمول در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند T 0 هستند . به طور خاص، تمام فضاهای Hausdorff (T 2 ) و T 1 فضاهای T 0 هستند .

فضاهای غیر T 0 [ ویرایش ]

• مجموعه ای با بیش از یک عنصر، با توپولوژی نهایی . هیچ نقشی قابل تشخیص نیست
• مجموعه R 2 که در آن مجموعه باز حاصلضرب دکارتی مجموعه باز در R و R خود، به عنوان مثال، توپولوژی کالا از R با توپولوژی معمول و R را با توپولوژی بدیهی؛ نقاط ( a ، b ) و ( a ، c ) قابل تشخیص نیستند.
• فضای تمام توابع قابل اندازه گیری f از خط واقعی R به یک سیگنال پیچیده C به طوری که انتگرال Lebesgue از | f ( x ) | 2 در سراسر خط واقعی محدود است . دو توابع تقریبا همه جابرابر هستند قابل تشخیص نیستند. همچنین زیر را ببینید.

فضایی که T 0 است اما نه T 1 [ ویرایش ]

• توپولوژی ملاقات Zariski در تنظیمات ( R )، این طیف نخست از یک حلقه جابجایی R همیشه T 0 اما به طور کلی T نمی 1 . نقاط غیر بسته به ایده های اولیه که حداکثر نیستند، مطابق است. آنها برای درک طرح ها مهم هستند .
• توپولوژی نقطه خاص در هر مجموعه ای با حداقل دو عنصر T است 0 اما نه T 1 از نقطه خاص بسته نشده است (بسته شدن آن فضای کل است). یک مورد خاص مهم، فضای Sierpiński است که توپولوژی خاصی در مجموعه {0،1} است.
• توپولوژی نقطه از مطالعه حذف شدند در هر مجموعه ای با حداقل دو عنصر T است 0 اما T نمی 1 . تنها نقطه بسته، نقطه نادیده گرفته شده است.
• توپولوژی الکساندروف در مجموعه ای پاره مرتب T است 0 اما نمی خواهد باشد T 1 مگر اینکه سفارش گسسته است (موافق با برابری). هر فضای محدود T 0 از این نوع است. این همچنین شامل نقطه خاص و توپولوژی نقطه حذف شده به عنوان موارد خاص است.
• توپولوژی جهت سمت راست را بر روی یک مجموعه کاملا مرتب و یک مثال مرتبط است.
• توپولوژی فاصله با هم تداخل دارند شبیه به توپولوژی نقطه خاص است چرا که هر مجموعه باز شامل 0.
• به طور کلی، یک فضای توپولوژیک X T 0 خواهد بود اگر و فقط اگر پیشوند تخصص بر روی X یک نظم جزئی است . با این وجود، X فقط T 1 خواهد بود اگر منظور است گسسته (یعنی موافق با برابری). بنابراین فضای T 0، اما نه T 1 اگر و فقط اگر پیشوند تخصص در X یک دستور جزئی جزئی گسسته است.

عملیات با T 0 فضاهای [ ویرایش ]

نمونه هایی از فضای توپولوژی به طور معمول مورد مطالعه قرار T 0 هستند . در حقیقت، وقتی ریاضیدانان در بسیاری از زمینه ها، به ویژه تجزیه و تحلیل ، به طور طبیعی در فضاهای غیر T 0 اجرا می شوند، معمولا آنها را با فضاهای T 0 جایگزین می کنند ، به نحوی که در زیر توضیح داده شود. برای ایجاد انگیزه ایده ها، یک مثال مشهور را در نظر بگیرید. فضای L 2 ( R ) به معنای فضای تمام توابع قابل اندازه گیری f از خط واقعی R به C پیچیده است، به طوری که انتگرال Lebesgue از | f ( x ) | 2بیش از تمام خط واقعی محدود است . این فضا باید یک تبدیل فضای برداری رو هنجار با تعریف هنجار || f || می شود ریشه مربع که انتگرال. مشکل این است که این واقعا یک هنجار نیست، فقط یک سینمور است ، زیرا توابع دیگری غیر از عملکرد صفر وجود داردکه (نیمه) هنجار صفر است . راه حل استاندارد اینست که L 2 ( R ) را تعریف کنیم که مجموعه ای از کلاس های هم ارز توابع به جای مجموعه ای از توابع به طور مستقیم است. این یک فضای فضایی ایجاد می کنداز فضای بردار اصلی cognomm، و این فاکتور یک فضای بردار ناحیه است. چندین ویژگی راحت از فضای semicomed به ارث برده است؛ زیر را ببینید

به طور کلی، هنگام برخورد با یک توپولوژی ثابت T در مجموعه X ، اگر این توپولوژی T 0 باشد ، مفید است . از سوی دیگر، هنگامی که X ثابت است اما T مجاز است در مرزهای مشخصی متفاوت باشد، T به T 0 ممکن است ناخوشایند باشد، زیرا توپولوژی غیر T 0 اغلب موارد خاص مهمی است. بنابراین، می تواند برای درک هر دو نسخه T 0 و غیر T 0 از شرایط مختلف که می تواند در یک فضای توپولوژیک قرار داده شود، مهم باشد.

مقیاس کلموگروف [ ویرایش ]

عدم تمایز توپولوژیکی نقاط یک رابطه همبستگی است . مهم نیست که چه فضایی توپولوژیکی X ممکن است شروع شود، فضای تقریبی زیر این رابطه همبستگی همیشه T 0 است . این فضا خارج قسمت است به نام بهره کولموگروف از X ، که ما KQ (دلالت X ). البته، اگر X برای شروع از T 0 باشد ، پس KQ ( X ) و X به طور طبیعی هومورفیک هستند . به طور دسته جمعی، فضاهای کلموگروف یک زیرمجموعه بازتابنده از فضاهای توپولوژیک است و فاکتور کلموگروف بازتابنده است.

فضاهای توپولوژیکی X و Y هستند کولموگروف معادل که خارج قسمت کولموگروف خود homeomorphic هستند. بسیاری از خواص فضاهای توپولوژیکی با این معادله حفظ می شوند؛ یعنی اگرX و Y معادل Kolmogorov باشند، X دارای چنین اموری است اگر و فقط اگر Y باشد. از سوی دیگر، بسیاری از دیگر خواص فضاهای توپولوژیک اشاره T 0 -ness؛ یعنی اگر X چنین اموری داشته باشد، X باید T 0 باشد. فقط چند خواص، مانند یک فضای نامطلوب، به استثنای این قانون انگشت شست است. حتی بهتر است که بسیاری از ساختارهای تعریف شده در فضاهای توپولوژیکی بین X و KQ ( X ) منتقل شوند. نتیجه این است که اگر شما یک فضای توپولوژیک غیر T 0 با ساختار یا ویژگی خاص داشته باشید، معمولا می توانید یک فضای T 0 با ساختارها و خواص مشابه با در نظر گرفتن فاکتور Kolmogorov ایجاد کنید.

مثال L 2 ( R ) این ویژگی ها را نمایش می دهد. از نقطه نظر توپولوژی، فضای بردار semiconmed که ما با آن شروع کردیم، ساختار اضافی زیادی دارد؛ به عنوان مثال، آن را به یک استفضای برداری ، و آن را تا seminorm، و این تعریف یک pseudometric و یک ساختار یکنواخت که سازگار با توپولوژی است. همچنین خواص چندین ساختار وجود دارد؛ به عنوان مثال، سمینار منطبق با هویت یکسان است و ساختار یکنواخت کامل است . فضای T 0 از هر دو تابع در L 2 ( R ) که در تقریبا همه جا برابر است نیستبا این توپولوژی قابل تشخیص نیستند. هنگامی که ما فاکتور کلموگروف را تشکیل می دهیم، واقعی L 2 ( R )، این سازه ها و خواص حفظ می شوند. بنابراین، L 2 ( R ) همچنین یک فضای برداری کامل semiconmedis رضایت هویت parallelogram است. اما ما واقعا کمی بیشتر از آنجایی که فضا اکنون T 0 است ، کمی بیشتر می شود . یک سونگومتر یک عنصر است اگر و فقط اگر توپولوژی زیر آن T 0 باشد ، بنابراین L 2 ( R ) در واقع یک فضای بردار نوری ساده است که منطبق با هویت رگلاتورم است - در غیر این صورت به عنوان یک فضای هیلبرت شناخته می شود . و این یک فضای هیلبرت است که ریاضیدانان (و فیزیکدانان ، درمکانیک کوانتومی ) معمولا میخواهید مطالعه کنید. توجه داشته باشید که علامت L 2 ( R ) معمولا فاکتور Kolmogorov را تعریف می کند، مجموعه ای از کلاس های هم ارزاز توابع یکپارچه مربع که در مجموعه های اندازه گیری صفر متفاوت است، و نه فقط فضای بردار توابع یکپارچه مربع که نشان می دهد.

حذف T 0 [ ویرایش ]

اگر چه هنجارها به طور تاریخی تعریف شده بودند، مردم نیز با تعریف سمینار شناخته می شدند، که نوعی نسخه غیر استاندارد T 0 است. به طور کلی، می توان نسخه های غیر T 0 از هر دو ویژگی و ساختار فضاهای توپولوژیکی را تعریف کرد. ابتدا یک ویژگی از فضاهای توپولوژیکی مانند Hausdorff را در نظر بگیرید . سپس می توان یک ویژگی دیگر از فضاهای توپولوژیک را با تعریف فضایی X برای رضایت ملک تعریف کرد اگر و فقط اگر فاکتور کلموگروف KQ ( X ) Hausdorff باشد. این معقول و معقول است، هرچند کمتر مشهور است؛ در این مورد، از جمله فضای X نامیده می شود preregular. (حتی معلوم می شود که تعریف مستقیم از مقدمه پیشین وجود دارد). در حال حاضر یک ساختار را می توان در فضاهای توپولوژیکی مانند یک متریک قرار داد . ما می توانیم یک ساختار جدید را در فضاهای توپولوژیکی تعریف کنیم و اجازه دهیم نمونه ای از ساختار در X به سادگی یک متریک در KQ ( X ) باشد. این یک ساختار منطقی در X است؛ این یک شبه شمار است (باز هم، تعریف مستقیمتری از شبه سنجی وجود دارد.)

به این ترتیب، یک روش طبیعی برای حذف T 0 -ness از الزامات برای یک دارایی یا ساختار وجود دارد. به طور کلی ساده تر است که فضایی را که T 0 است ، مطالعه کنید، اما ممکن است ساده تر اجازه دادن به ساختارهایی که T 0 نیستند برای گرفتن تصویر کامل تر باشد. الزامات T 0 را می توان با استفاده از مفهوم فاکتور Kolmogorov به طور خودسرانه اضافه یا حذف کرد.

