ریاضیات

تبدیل لورنتس بدون ماتریس (متن‌محور و مناسب بلاگفا) + مثال عددی

چون بلاگفا معمولاً نمایش ماتریس‌ها را به‌هم می‌ریزد، همان内容 را کاملاً بدون ماتریس و با فرمول‌های خطی می‌نویسم.

۱) تبدیل لورنتس (Boost در راستای x)

دو چارچوب لَخت داریم: S و S'.

فرض کنید S' با سرعت v در راستای +x نسبت به S حرکت می‌کند.

تعریف می‌کنیم:

β = v/c , γ = 1 / √(1-β²)

تبدیل لورنتس برای مختصات (فقط راستای x):

x' = γ (x - v t)

t' = γ (t - v x / c²)

و در راستاهای دیگر:

y' = y , z' = z

اگر c=1 بگیریم (واحد نسبیتی)، این دو رابطه ساده‌تر می‌شوند:

x' = γ (x - β t)

t' = γ (t - β x)

۲) مثال عددی گام‌به‌گام (چهارمکان)

فرض کنید در چارچوب S یک رویداد این مختصات را دارد:

• t = 10
• x = 6
• y = 0
• z = 0

و سرعت نسبی دو چارچوب:

β = 0.6 → γ = 1/√(1-0.36) = 1/0.8 = 1.25

حالا تبدیل می‌دهیم:

محاسبه x':

x' = γ (x - β t) = 1.25 (6 - 0.6×10) = 1.25 (6 - 6) = 0

محاسبه t':

t' = γ (t - β x) = 1.25 (10 - 0.6×6) = 1.25 (10 - 3.6) = 1.25×6.4 = 8

پس در چارچوب S':

• t' = 8
• x' = 0
• y' = 0
• z' = 0

۳) چک ناوردایی فاصله-زمان (بدون ماتریس)

با قرارداد متریک مینکوفسکی (+,-,-,-)، فاصله-زمان:

s² = c² t² - x² - y² - z²

اگر c=1:

s² = t² - x² - y² - z²

در چارچوب S:

s² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

در چارچوب S':

s'² = 8² - 0² = 64

پس:

s'² = s²

یعنی فاصله-زمان ناوردا است.

۴) تبدیل لورنتس برای چهاربردارها (بدون ماتریس)

اگر یک چهاربردار هموردا داشته باشیم:

Vμ = (V0, V1, V2, V3)

در Boost راستای x:

V'0 = γ (V0 - β V1)

V'1 = γ (V1 - β V0)

V'2 = V2

V'3 = V3

(همان محتوای ماتریسی است، فقط به شکل مؤلفه‌ای نوشته شده.)

۵) مثال عددی برای چهارتکانه (بدون ماتریس)

در واحد c=1، چهارتکانه را می‌نویسیم:

Pμ = (E, px, py, pz)

فرض کنید در S:

• E = 10
• px = 8
• py = 0
• pz = 0

با همان β=0.6 و γ=1.25:

انرژی در چارچوب جدید:

E' = P'^0 = γ (E - β px) = 1.25 (10 - 0.6×8) = 6.5

تکانه x در چارچوب جدید:

p'x = P'^1 = γ (px - β E) = 1.25 (8 - 0.6×10) = 2.5

پس:

• E' = 6.5
• p'x = 2.5

جرم ناوردا (بررسی):

m² = E² - p²

اینجا:

m² = 10² - 8² = 36

و در چارچوب جدید:

m² = (6.5)² - (2.5)² = 42.25 - 6.25 = 36

پس جرم ناوردا ثابت می‌ماند.

اگر می‌خواهی دقیقاً با قالب بلاگفا هماهنگ‌تر شود:

بگو «فرمول‌ها را با چه مدلی بهتر می‌بینی؟» یکی از این‌ها را انتخاب کن تا همان را یک‌دست کنم:

• ۱) فقط متن ساده (بدون
  و بدون خط‌های لاتک)
• ۲) همین مدل (HTML + خط‌های لاتین در جهت چپ)
• ۳) فرمول‌ها به صورت عکس (اگر خودت در بلاگفا عکس فرمول می‌گذاری)