ریاضیات

چند مثال متنوع از ضرب داخلی چهاربردار (با جواب عددی)

قرارداد ثابت در همه مثال‌ها

متریک مینکوفسکی:

η = diag(1, -1, -1, -1)

پس برای هر دو چهاربردار:

A·B = A0B0 - A1B1 - A2B2 - A3B3

مثال ۱) دو بردار ساده (فقط x)

A = (5, 4, 0, 0), B = (3, 1, 0, 0)

A·B = 5×3 - 4×1 = 15 - 4 = 11

مثال ۲) شامل y و z هم باشد

A = (2, 1, 2, 1)

B = (4, 3, -1, 2)

محاسبه:

A·B = 2×4 - 1×3 - 2×(-1) - 1×2

A·B = 8 - 3 + 2 - 2 = 5

مثال ۳) ضرب داخلی یک بردار با خودش (تشخیص زمان‌مانند/فضامانند)

A = (3, 4, 0, 0)

A·A = 3² - 4² = 9 - 16 = -7

چون منفی شد، این بردار فضامانند (spacelike) است.

مثال ۴) مثال نورمانند (A·A = 0)

K = (5, 5, 0, 0)

K·K = 5² - 5² = 0

پس نورمانند (null/lightlike) است (مثل چهاربردار فوتون).

مثال ۵) چهارتکانه و ناوردای جرم (c=1)

در واحدهای طبیعی c=1:

P = (E, px, py, pz)

فرض کنید:

P = (10, 6, 0, 0)

آنگاه:

P·P = E² - p² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

پس:

m = √(P·P) = 8

یعنی این ذره جرم سکون 8 (در همین واحدها) دارد.

مثال ۶) چهارسرعت (c=1) و اینکه U·U = 1

فرض کنید ذره با سرعت v=0.6 (در راستای x) حرکت می‌کند.

پس:

γ = 1/√(1-0.6²) = 1.25

چهارسرعت در واحد c=1:

U = (γ, γv, 0, 0) = (1.25, 0.75, 0, 0)

حالا:

U·U = 1.25² - 0.75² = 1.5625 - 0.5625 = 1

پس همان نتیجهٔ مهم:

U·U = 1 (یا اگر c را نگه داریم: U·U = c²)

اگر بگویی «مثال‌ها» را برای کدام موضوع می‌خواهی، دقیق‌تر همان‌ها را می‌سازم:

• فقط برای تمرین ضرب داخلی؟


• یا همراه با تبدیل لورنتس و چک ناوردایی؟


• یا مثال‌های ذرات (چهارتکانه، واپاشی، آستانه، فوتون)؟