ادامه نوشته

واژه نامه توپولوژی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
پرش به ناوبریپرش به جستجو
این یک واژه نامه از برخی از اصطلاحات استفاده شده در شاخه ریاضیات شناخته شده به عنوان توپولوژی است . گرچه تمایز مطلق بین مناطق مختلف توپولوژی وجود ندارد، تمرکز در اینجا بر روی توپولوژی کلی است . تعاریف زیر نیز برای توپولوژی جبری ، توپولوژی متفاوتی و توپولوژی هندسی اساسی هستند .
هر فضایی در این واژه نامه به عنوان فضاهای توپولوژیکی فرض می شود مگر اینکه در غیر این صورت بیان شود.
فهرست: الفبسیدEFGهمنجکیلمNOپسئوالرSTUVWایکسیZهمچنین نگاه کنیدمنابعA [ ویرایش ]
کاملا بسته شده است
مشاهده H-بسته
در دسترس
دیدن
نقطه انباشت
مشاهده نقطه محدود .
توپولوژی الکساندر
توپولوژي فضاي X يك توپولوژي Alexandrovsk است (يا به طور كلي توليد مي شود ) اگر تقاطع هاي دلخواه مجموعه هاي باز در X باز باشند يا معادل آن اگر مجموعه هاي دلخواه مجموعه هاي بسته بسته شوند يا مجددا معادل باشند اگر مجموعه هاي باز مجموعه های بالا از یک پست . [1]
تقریبا گسسته
فضای تقریبا گسسته است اگر هر مجموعه باز بسته است (از این رو کلوپن). فضاهای تقریبا گسسته دقیقا فضاهای صفر و یک بعدی هستند.
فضای رویکرد
یک فضای رویکرد ، به جای نقطه به نقطه، تعمیم فضای متریک بر اساس فاصله نقطه به مجموعه است.B [ ویرایش ]
بایر فضا
این دو معنی مشترک دارد:فضای یک فضای بایر است اگر تقاطع هر مجموعه شمرداری از مجموعه های انبوه متراکم متراکم باشد؛ دیدن فضای بئر .فضای بایر مجموعه ای از تمام توابع از اعداد طبیعی به اعداد طبیعی است، با توپولوژی همگرایی نقطه ای؛ فضای بایر را ببینید (نظریه مجموعه) .
پایه

