ریاضیات

مثال کامل‌تر: تبدیل لورنتس + ثابت‌بودن ضرب داخلی (A·B)

فرض مسئله

در چارچوب S دو چهاربردار داریم (فقط مؤلفه‌های 0 و 1 غیرصفرند):

Aμ = (5, 4, 0, 0)

Bμ = (3, 1, 0, 0)

قرارداد متریک:

η = diag(1, -1, -1, -1)

و یک بوست در راستای x با:

β = 0.6 → γ = 1/√(1-β²) = 1/0.8 = 1.25

۱) ضرب داخلی در S

A · B = A0B0 - A1B1

A · B = 5×3 - 4×1 = 15 - 4 = 11

پس در چارچوب S داریم:

A · B = 11

۲) تبدیل لورنتس مؤلفه‌ای برای چهاربردار

برای هر چهاربردار V در بوست راستای x:

V'0 = γ (V0 - β V1)

V'1 = γ (V1 - β V0)

(و مؤلفه‌های 2 و 3 تغییر نمی‌کنند.)

۳) تبدیل A به چارچوب S'

A'0 = 1.25 (5 - 0.6×4) = 1.25 (5 - 2.4) = 1.25×2.6 = 3.25

A'1 = 1.25 (4 - 0.6×5) = 1.25 (4 - 3) = 1.25×1 = 1.25

پس:

A'μ = (3.25, 1.25, 0, 0)

۴) تبدیل B به چارچوب S'

B'0 = 1.25 (3 - 0.6×1) = 1.25 (3 - 0.6) = 1.25×2.4 = 3

B'1 = 1.25 (1 - 0.6×3) = 1.25 (1 - 1.8) = 1.25×(-0.8) = -1

پس:

B'μ = (3, -1, 0, 0)

۵) ضرب داخلی در S' (چک ناوردایی)

حالا در چارچوب S':

A' · B' = A'0B'0 - A'1B'1

جایگذاری:

A' · B' = (3.25)(3) - (1.25)(-1) = 9.75 + 1.25 = 11

پس:

A' · B' = 11

نتیجه نهایی

در این مثال دیدیم:

• در S: A·B = 11


• در S': A'·B' = 11

یعنی ضرب داخلی دو چهاربردار یک اسکالر لورنتسی (ناوردا) است و با تغییر چارچوب لَخت عوض نمی‌شود.