ریاضیات

مثال‌های واپاشی دو/سه‌ذره‌ای با محاسبهٔ انرژی‌ها در «چارچوب مرکز جرم / سکون ذرهٔ مادر»

فرمول‌های طلایی (برای استفاده در همه مثال‌ها)

فرض کنید ذرهٔ مادر A در چارچوب سکون خودش (همان مرکز جرمِ واپاشی) واپاشی کند.

A → 1 + 2

در چارچوب سکون A داریم:

E1 = (m_A^2 + m_1^2 - m_2^2) c^2 / (2 m_A)
E2 = (m_A^2 + m_2^2 - m_1^2) c^2 / (2 m_A)

و اندازهٔ تکانه‌ها برابر است:

|p1| = |p2| = √(E1^2/c^2 - m_1^2 c^2) = √(E2^2/c^2 - m_2^2 c^2)

در واحدهای رایج ذره‌ای (c=1):

E1 = (m_A^2 + m_1^2 - m_2^2)/(2m_A)
E2 = (m_A^2 + m_2^2 - m_1^2)/(2m_A)
p = √(E1^2 - m_1^2) = √(E2^2 - m_2^2)

برای واپاشی سه‌ذره‌ای:

A → 1 + 2 + 3

در مرکز جرم، انرژی‌ها «تک‌مقداری ثابت» نیستند و یک بازه دارند؛ اما در حالت‌های خاص (مثلاً هر سه ذره بی‌جرم، یا دو ذره را به صورت یک «سیستم مؤثر» جمع کنیم) می‌توان مقدار/بازه را دقیق حساب کرد.

مثال ۱) واپاشی دوذره‌ای: π⁰ → γ + γ (دو فوتون)

می‌دانیم:

m_{π0} c^2 ≈ 135 MeV
m_γ = 0

در چارچوب سکون π⁰، دو فوتون باید پشت‌به‌پشت باشند و چون جرمشان صفر است، انرژی‌ها برابر می‌شوند:

E_γ = (m_{π0} c^2)/2 ≈ 67.5 MeV

تکانهٔ هر فوتون:

p_γ = E_γ/c → (با c=1: p_γ = E_γ)

نتیجه: در مرکز جرم π⁰ هر فوتون انرژی 67.5 MeV دارد.

مثال ۲) واپاشی دوذره‌ای با جرم‌های متفاوت: K⁺ → μ⁺ + ν_μ

(برای ساده‌سازی، جرم نوترینو را صفر می‌گیریم.)

جرم‌ها:

m_K c^2 ≈ 493.7 MeV
m_μ c^2 ≈ 105.7 MeV
m_ν ≈ 0

در چارچوب سکون K:

E_μ = (m_K^2 + m_μ^2 - m_ν^2)/(2m_K)
= (m_K^2 + m_μ^2)/(2m_K)

عددگذاری:

m_K^2 ≈ 493.7^2 ≈ 243,740
m_μ^2 ≈ 105.7^2 ≈ 11,170
جمع ≈ 254,910
2m_K ≈ 987.4

پس:

E_μ ≈ 254,910 / 987.4 ≈ 258.2 MeV

انرژی نوترینو:

E_ν = (m_K^2 - m_μ^2)/(2m_K)
≈ (243,740 - 11,170)/987.4
≈ 232,570 / 987.4
≈ 235.6 MeV

تکانه‌ها (در c=1):

p = √(E_μ^2 - m_μ^2)
≈ √(258.2^2 - 105.7^2)
≈ √(66,670 - 11,170)
≈ √55,500
≈ 235.6 MeV

نتیجه:

در مرکز جرم K، میون انرژی حدود 258 MeV دارد و نوترینو حدود 236 MeV، و اندازهٔ تکانهٔ هر دو یکسان است.