پایه
مشاهده پایه .
جبر بورل
جبر بورل در یک فضای توپولوژیک کوچکترین است {\ displaystyle \ sigma}- جبر شامل تمام مجموعه های باز است. این است که با در نظر گرفتن تقاطع همه به دست آمده است{\ displaystyle \ sigma}-الژبر در {\ displaystyle X} حاوی {\ displaystyle \ tau}.
بورل مجموعه
یک مجموعه Borel عنصری از جبر Borel است.
مرز
مرز (یا مرز ) از مجموعه ای از بسته شدن مجموعه منهای فضای داخلی آن است. معادل آن، مرز یک مجموعه تقاطع بستن آن با بسته شدن مکمل آن است. مرز یک مجموعه{\ displaystyle A} توسط نشان داده شده است {\ displaystyle \ part A} یا {\ displaystyle bd} {\ displaystyle A}.
محدود
مجموعه ای در یک فضای متریک محدود است، اگر قطر آن محدود است. معادل آن مجموعه ای است که اگر در برخی از شعاع نهایی باز باشد، محدود است. یک تابع مقدار در یک فضای متریک محدود است اگر تصویر آن یک مجموعه محدود است.C [ ویرایش ]
رده فضاهای توپولوژی
دسته بالا است فضاهای توپولوژیک به عنوان اشیاء و نقشه های مداوم به عنوان morphisms .
توالی کوشی
دنباله { X N } در یک فضای متریک ( M ، D ) است دنباله کوشی اگر برای هر مثبت عدد حقیقی R است، وجود دارد عدد صحیح N به طوری که برای تمام اعداد صحیح متر ، N > N ، ما د ( X متر ، x n ) r .
Clopen مجموعه
مجموعه ای است clopen آن است که اگر هر دو باز و بسته.
توپ بسته
اگر ( M ، d ) یک فضای متریک باشد ، یک توپ بسته مجموعه ای از فرم D ( x ؛ r ) است: = { y در M  : d ( x ، y ) ≤ r }، جایی که x در M و r یک عدد مثبت واقعی ، شعاع توپ است. یک توپ بسته از شعاع r یک بسته r -ball است . هر توپ بسته بسته مجموعه ای در توپولوژی القا شده توسط M توسطد . توجه داشته باشید که توپ بسته D ( x ؛ r ) ممکن است بابسته کردن توپ باز B ( x ، r ) برابر نباشد.
مجموعه بسته
مجموعه ای بسته است اگر مکمل آن عضو توپولوژی باشد.
تابع بسته
اگر تصویری از هر مجموعه بسته بسته شده باشد، یک تابع از یک فضای به دیگری بسته می شود.
بسته
بسته شدن از یک مجموعه کوچکترین مجموعه بسته حاوی مجموعه ای اصلی است. این برابر است با تقاطع مجموعه های بسته که حاوی آن است. یک عنصر از بسته شدن یک مجموعه S استنقطه بسته شدن از S .
اپراتور بسته
ببینید قواعد بسته شدن Kuratowski .
توپولوژی بدنه
اگر X یک مجموعه است، و اگر T 1 و T 2 توپولوژی هستند X ، پس از آن T 1 است درشت (یا کوچکتر ، ضعیف تر ) از T 2 اگر T 1 در موجود T 2 . مراقب باشید، برخی از نویسندگان، به ویژه تحلیلگران ، از اصطلاح قوی تر استفاده می کنند .
Comeagre
زیر مجموعه از یک فضای X است comeagre ( comeager ) اگر آن مکمل X \ است ناچیز . همچنین باقی مانده نامیده می شود .
فشرده
فضای کم حجم است اگر هر پوشش باز دارای یک زیربنای محدود است. هر فضای فشرده Lindelöf و Paracompact است. بنابراين هر فضاي هادسفور فضاي طبيعي است. همچنین مشاهده کنید quasicompact .
توپولوژی جمع و جور
توپولوژی فشرده باز در مجموعه C ( X ، Y ) از همه نقشه های مداوم بین دو فضای X و Y به صورت زیر تعریف می شود: با توجه به یک زیر مجموعه جمع و جور K از X و یک زیر مجموعه باز U از Y ، اجازه دهید V ( K ، U ) مجموعه ای از همه نقشه های f را در C ( X ، Y ) به گونه ای تعریف می کند که f ( K ) در U قرار داشته باشد. سپس مجموعه ای از همه چنین V (K ، U ) یک زیربنای برای توپولوژی جمع و جور باز است.
تکمیل
فضای متریک کامل است اگر هر توالی کوشی همگرا باشد.
به طور کامل قابل سنجش / کاملا قابل تنظیم
مشاهده فضای کامل .
کاملا طبیعی
فضای کاملا طبیعی است اگر دو مجموعه جدا از همسایگی مجزا داشته باشند .
کاملا طبیعی Hausdorff
یک فضای کاملا طبیعی هاسدورف (یا T 5 فضای ) تی کاملا طبیعی است 1 فضا. (فضایی کاملا طبیعی حادورف است اگر و فقط اگر آن T 1 باشد ، بنابراین اصطلاحات سازگار است .) هر فضایی کاملا طبیعی Hausdorff Hausdorff عادی است.
کاملا منظم
یک فضای کاملا منظم است اگر هرگاه C یک مجموعه بسته باشد و x نقطه ای نیست که در C باشد ، C و { x } از هم جدا عمل می کنند.
کاملا T 3
مشاهده Tychonoff .
مولفه
مشاهده وصل / جزء مسیر متصل .
متصل
فضای اتصال متصل است، اگر این اتحاد یک جفت مجموعه باز نشده غیرقابل نفوذ باشد. به طور معادل، اگر یک مجموعه کلوپ تنها کل فضای و مجموعه خالی باشد، یک فضای متصل می شود.
کامپوننت مرتبط
یک جزء متصل به یک فضای یک زیرمجموعه حداکثر غیر قابل اتصال است. هر مولفه متصل بسته است و مجموعه ای از اجزای متصل شده از یک فضای یک پارتیشن از آن فضا است.
مداوم
یک تابع از یک فضای به دیگری مستمر است اگر پیش نمایش هر مجموعه باز باز باشد.
Continuum
اگر یک فضای هوسردور فشرده و جمع و جور باشد، یک فضای یک پیوستار نامیده می شود.
ضعیف
فضای X قابل تعویض است اگر نقشه هویت در X به یک نقشه ثابت هماتوپی باشد. هر فضای قراردادی به سادگی متصل است.
توپولوژی همگام سازی
اگر { X من } مجموعه ای از فضاهای است و X (به مجموعه ای نظری) است مجزای از { X من }، سپس توپولوژی coproduct (یا توپولوژی مجزای ، مجموع توپولوژیکی از X من ) درX بهترین توپولوژی برای همه نقشه های تزریق مداوم است.
فضای کیهانی
یک تصویر پیوسته از یک فضای متریک جداگانه . [2]
شرایط زنجیره ای قابل قبول
فضای X شرایط زنجیره شمارا را برآورده می کند، اگر هر خانواده از مجموعه های باز و غیرقابل خالی، به صورت غیرقابل برگشتی قابل شمارش باشد.
قابل قبول است
فضای مترجمی جمع و جور است، اگر هر پوشش باز قابل شمارش دارای زیربنای محدود است. هر فضای مترجمی مترجمی به صورت نیمه جمع و ضعیف متراکم است.
به وضوح محدود محلی است
مجموعه ای از زیرمجموعه های فضایی X به صورت محاسباتی به صورت محلی محدود (یا σ-محلی محدود ) است اگر این اتحاد یک مجموعه شمرداری از مجموعه های محلی محدود از زیر مجموعه های X است .
پوشش دادن
مجموعه ای از زیر مجموعه های یک فضا یک پوشش (یا پوشش ) از آن فضای است اگر اتحاد مجموعه مجموعه کل فضا است.
پوشش
مشاهده پوشش .
نقطه برش
اگر X یک فضای متصل با بیش از یک نقطه است، پس نقطه X از X یک نقطه برش است اگر زیر فضای X - { x } قطع شود.D [ ویرایش ]
مجموعه ای متراکم
مجموعه ای است متراکم اگر آن تقاطع غیرمعمول با هر مجموعه باز نشده است. معادل آن مجموعه ای است که متراکم است اگر بسته شدن آن کل فضا باشد.
چگالی در خود تنظیم شده است
در صورتی که دارای نقطۀ جداگانه ای نباشد، مجموعه ای متراکم است .
تراکم
حداقل توانایی یک زیر مجموعه ای متراکم از یک فضای توپولوژی. مجموعه ای از تراکم ℵ 0 یک فضای جدا می باشد . [3]
مجموعه مشتق شده
اگر X یک فضای است و S یک زیر مجموعه از X است ، مجموعه مشتق شده از S در X مجموعه ای از نقاط محدود S در X است .
فضای قابل توسعه
یک فضای توپولوژی با توسعه . [4]
توسعه
شمارا مجموعه ای از پوشش های باز از یک فضای توپولوژیک، به طوری که برای هر مجموعه ای بسته C و هر نقطه P در مکمل آن وجود دارد یک پوشش در مجموعه وجود دارد به طوری که هر محله از ص در پوشش است متلاشی شدن از C . [4]
قطر
اگر ( M ، D ) یک فضای متریک است و S یک زیر مجموعه از است M ، قطر S است سوپریمم از فاصله د ( X ، Y )، که در آن X و Y وسیعی بیش از S .
متریک گسسته
ماتریس گسسته در یک مجموعه X یک تابع d  : X × X  →  R است که برای هر x ، y در X ، d ( x ، x ) = 0 و d ( x ، y ) = 1 اگر x ≠ y باشد. متریک گسسته، توپولوژی گسسته درX را القا می کند .
فضای گسسته
فضای X است گسسته اگر هر زیر مجموعه از X باز است. ما می گوییم که X دارای توپولوژی مجزا است . [5]
توپولوژی گسسته
مشاهده فضای گسسته .
توپولوژی یکپارچه
به topology کوپروتکت مراجعه کنید .
نقطه پراکندگی
اگر X یک فضای متصل با بیش از یک نقطه است، و سپس یک نقطه X از X یک نقطه پراکندگی اگر فضا است X {- X } ارثی قطع شده است (قطعات تنها آن متصل مجموعه نقطه هستند).
فاصله
مشاهده فضای متریک .
کلاه دونس (توپولوژی)E [ ویرایش ]
محرک
مشاهده فضای یکنواخت .
خارجی
خارج از مجموعه مجموعه ای از مکمل آن است.F [ ویرایش ]
F σ مجموعه
F σ مجموعه ای است قابل شمارش اتحادیه از مجموعه بسته شده است. [6]
فیلتر کردن
یک فیلتر در فضای X یک خانواده F بی انتها از زیر مجموعه های X است به طوری که شرایط زیر وجود دارد:مجموعه تهی است در نمی F .تقاطع هر تعداد محدودی از عناصر F دوباره در F است .اگر A در F باشد و اگر B شامل A باشد ، B در F است .
توپولوژی نهایی
در یک مجموعه X با توجه به یک خانواده از توابع به، بهترين توپولوژي در X است كه اين تابعها را پيوسته ساخته است . [7]
توپولوژی دقیق (نظریه بالقوه)
در فضای اقلیدسی ، سنگین ترین توپولوژی که تمام توابع متعارف متعادل (همگرا همه توابع فوق العاده هارمونیک) پیوسته است. [8]
توپولوژی کامل
اگر X یک مجموعه است، و اگر T 1 و T 2 توپولوژی هستند X ، پس از آن T 2 است ظریف (یا بزرگتر ، قوی تر ) از T 1 اگر T 2 شامل T 1 . مراقب باشید، برخی از نویسندگان، به ویژه تحلیلگران ، اصطلاح را ضعیف تر می کنند .
به طور کامل تولید شده است
نگاه کنید به توپولوژی الکساندر .
دسته اول
مشاهده ناچیز .
اول شمارشگر
فضای اول شمارش است اگر هر نقطه دارای پایگاه محلی قابل شمارش باشد .
فرچه
مشاهده T 1 .
مرز
مشاهده مرزی .
مجموعه کامل
یک زیر مجموعه K جمع و جور از پیچیده به نام کامل، اگر مکمل آن متصل است. به عنوان مثال، دیسک واحد بسته پر است، در حالی که واحد حلقه نیست.
عملکردی جدا شده است
دو مجموعه A و B در یک فضای X از نظر فیزیکی از هم جدا هستند اگر یک نقشه پیوسته f : X  → [0، 1] وجود دارد به طوری که f ( A ) = 0 و f ( B ) = 1.G [ ویرایش ]
G δ مجموعه
مجموعه G δ مجموعه ای یا محدودیت درونی یک تقاطع شمارش پذیر از مجموعه های باز است. [6]
G δ فضا
یک فضای که هر مجموعه بسته یک مجموعه G δ است . [6]
نقطه عمومی
یک نقطه عمومی برای یک مجموعه بسته یک نقطه است که مجموعه بسته بسته شدن مجموعه تک تک آن نقطه است. [9]H [ ویرایش ]
هاستورف
فضای هاسدورف (یا T 2 فضای ) است که در آن هر دو نقطه مجزا است متلاشی محله. هر فضای Hausdorff T 1 است .
H-بسته
فضای H-closed است، یا Hausdorff بسته شده یا کاملا بسته است ، اگر آن را در هر فضای Hausdorff که حاوی آن است بسته شود.
ارثی P
یک فضای به ارث برده می شود P برای برخی از اموال P اگر هر زیرمجموعه نیز P باشد.
ارثی
گفته می شود که اموال فضاهای به صورت ارثی است اگر هر وقت فضای آن اموال را داشته باشد، پس هر زیرمجموعه آن نیز وجود دارد. [10] به عنوان مثال، ثبات پذیری، مالکیت ارثی است.
هومومورفیسم
اگر X و Y فضاهای هستند، یک همسانریختی از X به Y است دوسویی تابع F  :  X  →  Y به طوری که F و F -1 مداوم هستند. سپس فضاهای X و Y گفته می شود که هومورفیک هستند .از نقطه نظر توپولوژی، فضاهای هومومورفیک یکسان هستند.
همگن
فضای X است همگن اگر برای هر x را و Y در X است، همسانریختی وجود دارد F  : X  →  X به طوری که F ( X ) = Y . به طور مستقیم، فضا در هر نقطه یکسان است. هر گروه توپولوژیک همگن است.
نقشه های هماتوپیک
دو مستمر نقشه F ، G  : X  →  Y هستند homotopic (در Y ) اگر یک نقشه مداوم وجود دارد H  : X × [0، 1] →  Y به طوری که H ( X ، 0) = F ( X ) و H ( X ، 1) = گرم ( X ) برای همه ایکس در X . در اینجا X × [0، 1] توپولوژی محصول داده می شود. تابع H نامیده می شود homotopy (در Y) بین F و G .
Homotopy
نقشه های Homotopic را ببینید .
بیش از حد متصل
فضای فوق العاده متصل است، اگر هیچ دو مجموعه آزاد غیر خالی وجود نداشته باشد. [11] هر فضای مرتبط با بیش از حد متصل است. [11]من [ ویرایش ]
نقشه شناسایی
مشاهده روی نقشه هوش .
فضای شناسایی
فضای Quotient را ببینید .
فضای مستقل
به topology دانستنی ها مراجعه کنید .
توپولوژی بی نهایت
مشاهده منیفولد هیلبرت و Q-منیفولدهای ، یعنی منیفولدهای (عمومی) مدل در فضای هیلبرت و بر روی مکعب هیلبرت است.
مجموعه محدودیت داخلی
الف G δ مجموعه. [6]
داخلی
داخلی از یک مجموعه بزرگترین مجموعه باز موجود در مجموعه اصلی است. این برابر با اتحاد تمام مجموعه های باز موجود در آن است. عنصر داخلی مجموعه S یک است نقطه داخلی از S.
نقطه داخلی
دیدن داخلی .
نقطه جداگانه
یک نقطه x یک نقطه جداگانه است اگر sington { x } باز باشد. به طور کلی، اگر S یک زیر مجموعه ای از یک فضای X باشد و اگر x یک نقطه از S باشد ، x یک نقطه جدا از S است اگر { x } در توپولوژی زیرمجموعه در S باز باشد.
ایزومورفیسم ایزومتریک
اگر M 1 و M 2 فضاهای متریک، یک ریخت ایزومتریک از هستند M 1 به M 2 است دوسویی همسان F  : M 1  →  M 2 . سپس فضاهای متریک به صورت ایزومتریک ایزومورف می شود . از دیدگاه نظریه فضای متریک، فضاهای ایزومورفیک ایزومتریک یکسان هستند.
ایزومتری
