ریاضیات

ضرب داخلی (Inner Product) چهاربردار در نسبیت خاص — مناسب بلاگفا

۱) تعریف ضرب داخلی در فضای مینکوفسکی

برخلاف فضای اقلیدسی، در نسبیت خاص ضرب داخلی با متریک مینکوفسکی تعریف می‌شود. با قرارداد رایج:

ημν = diag(1, -1, -1, -1)

اگر دو چهاربردار داشته باشیم:

Aμ = (A0, A1, A2, A3)

Bμ = (B0, B1, B2, B3)

ضرب داخلی (اسکالر لورنتسی) آن‌ها این است:

A · B = ημν Aμ Bν

که در این قرارداد به صورت مؤلفه‌ای می‌شود:

A · B = A0B0 - A1B1 - A2B2 - A3B3

این کمیت یک ناوردا است (در همه چارچوب‌های لَخت یک مقدار می‌دهد).

۲) راه خیلی ساده‌تر: پایین آوردن اندیس

اول اندیس یکی از بردارها را پایین می‌آوریم:

Aμ = ημν Aν = (A0, -A1, -A2, -A3)

بعد ضرب داخلی فقط می‌شود:

A · B = Aμ Bμ = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3

دقت کنید علامت‌های منفی «داخلِ Aμ» نشسته‌اند.

۳) مثال عددی سریع

فرض کنید:

• Aμ = (2, 1, 0, 0)
• Bμ = (5, 3, 0, 0)

پس:

A · B = 2×5 - 1×3 = 10 - 3 = 7

۴) مربع طول یک چهاربردار (Self-inner product)

اگر A=B، داریم:

A · A = AμAμ = (A0)² - (A1)² - (A2)² - (A3)²

این کمیت (با همین قرارداد علامت‌ها) می‌تواند:

• مثبت باشد → بردار زمان‌مانند (timelike)
• صفر باشد → بردار نورمانند (lightlike/null)
• منفی باشد → بردار فضامانند (spacelike)

۵) دو کاربرد خیلی مهم در فیزیک

الف) چهارسرعت U

برای ذرهٔ مادی:

Uμ = (γc, γvx, γvy, γvz)

و همیشه:

U · U = UμUμ = c²

ب) چهارتکانه P

چهارتکانه:

Pμ = (E/c, px, py, pz)

و ناوردای مشهور انرژی-تکانه:

P · P = PμPμ = (E/c)² - p² = m²c²

که در آن:

p² = px² + py² + pz²

۶) نکتهٔ مهم (قرارداد علامت‌ها)

بعضی کتاب‌ها برعکسِ این قرارداد را می‌گیرند:

η = diag(-1, +1, +1, +1)

در آن صورت علامت‌های ضرب داخلی عوض می‌شود. ولی فیزیک یکی است؛ فقط باید در کل متن یک‌دست بمانید.

اگر دوست داری، برای بلاگفا یک مثال «کامل‌تر» هم می‌نویسم که در آن:

• یک چهاربردار را به چارچوب دیگر تبدیل کنیم،
• بعد نشان بدهیم مقدار A·B قبل و بعد دقیقاً یکی است.