ریاضیات

تبدیل لورنتس با ماتریس + مثال عددی گام‌به‌گام — مناسب برای بلاگفا

در این پست می‌خواهیم تبدیل لورنتس را به زبان ماتریسی بنویسیم و بعد با یک مثال عددی ببینیم چطور یک چهاربردار از یک چارچوب به چارچوب دیگر می‌رود.

۱) ایده اصلی

در نسبیت خاص، وقتی از یک چارچوب لَخت به چارچوب لَخت دیگری می‌رویم، مختصات و چهاربردارها با یک تبدیل خطی عوض می‌شوند که به آن تبدیل لورنتس می‌گوییم.

اگر یک چهاربردار هموردا داشته باشیم:

Vμ =
\[
\begin{pmatrix}
V^0\\
V^1\\
V^2\\
V^3
\end{pmatrix}
\]

آنگاه در چارچوب جدید:

V'μ = \Lambdaμν Vν

یا به‌صورت ماتریسی:

\[
\begin{pmatrix}
V'^0\\
V'^1\\
V'^2\\
V'^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V^0\\
V^1\\
V^2\\
V^3
\end{pmatrix}
\]

که این ماتریس مربوط به Boost در راستای x است.

۲) تعریف β و γ

اگر چارچوب S' با سرعت v در راستای x نسبت به S حرکت کند، داریم:

\[
\beta = \frac{v}{c}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]

۳) شکل صریح مؤلفه‌ها

اگر ماتریس بالا را در بردار ضرب کنیم، به روابط آشنا می‌رسیم:

\[
V'^0 = \gamma(V^0 - \beta V^1)
\]
\[
V'^1 = \gamma(V^1 - \beta V^0)
\]
\[
V'^2 = V^2
\]
\[
V'^3 = V^3
\]

یعنی در Boost راستای x فقط مؤلفه‌های زمانی و x با هم مخلوط می‌شوند.

۴) مثال عددی اول: چهارمکان

چهارمکان یک رویداد را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

\[
x^\mu = (ct,\; x,\; y,\; z)
\]

برای راحتی واحدهایی می‌گیریم که c=1. پس:

\[
x^\mu = (t,\; x,\; y,\; z)
\]

فرض کنید در چارچوب S داریم:

\[
x^\mu =
\begin{pmatrix}
10\\
6\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

و سرعت نسبی بین دو چارچوب:

\[
\beta = 0.6
\]

پس:

\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0.6^2}}=\frac{1}{\sqrt{0.64}}=1.25
\]

۵) ساخت ماتریس لورنتس

برای این مقدار از \beta و \gamma، ماتریس لورنتس می‌شود:

\[
\Lambda =
\begin{pmatrix}
1.25 & -0.75 & 0 & 0\\
-0.75 & 1.25 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]

چون:

\[
\beta\gamma = 0.6 \times 1.25 = 0.75
\]

۶) ضرب ماتریسی گام‌به‌گام

حالا می‌خواهیم حساب کنیم:

\[
x'^\mu = \Lambda x^\mu
\]

یعنی:

\[
\begin{pmatrix}
x'^0\\
x'^1\\
x'^2\\
x'^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1.25 & -0.75 & 0 & 0\\
-0.75 & 1.25 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10\\
6\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

حالا سطر به سطر ضرب می‌کنیم:

سطر اول:

\[
x'^0 = (1.25)(10) + (-0.75)(6) = 12.5 - 4.5 = 8
\]

سطر دوم:

\[
x'^1 = (-0.75)(10) + (1.25)(6) = -7.5 + 7.5 = 0
\]

سطر سوم:

\[
x'^2 = 0
\]

سطر چهارم:

\[
x'^3 = 0
\]

پس جواب نهایی:

\[
x'^\mu =
\begin{pmatrix}
8\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

۷) تفسیر فیزیکی این نتیجه

در چارچوب اول، رویداد در مختصات (t,x)=(10,6) بود، اما در چارچوب دوم به صورت (8,0) دیده شد.

یعنی ناظر دوم این رویداد را دقیقاً روی مبدأ مکانی خودش دیده است، ولی در زمان متفاوت.

این همان چیزی است که از اختلاط زمان و مکان در نسبیت انتظار داریم.

۸) بررسی ناوردایی با ماتریس متریک

در نسبیت خاص، کمیت زیر باید ثابت بماند:

\[
x^\mu x_\mu = x^T \eta x
\]

که در آن:

\[
\eta =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\]

برای بردار اولیه:

\[
x^\mu x_\mu = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64
\]

برای بردار نهایی:

\[
x'^\mu x'_\mu = 8^2 - 0^2 = 64
\]

پس کمیت ناوردا حفظ شده است.

۹) مثال دوم: چهارتکانه با ماتریس

حالا دقیقاً همین روش را برای چهارتکانه انجام می‌دهیم.

فرض کنید:

\[
P^\mu =
\begin{pmatrix}
10\\
8\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

آنگاه:

\[
P'^\mu = \Lambda P^\mu
\]

یعنی:

\[
\begin{pmatrix}
P'^0\\
P'^1\\
P'^2\\
P'^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1.25 & -0.75 & 0 & 0\\
-0.75 & 1.25 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
10\\
8\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

حساب می‌کنیم:

\[
P'^0 = 1.25(10) - 0.75(8) = 12.5 - 6 = 6.5
\]
\[
P'^1 = -0.75(10) + 1.25(8) = -7.5 + 10 = 2.5
\]

پس:

\[
P'^\mu =
\begin{pmatrix}
6.5\\
2.5\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

و جرم ناوردا:

\[
P^\mu P_\mu = 10^2 - 8^2 = 36
\]
\[
P'^\mu P'_\mu = 6.5^2 - 2.5^2 = 42.25 - 6.25 = 36
\]

باز هم ثابت ماند.

۱۰) یک رابطه خیلی مهم ماتریسی

تمام دلیل اینکه کمیت‌های ناوردا ثابت می‌مانند، این است که ماتریس لورنتس شرط زیر را ارضا می‌کند:

\[
\Lambda^T \eta \Lambda = \eta
\]

این معادله یعنی تبدیل لورنتس متریک مینکوفسکی را حفظ می‌کند.

به زبان ساده:
لورنتس تبدیل‌هایی هستند که فاصله-زمان را تغییر نمی‌دهند.

جمع‌بندی نهایی

• هر چهاربردار هموردا با رابطه V'^\mu=\Lambda^\mu_{\ \nu}V^\nu تبدیل می‌شود.


• برای Boost در راستای x فقط مؤلفه‌های زمانی و x با هم ترکیب می‌شوند.


• ضرب ماتریسی، همان فرمول‌های معمول تبدیل لورنتس را تولید می‌کند.


• کمیت‌هایی مثل x^\mu x_\mu و P^\mu P_\mu ناوردا هستند.


• علت اصلی ناوردایی این است که \Lambda^T \eta \Lambda = \eta.

اگر بخواهی، در پیام بعدی برای بلاگفا یکی از این‌ها را هم آماده می‌کنم:

• چهارسرعت و ناوردایی آن


• رپیدیتی و سرعت ویژه


• بردار کوواریانت و پایین‌آوردن اندیس با مثال عددی