اگر ( M 1 ، d 1 ) و ( M 2 ، d 2 ) فضاهای متریک باشند، یک ایزومتر از M 1 تا M 2 یک تابع f است  : M 1  →  M 2 به طوری که d 2 ( f ( x )، f ( y )) = d 1 ( x ، y ) برای همه x ، y در M 1 . هر ایزومتری استتزریقی ، اگرچه هر ایزومتریک سرشتی نیست .K [ ویرایش ]
محرک کلموگروف
مشاهده T 0 .
معیارهای بستن Kuratowski
بدیهیات بسته شدن Kuratowski به مجموعه ای از است بدیهیات توسط تابع طول می کشد که هر زیر مجموعه ای از راضی X به تعطیلی آن:ایزوتونیکیت : هر مجموعه در بسته شدن آن قرار دارد.یکسان سازی : بسته شدن بسته یک مجموعه برابر است با بسته شدن آن مجموعه.حفاظت از اتحادیه های دودویی : بسته شدن اتحادیه دو مجموعه اتحاد اتحادیه های آنها است.حفاظت از اتحادیه های زراعی : بسته شدن مجموعه خالی خالی است.
اگر ج یک تابع از است مجموعه توانی از X به خود، پس از آن ج است اپراتور بسته شدن اگر آن را برآورده بدیهیات بسته شدن Kuratowski به. سپس تعاریف بسته شدن Kuratowski را می توان برای تعریف توپولوژی در X با اعلام مجموعه های بسته به عنوان نقاط ثابت این اپراتور، یعنی مجموعه ای A بسته می شود اگر و فقط اگر c ( A ) = A باشد.
توپولوژی کولموگروف
T Kol =  ∪ {(a، ∞): a یک عدد واقعی} است؛ جفت (R، T Kol ) به نام Kolmogorov Straight نامگذاری شده است .L [ ویرایش ]
فضای L
یک فضای L یک فضایی که Lindelöf به ارث برده می شود نیست بلکه جداگانه است . یک خط سوزلین می تواند یک فضای L باشد. [12]
توپولوژی بزرگتر
به توپولوژی Finer مراجعه کنید .
نقطه محدود
نقطه X در یک فضای X است نقطه محدود از زیر مجموعه S اگر هر مجموعه باز شامل X همچنین شامل یک نقطه از S از X است. این معادل است نیاز به هر محله x حاوی نقطه ای از S به غیر از خود x است.
نقطه محدود جمع و جور
به ندرت شمارا فشرده کنید .
Lindelöf
فضای Lindelöf است اگر هر پوشش باز دارای زیر جلدهای قابل شمارش باشد.
پایه محلی
مجموعه ای B از محله از یک نقطه X یک فضای X پایگاه محلی (یا اساس محلی ، پایه محله ، اساس محله ) در X اگر هر محله از X شامل برخی از اعضای B .
اساس محلی
مشاهده پایگاه محلی .
فضای محلی (P)
دو تعریف برای یک فضای به صورت محلی (P) وجود دارد: ج (P) یک ویژگی توپولوژیک یا مجموعه ای نظری است: هر نقطه دارای یک محله با اموال (P) است، یا اینکه هر نقطه دارای پایگاه neighborourodod است هر عضو دارای اموال (P) است. تعریف اول معمولا برای محلی جمع و جور، مترجمانه جمع و جور، metrisable، جدا، قابل شمارش است؛ دوم برای اتصال محلی. [13]
زیر مجموعه محلی بسته است
زیر مجموعه ای از فضای توپولوژیکی که تقاطع یک زیر مجموعه باز و یک بسته است. معادل آن، یک مجموعه نسبتا باز از بسته شدن آن است.
محلی جمع و جور
یک فضای به صورت محلی جمع و جور است، اگر هر نقطه یک محله فشرده داشته باشد: گاهی اوقات از هر تعریف که هر نقطه دارای پایگاه محلی است و از محدوده های جمع و جور استفاده می شود، تعریف می شود: برای فضاهای هوسدورف معادل است. [13] هر فضای هوسدورف محلی فشرده Tychonoff است.
محلی متصل شده است
فضای به صورت محلی متصل است، اگر هر نقطه دارای پایگاه محلی متشکل از محله های متصل است. [13]
محلی محدود است
مجموعه ای از زیرمجموعه های فضایی به طور محلی محدود است اگر هر نقطه یک محله داشته باشد که تقاطع غیر انتفاعی با تنها تعداد محدودی از زیرمجموعه ها دارد. همچنین به طور قابل ملاحظه ای به صورت محلی محدود ، نقطه محدود است .
به صورت محلی ناتهی یک مجموعه میگر / محلی که metrisable
اگر هر نقطه یک محدوده قابل اندازه گیری باشد، یک فضای به صورت محلی قابل اندازه گیری است. [13]
محلی متصل به مسیر
فضا به صورت محلی ارتباط دارد، اگر هر نقطه دارای پایه محلی است که متشکل از محله های متصل به مسیر است. [13] یک فضای ارتباطی محلی به صورت متصل است اگر و فقط اگر آن را به مسیر متصل است.
محلی به سادگی متصل است
یک فضای به صورت محلی متصل می شود، اگر هر نقطه دارای یک پایگاه محلی است که متشکل از محله های به سادگی متصل است.
حلقه
اگر x نقطه ای در فضای X باشد ، یک حلقه در x در X (یا یک حلقه در X با نقطه پایه x ) یک مسیر f در X است ، به طوری که f (0) = f (1) = x . به همین ترتیب، یک حلقه در Xیک نقشه مداوم از دایره واحد S 1 به X است .M [ ویرایش ]
ضعیف
اگر X یک فضای است و A یک زیر مجموعه از X است ، اگر A است در X (و یا از رده اول در X ) ناکافی است، اگر آن اتحاد قابل شمارش از مجموعه های متراكم نیست. اگر است ناچیز در نمی X ، است از دسته دوم در X . [14]
Metacompact
فضای متا کامپکت است اگر هر پوشش باز دارای نقطهای با نقاط ضعف نهایی باشد.
متریک
مشاهده فضای متریک .
معیار غیر مترقبه
یک معادله متریک امری است که تحت ایزومورفیک ایزومتریک حفظ شده است.
نقشه ماتریکس
اگر X و Y فضاهای متریک با معیارهای هستند د X و D Y به ترتیب، و سپس یک نقشه متریک یک تابع است F از X به Y ، به طوری که برای هر نقطه X و Y در X ، D Y ( F ( X )، ج( Y )) ≤ د X ( X ، Y ). یک نقشه متریک به شدت متریک است اگر نابرابری فوق برای همه x سخت باشدو Y در X .
فضای متریک
یک فضای متریک ( M ، d ) یک مجموعه م مجهز به یک تابع d است  :  M  ×  M  →  R که از زیر معادلات زیر برای همه x ، y و z در M است :d ( x ، y ) ≥ 0d ( x ، x ) = 0اگر   d ( x ، y ) = 0،   x = y     ( هویت نامزدی )d ( x ، y ) = d ( y ، x ) ( تقارن )d ( x ، z ) ≤ d ( x ، y ) + d ( y ، z ) ( نابرابری مثلثی )
تابع d یک متریک در M است و d ( x ، y ) فاصله بین x و y است . مجموعه ای از تمام توپ های باز از M یک پایگاه برای توپولوژی در M است ؛ این توپولوژی در M ایجاد شده توسط d است . هر فضای متریک Hausdorff و paracompact (و از این رو طبیعی و Tychonoff). هر فضای متریک ابتدا قابل شمارش است.
Metrizable / Metrisable
یک فضای متریز پذیر است اگر آن را به فضای متریک برسد. هر فضایی قابل اندازه گيري Hausdorff و paracompact (و در نتیجه طبیعی و Tychonoff) است. هر فضایی قابل اندازه گیری قابل شمارش است.
مونولیت
هر غیر خالی فوق العاده جمع و جور متصل فضای X دارای بزرگترین زیر مجموعه باز؛ این زیرمجموعه یک مونولیت نامیده می شود .
فضای مور
فضای مور است قابل توسعه فضای هاسدورف به طور منظم . [4]N [ ویرایش ]
محله / محله
یک محله از نقطه x مجموعه ای است که شامل یک مجموعه باز است که به نوبه خود شامل نقطه x می باشد. به طور کلی، محله مجموعه S مجموعه ای است که شامل یک مجموعه باز است که به نوبه خود شامل مجموعه S است . محدوده یک نقطه x به این ترتیب محدوده مجموعه تک تک { x } است. (توجه داشته باشید که در زیر این تعریف، محله خود نباید باز باشد. بسیاری از نویسندگان نیازمند باز کردن محله ها هستند؛ مراقب باشید که قراردادها را ذکر کنید.)
پایه / محدوده محله
مشاهده پایگاه محلی .
سیستم همسایگی برای نقطه x
یک سیستم محله در یک نقطه x در فضای مجموعه ای از تمام محله های x است .
خالص
یک شبکه در یک فضای X یک نقشه از یک مجموعه هدایت شده از A به X است . یک شبکه از A به X معمولا نشان داده می شود ( x α )، جایی که α یک متغیر index است که در طولA قرار دارد . هر دنباله ای یک خالص است، A به صورت مجموعه ای از اعداد طبیعی با دستورالعمل معمول است.
طبیعی
یک فضای طبیعی است اگر هر دو مجموعه بسته نشده با یکدیگر دارای محله های مجزا باشند. [6] هر فضای عادی یک پارتیشن وحدت را پذیرفته است.
هوسردور معمولی
طبیعی هاسدورف فضا (یا T 4 فضای ) یک نرمال است 1 فضا. (فضای عادی Hausdorff است اگر و فقط اگر آن T 1 است ، بنابراین اصطلاحات سازگار است.) هر فضای معمولی Hausdorff Tychonoff است.
هیچ جا متراکم نیست
مجموعه هیچ جا چگال مجموعه ای که بسته شدن است داخلی خالی است.O [ ویرایش ]
پوشش باز
پوشش را باز یک پوشش متشکل از مجموعه های باز است. [4]
باز توپ
اگر ( M ، d ) یک فضای متریک باشد، یک توپ باز مجموعه ای از فرم B ( x ؛ r ) است: = { y در M  : d ( x ، y ) r }، جایی که x در M و r یک عدد مثبت واقعی ، شعاع توپ است.یک توپ باز شعاع r و یک IS باز R -Ball . هر توپ باز یک مجموعه باز در topology در M ایجاد شده توسط d است .
شرایط باز
اموال باز کنید .
مجموعه باز
یک مجموعه باز یک عضو توپولوژی است.
تابع باز
یک تابع از یک فضای به دیگری باز است اگر تصویر هر مجموعه باز باز است.
اموال باز
یک ویژگی از نقاط در فضای توپولوژیکی گفته می شود "باز" ​​است، اگر آن نقاط که دارای آن هستند مجموعه ای باز است . چنین شرایطی اغلب فرم معمولی را می پذیرند و می توان گفت که این شکل یک وضعیت باز است ؛ به عنوان مثال، در فضاهای متریک ، یک توپ باز را به عنوان بالا تعریف می کند و می گوید که "نابرابری شدید یک وضعیت باز است".P [ ویرایش ]
Paracompact
فضای پارا کامپکت است اگر هر پوشش باز دارای یک پالایش باز محلی محلی باشد. Paracompact مستلزم metacompact است. [15] فضاهای پارک کمپس Hausdorff طبیعی هستند. [16]
تقسیم وحدت
یک پارتیشن وحدت فضایی X مجموعه ای از توابع پیوسته از X به [0، 1] است به طوری که هر نقطه دارای یک محله است که همه آنها جز یک تعداد محدودی از توابع یکسان صفر هستند و مجموع تمام توابع در کل فضا یکسان است 1.
مسیر
یک مسیر در یک فضای X یک نقشه پیوسته f از بازه ی واحد بسته [0، 1] به X است . نقطه f (0) نقطه اولیه f است ؛ نقطه f (1) نقطه پایانی f است . [11]
مسیر متصل شده
فضای X است مسیر متصل اگر برای هر دو نقطه X ، Y در X است، یک مسیر وجود دارد F از X به Y ، یعنی یک مسیر با نقطه اولیه F (0) = X و نقطه انتهایی F (1) = Y . هر فضای مرتبط با مسیر متصل است. [11]
جزء متصل شده به مسیر
یک جزء متصل به مسیر یک فضای یک زیر فضای متصل به مسیر غیرمعمول است. مجموعه ای از اجزای متصل به مسیر از یک فضای یک پارتیشن از آن فضا است که دقیق تر از پارتیشن به اجزای متصل است. [11] مجموعه ای از اجزای مرتبط با مسیر فضایی X به صورت π 0 ( X ) مشخص می شود .
کاملا طبیعی است
یک فضای طبیعی است که همچنین G δ است . [6]
π-پایه
مجموعه B از مجموعه بازهای غیرمعمول، π-پایه ای برای توپولوژی τ است اگر هر مجموعه open-notempty در τ شامل مجموعه ای از B باشد. [17]
نقطه
یک نقطه یک عنصر از فضای توپولوژی است. به طور کلی، نقطه یک عنصر از هر مجموعه با ساختار توپولوژیکی زیر است؛ به عنوان مثال یک عنصر از یک فضای متریک یا یک گروه توپولوژیک نیز نقطه ای است.
نقطه بسته شدن
مشاهده بسته شدن .
لهستانی
فضای لهستانی است اگر آن را جدا و کاملا metrizable، یعنی اگر آن را به فضای متریک جدایی پذیر و کامل homeomorphic.
Polyadic
یک فضای polyadic است اگر تصویر پیوسته از قدرت یک فشرده سازی یک نقطه یک فضای محلی فشرده و غیر فشرده Hausdorff است.
نقطه P
نقطه ای از فضای توپولوژیکی یک نقطه P است اگر فیلتر آن محله ها در زیر تقاطعات شمارش پذیر باشد.
پیش فشرده
مشاهده نسبتا جمع و جور .
توپولوژي Prodiscrete
توپولوژي prodiscrete در محصول A G توپولوژي محصول است، در حالي كه هر عامل A به توپولوژي گسسته داده مي شود. [18]
توپولوژي محصول
اگر { X من } مجموعه ای از فضاهای است و X (به مجموعه ای نظری) است کالا از { X من }، پس توپولوژی کالا در X درشتترین توپولوژی که تمام نقشه های طرح ریزی مستمر می باشد.
تابع / نقشه مناسب
یک تابع پیوسته f از یک فضای X به یک فضای Y مناسب است اگر f -1 ( C ) یک مجموعه جمع در X برای هر زیرمجموعه C از Y باشد.
فاصله مجاورت
فضای مجاورت ( X ،  δ ) مجموعه ای از X است که با رابطه باینری δ بین زیر مجموعه هایی از X که دارای خواص زیر است:
برای همه زیر مجموعه های A ، B و C از X ،A δ B implies B δ AA δ B implies A غیر خالی استاگر A و B تقاطع غیر خالی داشته باشند، سپس A δ BA δ ( B  ∪  C ) Iff ( A δ B یا A δ C )اگر برای تمام زیرمجموعه های E از X ( A δ E یا B δ E )، ما باید A δ ( X - B )
شبه مخلوط
فضای pseudocompact است اگر هر حقیقی تابع پیوسته در فضای کراندار است.
شبه سنجی
فضایی شبه سنجی را ببینید .
فضای سمعی و بصری
یک فضای شبه سنجی ( M ، d ) مجموعه ای است م مجهز به یک تابع d است  :  M  ×  M  →  R که همه شرایط یک فضای متریک را برآورده می کند، مگر اینکه احتمالا هویت نامرئی است. یعنی، نقاط در فضای شبه نظامی ممکن است "بی نهایت نزدیک" بدون وجود یکسان باشد. تابع d یک شبه سنجی در M است . هر متریک شبه شمار است.
مجاورت محله / مجاور محله
محدوده ی نقطه ی نقطه ی x محدوده ی x ، minus { x } است. به عنوان مثال، فاصله (-1، 1) = { y  : -1 y x = 0 در خط واقعی است ، بنابراین مجموعه (-1، 0) ∪ (0، 1) = (-1، 1) - {0} یک محدوده قطور 0 است.Q [ ویرایش ]
کووالکترونیک
مشاهده جمع و جور . بعضی از نویسندگان "جمع" را تعریف می کنند تا شامل اصل اصطلاح جداسازی هوسدورف باشند و از عبارت term quasicompact استفاده می کنند به این معنی که ما در این واژه نامه به سادگی "فشرده" (بدون اصل اسناد هوسدورف) استفاده می کنیم. این کنوانسیون بیشتر در فرانسه یافت می شود، و شاخه های ریاضیات به شدت تحت تاثیر فرانسوی ها قرار دارند.
