ریاضیات

بردار هموردا و کوواریانت (بالا/پایین اندیس) + مثال عددی — مناسب برای بلاگفا

۱) اول یک نکته مهم درباره واژه‌ها

در نسبیت (و کلاً فیزیک ریاضی) سه اصطلاح را قاطی نکنیم:

• هموردا (Contravariant): مؤلفه‌ها با اندیس بالا نوشته می‌شوند: Vμ


• کوواریانت (Covariant): مؤلفه‌ها با اندیس پایین نوشته می‌شوند: Vμ


• ناوردا (Invariant): کمیتی که تحت تبدیل لورنتس ثابت می‌ماند، مثل VμVμ

۲) متریک مینکوفسکی (برای بالا/پایین بردن اندیس)

برای اینکه از هموردا به کوواریانت برویم (یا برعکس)، از متریک استفاده می‌کنیم. من این قرارداد رایج را می‌گیرم:

ημν = diag(1, -1, -1, -1)

پس اگر:

Vμ = (V0, V1, V2, V3)

آنگاه:

Vμ = ημν Vν = (V0, -V1, -V2, -V3)

یعنی با این قرارداد: مؤلفه زمانی ثابت می‌ماند و مؤلفه‌های مکانی علامتشان عوض می‌شود.

۳) تبدیل لورنتس برای حرکت در راستای x (Boost)

اگر چارچوب S' با سرعت v در راستای x نسبت به S حرکت کند، تعریف می‌کنیم:

β = v/c , γ = 1 / √(1-β²)

برای هر چهاربردار هموردا:

V'μ = Λμν Vν

که در این Boost (در راستای x) یعنی:

V'0 = γ (V0 - β V1)
V'1 = γ (V1 - β V0)
V'2 = V2
V'3 = V3

برای بردار کوواریانت تبدیل با معکوس انجام می‌شود، ولی راه ساده این است:

اول V'μ را حساب کن، بعد اندیس را پایین بیاور و V'μ را بساز.

۴) مثال کامل و عددی (چهارمکان)

چهارمکان یک رویداد:

xμ = (ct, x, y, z)

برای سادگی واحدهایی می‌گیریم که c=1، پس x0=t.

فرض کنید در چارچوب S رویداد:

xμ = (10, 6, 0, 0)

و سرعت نسبی:

β = 0.6 → γ = 1/√(1-0.36) = 1.25

تبدیل هموردا:

x'0 = 1.25(10 - 0.6×6) = 1.25(6.4) = 8
x'1 = 1.25(6 - 0.6×10) = 1.25(0) = 0

پس:

x'μ = (8, 0, 0, 0)

کوواریانتِ همان بردار:

xμ = (10, -6, 0, 0)
x'μ = (8, 0, 0, 0)

۵) چک ناوردایی (Invariant) فاصله-زمان

کمیت زیر ناوردا است:

s² = xμ xμ

در چارچوب S:

xμxμ = 10×10 + 6×(-6) = 100 - 36 = 64

در چارچوب S':

x'μx'μ = 8×8 + 0 = 64

نتیجه: مقدار xμxμ در هر دو چارچوب یکی است؛ یعنی ناورداست.

۶) مثال دوم (چهارتکانه) + جرم ناوردا

چهارتکانه:

Pμ = (E, px, py, pz) (با c=1)

فرض کنید:

Pμ = (10, 8, 0, 0)

پس:

Pμ = (10, -8, 0, 0)

کمیت ناوردای جرم:

m² = PμPμ = 10² - 8² = 36 → m = 6

حالا به همان چارچوب با β=0.6 برویم:

P'0 = 1.25(10 - 0.6×8) = 6.5
P'1 = 1.25(8 - 0.6×10)= 2.5

پس:

P'μ = (6.5, 2.5, 0, 0)
P'μ = (6.5, -2.5, 0, 0)

و دوباره:

P'μP'μ = 6.5² - 2.5² = 42.25 - 6.25 = 36

پس m ثابت ماند.

جمع‌بندی خیلی کوتاه

• هموردا: Vμ و تبدیلش با Λ


• کوواریانت: Vμ که با متریک از روی هموردا ساخته می‌شود


• ناوردا: چیزهایی مثل VμVμ (عدد ثابت در همه چارچوب‌ها)

اگر دوست داری، در قالب بلاگفا یک پست جدا هم می‌نویسم که فقط «ماتریس لورنتس» را با مثال عددی (گام‌به‌گام) توضیح بدهد.