ریاضیات

ریشه دوم ماتریس ۳×۳ — یک مثال ساده و یک مثال کمی پیشرفته‌تر

گاهی می‌خواهیم ماتریسی پیدا کنیم که اگر در خودش ضرب شود، یک ماتریس داده‌شده را بسازد.
اگر

X^2 = A

آنگاه می‌گوییم \(X\) یک ریشه دوم ماتریس \(A\) است.

مثال اول: ماتریس قطری

فرض کنید:

A = [[1,0,0],
[0,4,0],
[0,0,9]]

چون این ماتریس قطری است، کار بسیار ساده می‌شود.
فقط کافی است از درایه‌های روی قطر اصلی ریشه دوم بگیریم:

sqrt(A) = [[sqrt(1), 0, 0],
[0, sqrt(4), 0],
[0, 0, sqrt(9)]]

پس:

sqrt(A) = [[1,0,0],
[0,2,0],
[0,0,3]]

اگر این ماتریس را \(X\) بنامیم، داریم:

X = [[1,0,0],
[0,2,0],
[0,0,3]]

حالا مربع آن را حساب می‌کنیم:

X^2 = [[1,0,0],
[0,2,0],
[0,0,3]]
[[1,0,0],
[0,2,0],
[0,0,3]]

و نتیجه:

X^2 = [[1,0,0],
[0,4,0],
[0,0,9]]
= A

پس ریشه دوم این ماتریس برابر است با:

sqrt(A) = [[1,0,0],
[0,2,0],
[0,0,3]]

مثال دوم: ماتریس غیردیagonal

حال ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

A = [[5,4,0],
[4,5,0],
[0,0,1]]

این ماتریس دیگر قطری نیست، پس نمی‌توانیم مستقیماً از درایه‌ها ریشه بگیریم.
در این حالت از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه استفاده می‌کنیم.

گام اول: پیدا کردن مقادیر ویژه

برای این ماتریس، مقادیر ویژه برابرند با:

lambda_1 = 9
lambda_2 = 1
lambda_3 = 1

گام دوم: بردارهای ویژه

بردارهای ویژه متناظر را می‌توان به صورت زیر گرفت:

v1 = [1, 1, 0]^T
v2 = [1,-1, 0]^T
v3 = [0, 0, 1]^T

گام سوم: تشکیل ماتریس‌های \(P\) و \(D\)

ماتریس \(P\) را از ستون‌های بردارهای ویژه می‌سازیم:

P = [[1, 1, 0],
[1,-1, 0],
[0, 0, 1]]

و ماتریس قطری \(D\) از مقادیر ویژه تشکیل می‌شود:

D = [[9,0,0],
[0,1,0],
[0,0,1]]

در نتیجه:

A = P D P^(-1)

گام چهارم: ریشه دوم \(D\)

حالا از مقادیر روی قطر \(D\) ریشه دوم می‌گیریم:

sqrt(D) = [[3,0,0],
[0,1,0],
[0,0,1]]

گام پنجم: ساختن ریشه دوم ماتریس

فرمول کلی:

sqrt(A) = P sqrt(D) P^(-1)

با انجام ضرب‌ها، به دست می‌آید:

sqrt(A) = [[2,1,0],
[1,2,0],
[0,0,1]]

بررسی جواب

اکنون مربع این ماتریس را حساب می‌کنیم:

X = [[2,1,0],
[1,2,0],
[0,0,1]]

پس:

X^2 = [[2,1,0],
[1,2,0],
[0,0,1]]
[[2,1,0],
[1,2,0],
[0,0,1]]

حاصل ضرب:

X^2 = [[5,4,0],
[4,5,0],
[0,0,1]]
= A

پس واقعاً:

sqrt(A) = [[2,1,0],
[1,2,0],
[0,0,1]]

جمع‌بندی

اگر ماتریس قطری باشد، پیدا کردن ریشه دوم آن خیلی ساده است و فقط از درایه‌های قطر ریشه می‌گیریم.
اما اگر ماتریس قطری نباشد، معمولاً از روش قطری‌سازی استفاده می‌کنیم:

A = P D P^(-1)

و سپس:

sqrt(A) = P sqrt(D) P^(-1)

به شرطی که مقادیر ویژه مناسب باشند و ماتریس قابل قطری‌سازی باشد.

کد پایتون

```python
import numpy as np
from scipy.linalg import sqrtm

A = np.array([[5, 4, 0],
[4, 5, 0],
[0, 0, 1]])

X = sqrtm(A)
print(X)
```

خروجی:

```python
[[2. 1. 0.]
[1. 2. 0.]
[0. 0. 1.]]
```