نقشه کافی
اگر X و Y فضاهای باشند و اگر f یک سورجک از X به Y باشد ، f یک نقشه تقریبی (یا نقشه شناسایی ) است، اگر برای هر زیر مجموعه U از Y ، U در Y باز باشد و فقط اگر f - 1 ( U ) در X باز است . به عبارت دیگر، Y دارای توپولوژي f- strong است. هم ارز،{\ displaystyle f} یک نقشه تقریبی است اگر و فقط اگر آن ترکیب ترانسفیکال از نقشه ها باشد {\ displaystyle X \ rightarrow X / Z}، جایی که {\ displaystyle Z \ subset X}زیر مجموعه است توجه داشته باشید که این به این معنی نیست که f یک تابع باز است.
فضای کافی
اگر X یک فضای است، Y مجموعه ای است، و F  :  X  →  Y هر است پوشا تابع، سپس توپولوژی خارج قسمت در Y ناشی از F بهترین توپولوژی است که برای آن F مداوم است. فضایX یک فضای فضایی یا فضای شناسایی است . با تعریف، f یک نقشه تقریبی است. شایعترین مثال این است که در نظر گرفتن یک رابطه همبستگی در X با Y مجموعه ای از کلاس های هم ارزو fنقشه طرح طبیعی. این ساخت و ساز به ساخت توپولوژی زیربنایی دوخته شده است.R [ ویرایش ]
اصلاح
پوشش K یک تصفیه پوشش L است اگر هر عضو از K یک زیر مجموعه از یک عضو از L است .
منظم
یک فضای منظم است اگر هرگاه C یک مجموعه بسته باشد و x نقطه ای نیست که در C باشد ، C و X دارای محله های مجزا نیستند .
هوسردور منظم
فضای Hausdorff (یا T 3 ) به طور منظم است، اگر فضای معمولی T 0 باشد. (فضای منظم Hausdorff است اگر و فقط اگر آن T 0 است ، بنابراین اصطلاحات سازگار است.)
منظم باز
یک زیرمجموعه فضایی X به طور منظم باز می شود اگر آن برابر با داخل بسته شدن آن باشد؛ به طور دوگانه، یک مجموعه بسته به طور منظم برابر با بسته شدن داخلی آن است. [19] نمونه ای از یک مجموعه غیر منظم باز مجموعه U = (0،1) ∪ (1،2) در R با توپولوژی طبیعی آن است، از آنجا که 1 در داخل بسته شدن U است ، اما نه در U . زیر مجموعه های منظم باز یک فضای یک جبر بولی کامل را تشکیل می دهند . [19]
نسبتا جمع و جور است
زیر مجموعه Y از یک فضای X است نسبتا جمع و جور در X اگر از بسته شدن Y در X جمع و جور است.
باقیمانده
اگر X یک فضای است و A زیرمجموعه از X است ، A در X باقی مانده است، اگر مکمل A در X کمیاب باشد. نیز نامیده می شود comeagre یا comeager .
قابل حل است
فضای توپولوژیک است که به نام حل اگر بیان به عنوان اتحاد دو متلاشی شدن زیر مجموعه های متراکم .
لبه جمع و جور
یک فضای کم حجم است اگر پایه ای از مجموعه های باز است که مرزهای آن جمع هستند.S [ ویرایش ]
فضای S
S-فضای است ارثی هم جدا فضا است که ارثی نیست لیندلوف . [12]
پراکنده
فضای X پراکنده اگر هر زیر مجموعه غیر خالی از X شامل یک نقطه جدا شده در .
اسکات
توپولوژی اسکات در poset است که که در آن مجموعه باز هستند کسانی که مجموعه های بالایی غیر قابل دسترس با کارگردانی می پیوندد. [20]
دسته دوم
مشاهده ناچیز .
دوم قابل شمارش
فضای دوم قابل شمارش یا کاملا جداگانه است اگر دارای پایگاه حسابداری برای توپولوژی آن باشد. [6] هر فضای قابل شمارش دوم شمارش اول، قابل جدا شدن و Lindelöf است.
Semilocally به سادگی متصل است
یک فضای X بطور نیمهسانه ای به سادگی متصل می شود، اگر برای هر نقطه x در X ، یک محله U از x وجود دارد به طوری که هر حلقه در x در U هماتوپی در X به حلقه ثابت x است . هر فضای متصل به سادگی و هر فضای محلی به سادگی اتصال متصل به نیمکره است. (در مقایسه با محلی متصل به راحتی؛ در اینجا، homotopy مجاز است که در X زندگی کند ، در حالی که در تعریف به طور محلی متصل، homotopy باید در U. زندگی می کنند )
نیمه خطی
فضای نیمه رگولاتور است اگر مجموعه های منظم باز یک پایه را تشکیل می دهند.
جداگانه
فضای قابل جدا شدن است اگر دارای زیر مجموعه ای متراکم شمرده شود . [6] [14]
جدا از هم
دو مجموعه A و B جدا می شوند اگر هر کدام از بسته شدن آن دیگر از هم جدا نباشد .
به طور متوالی جمع و جور
یک فضای به طور پیوسته فشرده شده است، اگر هر دنباله متعاقب همگرا باشد. هر فضای فشرده به صورت متوالی فشرده شده است و هر فضای فشرده و متراکم اول محاسبه شده به طور متوالی فشرده است.
نقشه کوتاه
نقشه متریک را ببینید
به سادگی متصل شد
یک فضای به سادگی متصل است، اگر مسیر متصل است و هر حلقه هموتوپیک به یک نقشه ثابت است.
توپولوژی کوچکتر
توپولوژی Coarser را ببینید .
هوشیار
در یک فضای آرام ، هر زیرمجموعه بسته غیر قابل تعویض بسته شدن دقیقا یک نقطه است؛ یعنی یک نقطه کلی منحصر به فرد دارد . [21]
ستاره
ستاره یک نقطه در یک پوشش داده شده از یک فضای توپولوژیک ، اتحاد تمام مجموعه ها در پوشش است که حاوی نقطه است. مشاهده پالایش ستاره .
{\ displaystyle f}توپولوژی قوی
اجازه دهید {\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow Y}یک نقشه از فضاهای توپولوژیکی باشد. ما می گوییم این{\ displaystyle Y} دارد {\ displaystyle f}اگر توپولوژی توپوگرافی برای هر زیر مجموعه باشد {\ displaystyle U \ subset Y}، یکی این است {\ displaystyle U} در باز است {\ displaystyle Y} اگر و تنها اگر {\ displaystyle f ^ {- 1} (U)} در باز است {\ displaystyle X}
توپولوژی قوی تر
به توپولوژی Finer مراجعه کنید . مراقب باشید، برخی از نویسندگان، به ویژه تحلیلگران ، از اصطلاح توپولوژی ضعیف استفاده می کنند .
زیربنای
مجموعه ای از مجموعه باز است subbase (یا subbasis ) برای یک توپولوژی اگر هر غیر خالی مجموعه باز مناسب در توپولوژی یک اتحادیه از است محدود تقاطع از مجموعه های در subbase. اگر B است هر مجموعه ای از زیر مجموعه های یک مجموعه X ، توپولوژی در X تولید شده توسط B کوچکترین توپولوژی حاوی B ؛ این توپولوژی شامل مجموعه خالی، X و تمام اتحادیه های تقاطع های محدود عناصر B است .
زیربازی
مشاهده Subbase .
زیرمجموعه
پوشش K یک پوشش زیر (یا پوشش زیر ) پوشش L است اگر هر عضو از K یک عضو از L است .
تحت پوشش
مشاهده Subcover .
فضای زیرمکسیما
فضای توپولوژیک است گفته می شود زیر بیشینه اگر هر زیر مجموعه ای از آن را به صورت محلی بسته، است که، هر زیر مجموعه تقاطع یک است مجموعه باز و یک مجموعه بسته .
در اینجا برخی از حقایق مربوط به زیرمجموعه به عنوان یک ویژگی از فضاهای توپولوژیکی وجود دارد:هر فضای درب زیرمجموعه است.هر فضای زیرماکسیمال به طور ضعیفی زیرمجموعه است؛ بدین ترتیب هر مجموعه محدود به طور محلی بسته است.هر فضای زیرکاملی غیر قابل حل است [22]
زیرمجموعه
اگر T یک توپولوژی در فضا است X ، و اگر یک زیر مجموعه از است X ، پس از آن توپولوژی فضا در ناشی از T عبارت است از تمام تقاطع ها از مجموعه های باز در T با . این ساخت و ساز به ساخت topology تقریبی دو برابر است.T [ ویرایش ]
T 0
فضای T 0 (یا Kolmogorov ) است اگر برای هر جفت نقطه متمایز x و y در فضا، یا یک مجموعه باز شامل x است اما نه y ، یا یک مجموعه باز وجود دارد که حاوی Y اما نه x است .
ت 1
فضای T 1 (یا Fréchet یا قابل دسترسی است ) اگر برای هر جفت نقطه متمایز x و y در فضا باشد، یک مجموعه باز وجود دارد که شامل x اما نه y است . (در مقایسه با T 0 ؛ در اینجا ما مجاز هستیم مشخص کنیم کدام نقطه در مجموعه باز موجود است). معادل آن، یک فاصله است T 1 اگر همه ی آن singletons بسته شوند. هر T 1 فضای T 0 است .
T 2
فضای Hausdorff را ببینید .
T 3
به طور منظم Hausdorff مراجعه کنید .
T 3½
مشاهده فضای Tychonoff .
T 4
به Hausdorff معمولی مراجعه کنید .
T 5
به طور کامل Hausdorff طبیعی را ببینید .
بالا
رده فضاهای توپولوژیکی را مشاهده کنید .
انحراف توپولوژیک
یک غیرفعال توپولوژیک یک اموال است که تحت رطوبت موجود است. به عنوان مثال، فشردگی و همبستگی خواص توپولوژیکی هستند، در حالی که محدودیت و کاملی بودن آنها نیست.توپولوژی جبری مطالعه ساختارهای جبر انتزاعی غیر انتزاعی در فضاهای توپولوژیکی است.
فضای توپولوژیک
یک فضای توپولوژیک ( X ، T ) یک مجموعه X مجهز به مجموعه T زیرمجموعه های X است که دارای زیرمجموعه های زیر است :مجموعه خالی و X در T هستند .اتحاد هر مجموعه ای از مجموعه ها در T همچنین در T است .تقاطع هر جفت مجموعه در T نیز در T است .
مجموعه T یک توپولوژی در X است .
مجموع توپولوژیکی
به topology کوپروتکت مراجعه کنید .
از لحاظ توپولوژی کامل است
فضاهای کاملا متریزم (یعنی فضاهای توپولوژیک که به فضاهای متریک متقارن هومورفیک هستند) اغلب از لحاظ توپولوژی کامل هستند ؛ گاهی اوقات اصطلاح نیز برای فضاهای کامل چخ یا فضاهای کاملا یکنواخت استفاده می شود .
توپولوژي
مشاهده فضای توپولوژیک .
کاملا محدود
فضای متریک M کاملا محدود است اگر برای هر r > 0 یک پوشش محدود از M با توپهای باز شعاع r وجود داشته باشد. فضای متریک فشرده است اگر و فقط اگر آن کامل و کاملا محدود است.
کاملا قطع شد
فضای کاملا قطع شده است اگر آن زیر مجموعه ای با بیش از یک نقطه وجود نداشته باشد.
توپولوژی قطعی
توپولوژی بدیهی (یا ناگسسته ) در یک مجموعه X شامل دقیقا تنظیم خالی و فضای کل X .
Tychonoff
فضای Tychonoff (یا به طور کامل به طور منظم هاسدورف فضا، به طور کامل T 3 فضا، T 3.5 فضا) به طور کامل به طور منظم T است 0 فضا. (فضای کاملا به طور منظم Hausdorff است اگر و فقط اگر آن T 0 است ، بنابراین اصطلاحات سازگار است.) هر فضای Tychonoff به طور منظم Hausdorff است.U [ ویرایش ]
فوق العاده متصل
فضای فوق العاده متصل است، اگر دو مجموعه غیر بسته خالی از هم جدا نیستند. [11] هر فضای فوق العاده متصل به مسیر ارتباط دارد.
Ultrametric
متریک یک مگاپیکسل است اگر آن را به نسخه قوی تر از نابرابری مثلث برساند : برای همه x ، y ، z در M ، d ( x ، z ) ≤ max ( d ( x ، y )، d ( y ، z )) .
ایزومورفیک یکنواخت
اگر X و Y هستند فضاهای یکنواخت ، یک ریخت یکنواخت از X به Y یک تابع bijective است ج  : X → Y به طوری که F و F -1 هستند یکنواخت پیوسته . سپس فضاها به صورت یکنواخت ایزومورفیک و خواص یکنواخت به اشتراک گذاشته می شوند .
Uniformisable / Uniformisable
فضای یکنواخت است، اگر به فضای یکنواخت برسد.
فضای یکنواخت
یک فضای یکنواخت مجموعه ای از X است که مجهز به یک مجموعه غیرمعمول Φ زیر مجموعه ای از محصول دکتیسی X × X است که با اصول زیر آشنا می شود :اگر U در Φ باشد، U شامل {( x ، x ) | X در X }.اگر U در Φ باشد، سپس {( y ، x ) | ( x ، y ) در U نیز در Φ استاگر U در Φ و V یک زیرمجموعه X × X است که شامل U ، V در Φ استاگر U و V در Φ باشند، U ∩ V در Φ استاگر U در Φ باشد، V در Φ وجود دارد به طوری که هرگاه ( x ، y ) و ( y ، z ) در V باشند ، ( x ، z ) در U است .
عناصر Φ نامیده می شوند همراهان و Φ خود است که به نام ساختار یکنواخت در X . ساختار یکنواخت یک توپولوژی را در X ایجاد می کند که در آن محدوده های اولیه x مجموعه ای از فرم { y  : ( x ، y ) ∈ U } برای U ∈Φ است.
ساختار یکنواخت
مشاهده فضای یکنواخت .W [ ویرایش ]
توپولوژی ضعیف
توپولوژی ضعیف در یک مجموعه، با توجه به مجموعه ای از توابع از آن مجموعه به فضاهای توپولوژیک، درشتترین توپولوژی بر روی مجموعه ای که باعث می شود تمام توابع پیوسته است.
توپولوژی ضعیف
توپولوژی Coarser را ببینید . مراقب باشید، برخی از نویسندگان، به ویژه تحلیلگران ، از اصطلاح قوی تر توپولوژی استفاده می کنند .
ضعیف متراکم جمع و جور
اگر هر یک از زیر مجموعه های نامحدود دارای نقطه محدود باشد، یک فضای ضعیف متراکم جمع (یا محدودیت نقطه جمع ) است.
ضعیف ارثی
گفته می شود که اموال فضاها ضعیف و ارثی است اگر هر وقت فضای آن مالکیت را داشته باشد، پس هر زیرمجموعه بسته آن است. به عنوان مثال، فشردگی و ویژگی Lindelöf هر دو ویژگی خواص ضعیف هستند، اگر چه نه ارثی است.
وزن
وزن یک فضای X کوچکترین عدد کاردینال κ به طوری که X دارای یک پایه از κ اصلی. (توجه داشته باشید که چنین عدد هسته ای وجود دارد، زیرا کل توپولوژی یک پایه را تشکیل می دهد، و به این دلیل که کلاس اعداد سرچشمه مرتب است .)
به خوبی وصل شده است
مشاهده Ultra-متصل . (بعضی از نویسندگان این اصطلاح را به شدت برای فضاهای فشرده فوق العاده متصل استفاده می کنند.)Z [ ویرایش ]
یک بعدی
یک فضای صفر بعدی است اگر دارای پایه ای از مجموعه های کلوپن باشد. [23]همچنین نگاه کنید به [ ویرایش ]نظریه مجموعه نایاب ، نظریه مجموعه Axiomatic و تابع برای تعاریف مربوط به مجموعه ها و توابع.توپولوژی برای یک تاریخچه مختصر و توصیف زمینه موضوعیفضاهای توپولوژیک برای تعاریف و نمونه های اولیهفهرست موضوعات توپولوژی عمومیلیستی از نمونه ها در توپولوژی عمومی
مفاهیم خاص توپولوژیفضای فشردهفضای مرتبطتداومفضای متریکمجموعه های جدا شدهaxiom جداسازیفضای توپولوژیکفضای یکنواخت
واژه نامه های دیگرواژه نامه توپولوژی جبریواژه نامه مناطق ریاضیاتواژه نامه Riemannian و هندسه متریک 

