ریاضیات

مثال عددی از ضرب داخلی چهاربردار

دو چهاربردار را در چارچوب S در نظر بگیرید:

Aμ = (5, 4, 0, 0)

Bμ = (3, 1, 0, 0)

با قرارداد متریک مینکوفسکی:

η = diag(1, -1, -1, -1)

پس ضرب داخلی آن‌ها برابر است با:

A · B = A0B0 - A1B1 - A2B2 - A3B3

جایگذاری می‌کنیم:

A · B = 5×3 - 4×1 = 15 - 4 = 11

پس:

A · B = 11

همان مثال با پایین آوردن اندیس

ابتدا اندیس بردار A را پایین می‌آوریم:

Aμ = (5, -4, 0, 0)

حالا:

A · B = AμBμ

یعنی:

A · B = 5×3 + (-4)×1 = 15 - 4 = 11

باز هم همان نتیجه به‌دست آمد.

نتیجه

در این مثال، ضرب داخلی دو چهاربردار برابر 11 شد، و این مقدار یک اسکالر ناوردا است؛ یعنی اگر به چارچوب لخت دیگری برویم، مقدارش عوض نمی‌شود.

نسخه خیلی کوتاه برای خودِ پست:

Aμ = (5,4,0,0), Bμ = (3,1,0,0)

A·B = 5×3 - 4×1 = 11

پس:

A·B = 11

اگر بخواهی، در پیام بعدی یک مثال کامل‌تر می‌زنم که:

• هم تبدیل لورنتس انجام شود،
• هم نشان دهیم قبل و بعد از تبدیل، A·B ثابت می‌ماند.