ریاضیات

مقایسه نظری توان و انرژی در پرواز افقی و پرواز موجی

در این بخش می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا «پرواز موجی» از نظر مصرف انرژی از «پرواز افقی ساده» پرهزینه‌تر است یا نه.

اما قبل از نتیجه‌گیری، باید دقت کنیم که مدل فیزیکی ما درست باشد.
در محاسبه‌های اولیه، برای پرواز افقی عددی معقول به دست آمد، ولی برای پرواز موجی از رابطه‌ای استفاده شده بود که از نظر فیزیکی و ابعادی درست نبود.
به همین دلیل، عدد بسیار بزرگ 35 وات قابل قبول نیست.

1) پرواز افقی

پارامترهای فرضی:

m = 0.02 kg
v = 7 m/s
rho = 1.225 kg/m^3
C_D = 0.04
b = 0.1 m
S = 0.015 m^2
e = 0.8
AR = 6.7

ابتدا فشار دینامیکی هوا را حساب می‌کنیم:

q = (1/2) rho v^2

جایگذاری:

q = 0.5 × 1.225 × 7^2
q = 0.5 × 1.225 × 49
q ≈ 30 N/m^2

درگ انگلی

D_parasitic = C_D q S

پس:

D_parasitic = 0.04 × 30 × 0.015
D_parasitic ≈ 0.018 N

درگ القایی

در پرواز افقی پایدار، نیروی برا تقریباً برابر وزن است:

L = mg = 0.02 × 9.81 ≈ 0.196 N

فرمول استاندارد درگ القایی:

D_induced = L^2 / (pi e AR q S)

جایگذاری:

D_induced = (0.196)^2 / (pi × 0.8 × 6.7 × 30 × 0.015)
D_induced ≈ 0.005 N

درگ کل

D_total = D_parasitic + D_induced
D_total = 0.018 + 0.005
D_total ≈ 0.023 N

توان آیرودینامیکی لازم

P_aero = D_total × v

پس:

P_aero = 0.023 × 7
P_aero ≈ 0.16 W

این فقط توان لازم برای غلبه بر درگ هواست.
اگر توان متابولیک پایه و هزینه عضلانی بال‌زدن را هم اضافه کنیم، می‌توان برای کل پرواز افقی مقدار تقریبی زیر را در نظر گرفت:

P_total_horizontal ≈ 0.9 W

بنابراین انرژی مصرفی در 10 ثانیه پرواز افقی برابر است با:

E_horizontal = P_total_horizontal × t
E_horizontal = 0.9 × 10
E_horizontal ≈ 9 J

2) چرا عدد 35 وات برای پرواز موجی قابل قبول نیست؟

در محاسبه قبلی از رابطه زیر استفاده شده بود:

P_maneuver = C_m × A × f × v

اما این رابطه از نظر ابعادی مشکل دارد.
زیرا:

• \(A\) واحد متر دارد،


• \(f\) واحد 1/ثانیه دارد،


• \(v\) واحد متر بر ثانیه دارد.

در نتیجه حاصل‌ضرب آنها واحد زیر را می‌دهد:

m × (1/s) × (m/s) = m^2/s^2

در حالی که توان باید واحد وات داشته باشد:

W = kg m^2/s^3

پس این رابطه به تنهایی نمی‌تواند فرمول درست توان باشد، مگر آنکه یک ضریب با بُعد مناسب به آن اضافه شود.
بنابراین عدد 35 وات از نظر فیزیکی معتبر نیست.

3) تحلیل درست‌تر پرواز موجی

اگر پرنده در راستای عمودی به صورت موجی حرکت کند، می‌توان مسیر عمودی را به شکل سینوسی نوشت:

y(t) = A sin(2 pi f t)

در این صورت سرعت عمودی برابر است با:

v_y(t) = 2 pi f A cos(2 pi f t)

و شتاب عمودی برابر است با:

a_y(t) = - (2 pi f)^2 A sin(2 pi f t)

اگر فرض کنیم:

A = 0.5 m
f = 2 Hz

بیشینه شتاب عمودی می‌شود:

a_max = (2 pi f)^2 A
a_max = (4 pi)^2 × 0.5
a_max ≈ 79 m/s^2

یعنی تقریباً:

a_max ≈ 8 g

این مقدار برای یک پرنده کوچک بسیار بزرگ است.
پس همین انتخاب دامنه 0.5 متر و فرکانس 2 هرتز احتمالاً غیرواقعی است.

4) نکته مهم درباره انرژی در پرواز موجی

در حرکت موجی، پرنده یک بار بالا می‌رود و یک بار پایین می‌آید.
بنابراین انرژی پتانسیل گرانشی که در مرحله صعود صرف می‌شود، در مرحله نزول تا حدی بازپس گرفته می‌شود.

در نتیجه، اگر اتلاف وجود نداشته باشد، میانگین توان مربوط به بالا و پایین رفتن در یک سیکل کامل صفر می‌شود.

پس هزینه واقعی پرواز موجی بیشتر از این عوامل ناشی می‌شود:

• افزایش درگ به علت وجود سرعت عمودی،


• تغییرات مداوم در نیروی برا،


• اتلاف‌های آیرودینامیکی در مانور،


• بازده کمتر عضلات در حالت مانوری.

بنابراین پرواز موجی واقعاً می‌تواند پرهزینه‌تر از پرواز افقی باشد،
اما نه به شکلی که توان لازم ناگهان به 35 وات برسد.

5) نتیجه‌گیری

برای پرنده‌ای با جرم حدود 20 گرم و سرعت حدود 7 متر بر ثانیه:

• توان کل پرواز افقی در حد تقریبی 1 وات است،


• انرژی مصرفی در 10 ثانیه پرواز افقی در حد 9 ژول است،


• عدد 35 وات برای مانور موجی به دلیل نادرستی فرمول، قابل اعتماد نیست،


• پرواز موجی احتمالاً از پرواز افقی پرهزینه‌تر است، اما افزایش هزینه باید با یک مدل آیرودینامیکی درست محاسبه شود.

پس نتیجه درست این است که:

پرواز موجی می‌تواند انرژی بیشتری نسبت به پرواز افقی مصرف کند، اما اختلاف آن احتمالاً بسیار کمتر از 30 برابر است.

جمع‌بندی نهایی

پرواز افقی ساده را می‌توان با مدل درگ و توان به صورت نسبتاً قابل قبول تخمین زد.
اما برای پرواز موجی، استفاده از یک رابطه تجربی یا دلخواه بدون سازگاری ابعادی، به نتایج غیرواقعی منجر می‌شود.
بنابراین اگر بخواهیم مقایسه‌ای علمی انجام دهیم، باید هزینه پرواز موجی را از طریق افزایش درگ، تغییرات سرعت عمودی و اتلاف‌های آیرودینامیکی محاسبه کنیم، نه با یک فرمول ساده و بی‌بعد.