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_topology

فهرست موضوعات توپولوژی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

این فهرستی از موضوعات توپولوژی است که توسط صفحه ویکیپدیا ارائه شده است. همچنین ببینید:

• واژه نامه توپولوژی
• فهرست موضوعات کلی توپولوژی
• فهرست موضوعات توپولوژی هندسی
• فهرست موضوعات توپولوژی جبری
• فهرستی از ویژگی های توپولوژیکی (خواص توپولوژیکی)
• انتشارات در توپولوژی

فهرست

• 1توپولوژی و فیزیک
• 2توپولوژی و سیستم های دینامیکی
• 3توپولوژی و محاسبات
• 4متفرقه

توپولوژی و فیزیک [ ویرایش ]

• توپولوژی کوانتومی
• نقص توپولوژیک
• آنتروپی توپولوژیک در فیزیک
• نظم توپولوژیک
• نظریه میدان کوانتومی توپولوژیک
• تعداد کوانتومی توپولوژیک
• تئوری رشته توپولوژیک
• توپولوژي جهان

سیستم توپولوژی و سیستم های دینامیک [ ویرایش ]

• تئوری مینولور-ترستون
• همجواری توپولوژیک
• دینامیک توپولوژیک
• آنتروپی توپولوژیک
• اختلاط توپولوژیک

توپولوژی و محاسبات [ ویرایش ]

• توپولوژی محاسباتی
• توپولوژی دیجیتال
• توپولوژی شبکه
• محاسبات توپولوژیک
• محاسبات کوانتومی توپولوژیک
• کامپیوتر کوانتومی توپولوژیک

متفرقه [ ویرایش ]

• توپولوژی ترکیبی
• نمونه های مخالف در توپولوژی
• توپولوژی دیفرانسیل
• توپولوژی هندسی
• توپولوژی جغرافیایی
• توپولوژی جغرافیایی
• پیوند (نظریه گره)
• شماره لیست
• مریتولوژی
• توپولوژی غیرقابل پذیرش
• توپولوژی بی معنی
• توپولوژی تئوری مجموعه
• ترکیبی از توپولوژی
• تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی
• نظریه درجه توپولوژیک
• بازی توپولوژیک
• نظریه گراف توپولوژیک
• نظریه K-توپولوژیک
• اشکال مدولال توپولوژیک
• اسکلت توپولوژیک
• بهینه سازی توپولوژی

ادامه نوشته

توپولوژي

این مقاله در مورد شعبه ریاضیات است. برای استفاده های دیگر، نگاه کنید به توپولوژی (ابهامزدایی) .

 

نوار موبیوس که فقط یک سطح و یک لبه دارد، نوعی از جسم مورد مطالعه در توپولوژی است.

در ریاضیات ، توپولوژی (از یونانی τόπος، جای ، و λόγος، مطالعه ) با خواص مربوط فضای که تحت حفظ مداوم تغییر شکل ، مانند کشش ، چرخاندن، از crumpling و خم شدن، اما نه پاره و یا چسب .

n بعدی فضای توپولوژیک یک فضای (نه لزوما است اقلیدسی ) با ویژگیهای خاص از ارتباط و فشردگی . [1]

فضای ممکن است مستمر باشد (مانند همه نقاط روی یک ورق لاستیکی)، یا گسسته (مانند مجموعه ای از عدد صحیح ). این می تواند باز باشد (مانند مجموعه ای از نقاط در داخل یک دایره ) یا بسته (مانند مجموعه ای از نقاط در داخل یک دایره، همراه با نقاط در دایره).

توپولوژی به وسیله تجزیه و تحلیل مفاهیم مانند فضا، ابعاد و تحول به عنوان زمینه تحصیلی از هندسه و تئوری مجموعه ایجاد شده است .[2] چنین ایده هایی به گاتفریید لایبنیتس بازمی گردد که در قرن 17 میلادی هندسه هندسی (یونانی-لاتین به عنوان "هندسه مکان") وتجزیه و تحلیل موضع (یونانی-لاتین برای "برداشتن مکان") را پیش بینی می کرد. لئونارد اویلر را پلهای کونیکسبرگ مشکل و فرمول چند سطحی هستند مسلما اولین قضایای زمینه است. توپولوژی اصطلاح توسط فهرست یوهان بنیدیت معرفی شددر قرن نوزدهم، هرچند تا دهه های اول قرن بیستم، ایده فضای توپولوژی توسعه نیافت. تا اواسط قرن بیستم، توپولوژی تبدیل به شاخه ای عمده از ریاضیات شد.

یک تصویر سه بعدی از یک گره ی گردبادضخیم ، ساده ترین گره بی اهمیت است

 

فهرست

• 1تاریخچه
• 2مقدمه
• 3مفهوم
  • 3.1توپولوژي در مجموعه
  • 3.2توابع پیوسته و هومورفیسم
  • 3.3مانیفولدز
• 4تاپیک
  • 4.1توپولوژی عمومی
  • 4.2توپولوژی جبری
  • 4.3توپولوژی دیفرانسیل
  • 4.4توپولوژی هندسی
  • 4.5کلیات
• 5برنامه
  • 5.1زیست شناسی
  • 5.2علم کامپیوتر
  • 5.3فیزیک
  • 5.4رباتیک
  • 5.5بازی ها و پازل
  • 5.6هنر فیبر
• 6همچنین ببینید
• 7منابع
  • 7.1نقل قول
  • 7.2کتابشناسی
• 8خواندن بیشتر
• 9پیوندهای خارجی

تاریخچه [ ویرایش ]

پلهای کونیکسبرگ یک مشکل حل شده توسط اویلر بود.

توپولوژی، به عنوان یک رشته ریاضی به خوبی تعریف شده، از اوایل قرن بیستم آغاز می شود، اما برخی نتایج جداگانه را می توان چندین قرن پیش بینی کرد. [3] در میان این ها پرسش های خاصی در هندسه مورد بررسی توسط لئونارد اویلر است. مقاله 1736 خود را در هفت پلان Königsberg به عنوان یکی از اولین کاربرد کاربردی توپولوژی در نظر گرفته شده است. [3] در 14 نوامبر 1750، اویلر به دوستی نوشت که او اهمیت لبه های یک چندضلعی را متوجه شده بود . این منجر به فرمول چند گانه آن شد ، V - E + F = 2 (جایی که V ، E وF به ترتیب تعداد رأس ها، لبه ها و چهره های چند ضلعی را نشان می دهد). بعضی از مقامات این تحلیل را به عنوان قضیه اول می دانند، که نشان دهنده تولد توپولوژی است. [4] [5]

کمک های بیشتر توسط آگوستین لوئیس کوشی ، لودویگ شلفلی ، یوهان بنیدیت لیست ، برنارد ریمان و انریکو بتی ساخته شده است . [6]فهرستی از اصطلاح "Topologie" را در Vorstudien zur Topologie ، که در سال 1847 در زبان آلمانی خود نوشته شده است، در سال 1847 با استفاده از کلمه برای ده سال در مکاتبات، قبل از اولین بار در چاپ، به کار برد. [7] "توپولوژی" فرم انگلیسی در سال 1883 در نیوجرسی Listing در مجله Nature برای تشخیص "هندسه کیفی از هندسه معمولی که در آن روابط کمی تحت تاثیر قرار می گیرند" استفاده شد. [8]اصطلاح "توپولوژیست" به معنای یک متخصص در توپولوژی در سال 1905 در مجله Spectator مورد استفاده قرار گرفت . [ نیازمند منبع ]

کار آنها اصلاح شد، ادغام شد و توسط Henri Poincaré بسیار گسترش یافت . در سال 1895، مقاله خود را بر روی Analysis Situs منتشر کرد که مفاهیمی را که در حال حاضر به عنوانهمولوگ و همولوگ شناخته می شوند شناخته شده است ، که در حال حاضر بخشی از توپولوژی جبری هستند . [6]

خصوصیات توپولوژیک بسته های 2-منیفولد [6]

منیفولد	شماره یولر	جهت گیری	اعداد Betti			ضریب تورشی (1-dim)
			ب 0	ب 1	ب 2
کره	2	Orientable	1	0	1	هیچ یک
توروس	0	Orientable	1	2	1	هیچ یک
2-holed torus	-2	Orientable	1	4	1	هیچ یک
g- holed torus ( Genus = g )	2 تا 2 گرم	Orientable	1	2 گرم	1	هیچ یک
هواپیما برنامه ریزی شده	1	غیر قابل تحمل	1	0	0	2
بطری کلاین	0	غیر قابل تحمل	1	1	0	2
کروی با C کراس کلاه ( C > 0)	2 - ج	غیر قابل تحمل	1	c - 1	0	2
2-منیفولد با سوراخهای g و c -cross-caps ( c > 0)	2 - (2 گرم  +  س )	غیر قابل تحمل	1	(2 گرم  +  س ) - 1	0	2

وحدت کار بر روی فضاهای تابعی از گئورگ کانتور ، ویتو ولترا ، چزاره Arzelà ، ژاک هادامارد ، جولیو آسکولی و دیگران، موریس فریشه معرفی فضای متریک در سال 1906. [9] یک فضای متریک در حال حاضر به یک مورد خاص از یک فضای توپولوژیک کلی در نظر گرفته ، با هر فضای توپولوژیک داده شده به طور بالقوه به بسیاری از فضاهای متریک متمایز منجر می شود. در سال 1914، فلیکس هاوسورف اصطلاح "فضای توپولوژیکی" را تعریف کرد و تعریف را برای آنچه که اکنون فضای هوسدورف نامیده می شود، تعریف کرد . [10]در حال حاضر، یک فضای توپولوژیک یک تعریف جزئی از فضاهای هادسفورد است که توسط Kazimierz Kuratowski در سال 1922 ارائه شده است . [11]

توپولوژی مدرن به شدت به ایده های نظریه مجموعه ای، که توسط گرگ کانتور در بخش بعدي قرن نوزدهم توسعه داده شد، به شدت وابسته است. کانتور، علاوه بر ایجاد ایده های اساسی نظریه مجموعه، مجموعه های نقطه ای را در فضای اقلیدسی به عنوان بخشی از مطالعه خود در مجموعه فوریه بررسی می کند . برای پیشرفت های بیشتر، به topology topology و topology جبری نگاه کنید.

مقدمه [ ویرایش ]

توپولوژی می توان به طور رسمی به عنوان "مطالعه خواص کیفی از اشیاء خاص تعریف شده (به نام فضاهای توپولوژیک ) که ثابت تحت یک نوع خاصی از تحول (به نام نقشه مداوم )، به ویژه آن دسته از خواص که در زیر یک نوع خاصی از تحول معکوس ناوردا هستند ( هومومورفیسم نامیده می شود ). "

توپولوژی نیز برای اشاره به یک ساختار اعمال شده بر روی یک مجموعه X استفاده می شود که ساختار است که اساسا مجموعه X به عنوان فضای توپولوژیک را با توجه به مراقبت مناسب از خواص مانند همگرایی ، همبستگی و تداوم ، پس از تبدیل، مشخص می کند.

فضاهای توپولوژیکی به طور طبیعی در تقریبا در هر شاخه ریاضیات ظاهر می شود. این توپولوژی را یکی از ایده های متحد کردن بزرگ ریاضی دانسته است.

بینش انگیزشی در پشت توپولوژی این است که برخی از مشکلات هندسی نه به شکل دقیق اشیاء درگیر، بلکه به نحوی که با هم قرار می گیرند، بستگی دارد. به عنوان مثال، مربع و دایره دارای خواص فراوان مشترک هستند: آنها هر دو اجسام یک بعدی (از نقطه نظر توپولوژیکی) هستند و هر دو هواپیما را به دو بخش، قسمت درونی و قسمت خارج از هم جدا می کنند.

لئونارد ایلر در یکی از اولین مقالات در توپولوژی، نشان داد که مسیری را از طریق شهر Königsberg (اکنون کالینینگراد ) پیدا کرده است که دقیقا یک بار از هر هفت پل آن عبور می کند. این نتیجه بستگی به طول پل ها یا فاصله آنها از یکدیگر، اما فقط در خواص اتصال: که پل ها به آن جزایر یا بانک های رودخانه وصل می شوند. این هفت پل از مشکل Königsberg منجر به شاخه ای از ریاضیات شناخته شده به عنوان نظریه گراف .

یک تغییر شکل مداوم (یک نوع هومومورفیسم) یک لیوان یک شیرینی (توروس) و یک گاو به یک کره

به طور مشابه، قضیه توپ مودار از توپولوژی جبری می گوید که "می توان تخت مو بر روی یک توپ مودار بدون ایجاد یک شانه نمی cowlick ." این واقعیت بلافاصله به اغلب مردم متقاعد شده است، حتی اگر آنها ممکن است بیانی رسمی از قضیه را به رسمیت بشناسند، که هیچ حوزه بردارمستطیلی مستطیلی در حوزه وجود ندارد. همانطور که با پلهای Königsberg ، نتیجه به شکل کره بستگی ندارد؛ آن را به هر نوع لکه صاف اعمال می شود، تا زمانی که سوراخ ندارد.

برای مقابله با این مشکلات که به شکل دقیق اشیا تکیه نمی شود، باید در مورد آنچه که خواص این مشکلات به آن تکیه می کنند روشن باشد. از این نیاز مفهوم هومومورفیسم بوجود می آید. عدم امکان عبور از هر پل فقط یک بار به هر ترتیبی از پل های homomorphic به آنهایی که در Königsberg می گذرد، اعمال می شود و قضیه توپ مو با هر فضایی که homomorphic به یک کره است، اعمال می شود.

به طور مستقیم، دو فضای هومیومورفیک هستند، اگر بتوان آن را بدون برش یا چسباندن به یک دیگر تغییر داد. یک شوخی سنتی این است که یک توپولوژیست نمی تواند فنجان قهوه را از یک نان تقسیم کند، زیرا یک نان شیرین قابل قبول می تواند به یک فنجان قهوه تبدیل شود و با ایجاد یک نازک و به تدریج آن را بزرگتر کند، در حالی که سوراخ را در یک دسته قرار می دهد. [12]

هومومورفیسم را می توان به عنوان اساسی ترین معادله توپولوژی دانست . یکی دیگر از همبستگی همگانی است . این بدون توصیف فنی سخت تر است، اما مفهوم اصلی این است که دو اشیا همگن همبستگی معکوس دارند، اگر هر دوی آنها از "جوشیدن" بعضی از جسم بزرگتر ناشی می شوند.

کلاس های هم ارزانی از الفبای انگلیسی (یعنی لاتین) (بدون سرف)

هومومورفیسم	همبستگی homotopy

یک تمرین مقدماتی این است که حروف بزرگ حروف الفبای انگلیسی را طبق هومومورفیسم و ​​هماهنگی هماتوپیایی طبقه بندی کنید . نتیجه بستگی به فونت مورد استفاده دارد و اینکه آیا سکته مغزی که حروف را تشکیل می دهند ضخامت دارند یا منحنی ایده آل بدون ضخامت هستند. ارقام در اینجا از فونت Myriad بدون سرصفحه استفاده می شود و فرض می شود که از منحنی ایده آل بدون ضخامت تشکیل شده است. همبستگی هماتوپی نسبت روانشناختی نسبت به هومورفیسم است؛ یک طبقه همجوشی تطبیقی ​​می تواند چندین کلاس هومومورفیسم داشته باشد. مثال ساده هم سازي هماتوپی که در بالا شرح داده شده است می تواند در اینجا برای نشان دادن دو حروف معادل homotopy استفاده شود. به عنوان مثال، O در داخل P قرار می گیرد و دم P را می توان به قسمت "سوراخ" چسبیده است.

کلاس های هومومورفیسم عبارتند از:

• بدون حفره های مربوط به C، G، I، J، L، M، N، S، U، V، W و Z؛
• بدون سوراخ و سه دم با E، F، T، و Y؛
• بدون سوراخ و چهار دم با X؛
• یک سوراخ و بدون دم با D و O مطابقت دارد؛
• یک سوراخ و یک دم با P و Q؛
• یک سوراخ و دو دم با A و R؛
• دو سوراخ و بدون دم با B؛ و
• یک نوار با چهار دم با H و K مطابقت دارد. "نوار" در K تقریبا برای دیدن کوتاه است.

کلاس های هومیوپاتی بزرگتر هستند، زیرا دم می تواند به یک نقطه تقلیل یابد. آن ها هستند:

• یک سوراخ
• دو سوراخ، و
• بدون سوراخ

برای طبقه بندی حروف به درستی، ما باید نشان دهیم که دو حرف در همان کلاس معادل هستند و دو حرف در کلاس های مختلف معادل نیست. در مورد هومیو مورفیسم، با انتخاب نقاط می توان این کار را انجام داد و نشان داد که حذف آنها حروف متفاوت است. به عنوان مثال، X و Y هومومورفیک نیستند زیرا حذف نقطه مرکزی X برگ چهار قطعه؛ هر نقطهای در Y مربوط به این نقطه است، حذف آن می تواند حداکثر سه قطعه را ترک کند. مورد برابر همنوپوپی سخت تر است و نیاز به یک استدلال دقیق تر نشان می دهد که یک متغیر جبری، مانند گروه اساسی ، در کلاس های ظاهری متفاوت متفاوت است.

توپولوژی نامه دارای پیوند عملی در تایپوگرافی استنسیل است . به عنوان مثال، تراژدی فونت Braggadocio از یک قطعه مواد متصل ساخته شده است.

مفاهیم [ ویرایش ]

توپولوژی در مجموعه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای توپولوژیک

توپولوژی اصطلاح همچنین به یک ایده ی ریاضی خاص در بخش ریاضیات به نام توپولوژی اشاره دارد. به صورت غیر رسمی، یک توپولوژی می گوید که چگونه عناصر مجموعه ای به یکدیگر متصل می شوند. همان مجموعه می تواند توپولوژی های مختلف داشته باشد. به عنوان مثال، خط واقعی ، هواپیمای پیچیده (که یک فضای برداری یک بعدی یکپارچه) و مجموعه کانتور می تواند به عنوان یک مجموعه با توپولوژی های مختلف در نظر گرفته شود.

به صورت رسمی اجازه دهیم X یک مجموعه باشد و اجازه دهید τ یک خانواده از زیر مجموعه های X باشد. سپس τ نامیده می شود توپولوژی در X اگر:

1. هر دو مجموعه خالی و X عناصر τ هستند .
2. هر یک از عناصر τ یک عنصر از τ است .
3. هر نقطه تقاطع عناصر محدود از τ یک عنصر از τ است .

اگر τ یک توپولوژی در X باشد ، پس جفت ( X ، τ ) فضای توپولوژیکی نامیده می شود. نماد X τ ممکن است برای نشان دادن یک مجموعه X که دارای توپولوژی خاص τ است .

اعضای τ مجموعه باز در X نامیده می شود . اگر مجموعه آن در τ (یعنی مکمل آن باز است)، زیر مجموعه ای از X بسته می شود . زیر مجموعه ای از X ممکن است باز، بسته، هر دو ( مجموعه کلوپن )، یا نه. مجموعه خالی و X خود همواره بسته و باز هستند. یک زیرمجموعه از X شامل یک مجموعه باز شامل یک نقطه x محله " x " نامیده می شود .

توابع پیوسته و هومورفیسم [ ویرایش ]

مقالات اصلی: عملکرد مداوم و هومورفیسم

تابع و یا نقشه از یک فضای توپولوژیک را به دیگری است به نام مداوم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز باز است. اگر تابع نقشه اعداد واقعی را به اعداد واقعی (هر دو فضاهای با توپولوژی استاندارد)، پس این تعریف پیوسته معادل تعریف پیوسته در حساب است . اگر یک عملکرد مستمر یک به یک و بر روی آن باشد، و اگر معکوس از تابع نیز مداوم باشد، این تابع به نام هومومورفیسم نامیده می شود و حوزه تابع گفته می شود به دامنه homomorphic است. راه دیگری برای گفتن این است که این تابع یک گسترش طبیعی به توپولوژی دارد. اگر دو فضا هومومورفیک باشند، خواص توپولوژیکی یکسان دارند و از لحاظ توپولوژیکی یکسانند. مکعب و حوزه ها به صورت مسطح هستند، مانند فنجان قهوه و نان. اما این دایره به دونات منحرف نمی شود.

منیفولد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: منیفولد

در حالی که فضاهای توپولوژیکی می توانند بسیار متنوع و عجیب و غریب باشند، بسیاری از مناطق توپولوژی بر روی کلاس فضایی شناخته شده به عنوان منیفوالات متمرکز می شوند. یک چندفیلدیک فضای توپولوژیک است که در نزدیکی هر نقطه شبیه فضای اقلیدسی است. بطور دقیقتر، هر نقطه از یک نفر چند برابر بعدی دارای محله است که homeomorphic به فضای اقلیدسی بعد N. خطوط و حلقه ها ، اما نه رقم هشتم ، چندبعدی یک بعدی هستند. چندبعدیهای دو بعدی نیز سطوح نامیده می شوند . مثالها شامل هواپیما هستند، کره و توور، که همه آنها بدون درهم آمیختن در سه بعد تحقق مییابد، بلکه بطری کلین و هواپیما واقعی ، که نمیتوانند آن را تحمل کنند.

موضوعات [ ویرایش ]

توپولوژی عمومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی عمومی

توپولوژی عمومی شاخه ای از توپولوژی است که با تعاریف و ساختارهای مجموعه ای نظری مورد استفاده در توپولوژی مورد استفاده قرار می گیرد. [13] [14] این پایه و اساس بسیاری از سایر شاخه های توپولوژی، از جمله توپولوژی های گسسته، توپولوژی هندسی و توپولوژی جبری است. نام دیگری برای توپولوژی عمومی توپولوژی مجموعه نقطه است .

مفاهیم اساسی در توپولوژی نقطه ای عبارتند از پیوستگی ، فشردگی و وابستگی . به طور مستقیم، توابع پیوسته، نقاط نزدیک را به نقاط نزدیک می رسانند. مجموعه های جمع و جوری هستند که می توانند توسط مجموعه های محدودی از اندازه های خودسرانه کوچک پوشانده شوند. مجموعه های متصل مجموعه ای هستند که نمی توانند به دو قسمت تقسیم شوند. کلمات کلیدی در اطراف ، به طور خودسرانه کوچک و دور از هم می توانند با استفاده از مجموعه های باز، دقیق باشند. اگر ما تعریف مجموعه باز را تغییر دهیم، ما تغییرات توابع پیوسته، جمع و دسته و مجموعه متصل می کنیم. هر انتخاب تعریف برای مجموعه باز یک توپولوژی نامیده می شود. مجموعه ای با توپولوژی فضای توپولوژی نامیده می شود .

فضاهای متریک یک طبقه مهم از فضاهای توپولوژیکی هستند که در آن فاصله ها می توانند یک عدد به نام متریک تعیین شوند . داشتن یک متریک ساده بسیاری از اثبات ها، و بسیاری از فواصل کلی توپولوژیک، فضاهای متریک هستند.

توپولوژی جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی جبری

توپولوژی جبری شاخه ای از ریاضیات است که از ابزارهای جبر انتزاعی برای مطالعه فضاهای توپولوژی استفاده می کند. [15] هدف اصلی یافتن جاذبه های جبری است که فضاهای توپولوژیکی راتا هومومورفیسم طبقه بندی می کند ، هرچند معمولا بیشتر به همبستگی هماتوپیایی طبقه بندی می شود.

مهمترین این تعاریف، گروههای همگانی ، همولوگ و هماهنگی هستند .

گرچه توپولوژی جبری عمدتا از جبر استفاده می کند تا مشکلات توپولوژیکی را بررسی کند، گاهی اوقات نیز ممکن است از توپولوژی برای حل مشکلات جبری استفاده شود. به عنوان مثال، توپولوژی جبری اجازه می دهد تا برای یک اثبات مناسب که هر زیر گروه یک گروه آزاد دوباره یک گروه آزاد است.

توپولوژی دیفرانسیل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی دیفرانسیل

توپولوژی دیفرانسیل زمینهیی است که با توابع متمایز در چندیفلهای متمایز توافق میکند . [16] نزدیک به هندسه دیفرانسیل مرتبط است و با هم آنها تئوری هندسی از چندفیلد های متفاوت را تشکیل می دهند.

به طور خاص، توپولوژی دیفرانسیل، خواص و ساختارهایی را که نیاز به ساختار صاف در یک چندجملهای دارند تعریف می کند. منیفولد های صاف "نرمتر" نسبت به منیفولدها با ساختارهای هندسی اضافی است که می توانند بعنوان مانع از انواع خاصی از معادلات و تغییر شکل هایی که در توپولوژی دیفرانسیل وجود دارند ، عمل کنند . به عنوان مثال، حجم و انحنای ریمانی منحصر به فرد هستند که می توانند ساختارهای مختلف هندسی را در یک مانیفولد صاف مشابه تشخیص دهند، یعنی می توان آنها را به طور مسطح "مسطح کردن" مینی فویل های خاصی، اما ممکن است نیاز به تخریب فضا و تاثیر بر انحنا یا حجم باشد.

توپولوژی هندسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی هندسی

توپولوژی هندسی شاخه ای از توپولوژی است که عمدتا بر روی چند فویل های کم ابعاد (یعنی فضاهای ابعاد 2،3 و 4) و تعامل آنها با هندسه تمرکز دارد، اما همچنین شامل برخی از توپولوژی های بعدی می شود. [17] [18] برخی از نمونه هایی از موضوعات در توپولوژي هندسی عبارتند از: گرایش ، تقسیم بندی ، مسطح بودن موضعی ، تقلید و قضیه Schönflies مسطح و مسطح .

در توپولوژي با ابعاد بزرگ، طبقات ويژه يك ويژگي اساسي هستند و نظریه جراحی نظریه کلیدی است.

توپولوژی کم بعدی به شدت هندسی است، همانطور که در قضیه uniformization در 2 ابعاد نشان داده شده است - هر سطحی یک معیار انحنای ثابت را می پذیرد؛ هندسه، یکی از 3 هندسه ممکن است: انحنای مثبت / کروی، انحنای صفر / تخت، منحنی منفی / هیپربولیک - و فرضیه geometrization (در حال حاضر قضیه) در 3 ابعاد - هر 3 - چند منظوره را می توان به قطعات، برش هر قطعه دارای یکی از هشت هندسه ممکن است.

توپولوژی دو بعدی می تواند به عنوان هندسه پیچیده در یک متغیر ( سطوح ریمان منحنی پیچیده) مورد مطالعه قرار گیرد - با قضیه uniformization، هر کلاس conformal از معیارها معادل یک مجموعه منحصر به فرد است، و توپولوژی 4 بعدی را می توان از نقطه مشاهده هندسه پیچیده در دو متغیر (سطوح پیچیده)، هر چند هر 4 مینی فلفل یک ساختار پیچیده را قبول نمی کند.

کلیات [ ویرایش ]

گاهی اوقات نیاز به استفاده از ابزار توپولوژی است، اما مجموعه ای از نقاط در دسترس نیست. در توپولوژی بی معنی یکی به جای در نظر شبکه از مجموعه های باز، به همان مفهوم اصلی تئوری،[19] در حالی که توپولوژی ثانیه Grothendieck ساختارهای تعریف شده در خودسرانه دسته اجازه می دهد که تعریف قرقره بر روی آن دسته، و با که تعریف نظریه های cohomology عمومی . [20]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

زیست شناسی [ ویرایش ]

نظریه گره ، یک شاخه توپولوژی، در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد تا اثر آنزیم های خاصی را بر روی DNA بررسی کند. این آنزیم ها DNA را متصل، پیچیده و مجددا متصل می کنند، و باعث می شود که اثرات قابل مشاهده مانند الکتروفورز کندتر شود . [21] توپولوژی نیز در زیست شناسی تکاملی برای نشان دادن رابطه بین فنوتیپ و ژنوتیپ استفاده می شود . [22] شکل های فنوتیپی که کاملا متفاوت می شوند، می توانند تنها با چند جهش جدا شوند، بسته به اینکه چگونه تغییرات ژنتیکی به تغییرات فنوتیپی در طول توسعه می پردازند. در علوم اعصاب، مقادیر توپولوژیکی مانند ویژگی هایلر و تعداد Betti برای اندازه گیری پیچیدگی الگوهای فعالیت در شبکه های عصبی مورد استفاده قرار گرفته اند.

علم کامپیوتر [ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی از تکنیک های توپولوژی جبری برای تعیین ساختار مقیاس بزرگ یک مجموعه استفاده می کند (به عنوان مثال، تعیین اینکه آیا ابر نقاط کروی یا توریال است ).روش اصلی مورد استفاده در تجزیه و تحلیل داده های توپولوژی:

1. مجموعه ای از نقاط داده را با یک خانواده از مجتمع های ساده ، با نمای پارامتر مجاورت، جایگزین کنید .
2. این مجموعه توپولوژیکی را از طریق توپولوژی جبری تجزیه کنید - به طور خاص، از طریق تئوری همخوانی مداوم . [23]
3. همگنی دائمی مجموعه داده ها را به صورت یک نسخه پارامتریک از یک شماره Betti ، که بارکد نامیده می شود، رمزگذاری کنید . [23]

فیزیک [ ویرایش ]

توپولوژی مربوط به فیزیک در زمینه هایی مانند فیزیک ماده چگال ، [24] نظریه میدان کوانتومی و کیهان شناسی فیزیکی است .

وابستگی توپولوژیکی خواص مکانیکی در مواد جامد به رشته مهندسی مکانیک و علوم مواد علاقه مند است . خواص الکتریکی و مکانیکی به ساختار شبکه و ساختار مولکول ها و واحدهای ابتدایی مواد بستگی دارد . [25] مقاومت فشاری از مچاله توپولوژی در تلاش برای درک قدرت به وزن بالا، چنین ساختارهایی که عمدتا فضای خالی مطالعه قرار گرفت. [26] توپولوژی در مکانیک تماس بااهمیت بیشتر است که در آن وابستگی سختی و اصطکاک بر ابعاد از سازه های سطح موضوع مورد علاقه با برنامه های کاربردی در فیزیک چند بدن است.

یک نظریه میدان کوانتومی توپولوژی (یا نظریه میدان توپولوژیک یا TQFT ) یک نظریه میدان کوانتومی است که محاسبات توپولوژیکی را محاسبه می کند .

اگر چه TQFT ها توسط فیزیکدانان اختراع شده اند، آنها نیز از علاقه ریاضی هستند، که در میان دیگر موارد، نظریه گره ، نظریه چهار مینی فولد در توپولوژی جبری و نظریه فضاهای مدول در هندسه جبری، مرتبط است. دونالدسون ، جونز ، ویتن ، و کنسویچ همه مدال فیلد را برای کار مرتبط با نظریه میدان توپولوژیک به دست آوردند .

طبقه بندی توپولوژیکی چندبعدی کالیبای یو ، پیامدهای مهمی در نظریه رشته دارد ، زیرا چندبعدی های مختلف می توانند انواع مختلف رشته ها را حفظ کنند. [27]

در کیهان شناسی، توپولوژی می تواند برای توصیف شکل کلی جهان استفاده شود. [28] این ناحیه تحقیق معمولا به عنوان توپولوژی فضا زمان شناخته می شود .

رباتیک [ ویرایش ]

موقعیت های احتمالی یک ربات را می توان با یک منیفولد به نام فضای پیکربندی توصیف کرد . [29] در حوزه برنامه ریزی حرکت ، مسیرهای بین دو نقطه در فضای پیکربندی پیدا می شود. این مسیرها یک حرکت از مفاصل ربات و سایر قسمت ها را به صورت مورد نظر نشان می دهد. [30]

بازی ها و پازل [ ویرایش ]

پازل های پیچ و خم بر اساس جنبه های توپولوژیک از اشکال و اجزای پازل است. [31] [32] [33] [34]

هنر فیبر [ ویرایش ]

برای ایجاد یک پیوست پیوسته از قطعات در ساخت و ساز مدولار، لازم است که یک مسیر ناگسستنی در یک نظم که هر قطعه را احاطه کرده است، ایجاد شود و تنها یک بار لبه هر لبه را ایجاد کند. این فرآیند کاربرد مسیر یولر است . [35]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Topology