مثال ۳) واپاشی دوذره‌ای معروف: Z⁰ → e⁺ + e⁻

جرم Z:

m_Z c^2 ≈ 91.19 GeV

جرم الکترون در مقیاس GeV ناچیز است:

m_e c^2 ≈ 0.000511 GeV (قابل صرف‌نظر)

پس تقریباً:

E_{e+} ≈ E_{e-} ≈ m_Z/2 ≈ 45.6 GeV
p ≈ E (چون m خیلی کوچک است)

نتیجه: در مرکز جرم Z، هرکدام از e⁺ و e⁻ تقریباً 45.6 GeV انرژی دارند.

مثال ۴) واپاشی سه‌ذره‌ای: μ⁻ → e⁻ + ν̄_e + ν_μ (طیف انرژی الکترون)

این واپاشی سه‌جسمی است، پس انرژی e ثابت نیست و طیف دارد.

برای اینکه «صرفاً سینماتیکی» یک بازهٔ ممکن به دست آوریم (بدون دینامیک برهم‌کنش ضعیف)، جرم نوترینوها را صفر و جرم الکترون را هم (تقریباً) صفر می‌گیریم.

در چارچوب سکون میون:

m_μ c^2 ≈ 105.7 MeV

حداکثر انرژی الکترون زمانی است که دو نوترینو در یک جهت حرکت کنند و تکانهٔ مؤثرشان «تا حد ممکن» مخالف الکترون شود؛ نتیجهٔ سینماتیکی:

E_e,max ≈ (m_μ c^2)/2 ≈ 52.85 MeV

حداقل انرژی الکترون (در تقریب m_e≈0) می‌تواند به نزدیک صفر برسد:

E_e,min ≈ 0

پس:

0 ≤ E_e ≤ 52.85 MeV

نکته: اگر جرم الکترون را دقیق لحاظ کنیم، حداقل انرژی دقیقاً m_e c^2 است و سقف کمی تغییر می‌کند، ولی مرتبهٔ همان ~53 MeV می‌ماند.

مثال ۵) واپاشی سه‌ذره‌ای با «ذرهٔ مؤثر»: A → 1 + 2 + 3 و محاسبهٔ بازهٔ انرژی 1

یک تکنیک خیلی کاربردی: دو ذره را با هم به صورت یک سیستم مؤثر در نظر می‌گیریم:

X ≡ (2+3)
پس: A → 1 + X

در چارچوب سکون A، این مثل واپاشی دوذره‌ای است، با این تفاوت که m_X ثابت نیست و بین یک حداقل و حداکثر تغییر می‌کند.

اگر جرم‌ها را m_A, m_1, m_2, m_3 بگیریم، داریم:

E1 = (m_A^2 + m_1^2 - m_X^2)/(2m_A)

و بازهٔ ممکن برای جرم مؤثر X:

m_X,min = m_2 + m_3
m_X,max = m_A - m_1

پس انرژی 1 بین دو حد قرار می‌گیرد:

- وقتی m_X کمینه است، E1 بیشینه می‌شود:

E1,max = (m_A^2 + m_1^2 - (m_2+m_3)^2)/(2m_A)

- وقتی m_X بیشینه است، E1 کمینه می‌شود:

E1,min = (m_A^2 + m_1^2 - (m_A - m_1)^2)/(2m_A)

که دومی ساده می‌شود:

E1,min = m_1

(در واحد c=1) یعنی در چارچوب سکون A، کمترین انرژی ذرهٔ 1 همان انرژی سکون خودش است، وقتی تقریباً بی‌حرکت تولید شود.

یک عددگذاری کوچک برای جا افتادن:

فرض کنید:

m_A = 10
m_1 = 2
m_2 = 3
m_3 = 1 (همه در واحد GeV/c² و با c=1)

پس:

m_X,min = 3+1 = 4
→ E1,max = (10^2 + 2^2 - 4^2)/(2×10) = (100+4-16)/20 = 88/20 = 4.4 GeV

E1,min = m_1 = 2 GeV

نتیجه:

2 ≤ E1 ≤ 4.4 (GeV)

اگر بگویی دقیقاً کدام سبک را بیشتر می‌خواهی، ادامه می‌دهم:

• کاملاً عددی و واقعی (با جرم‌های π, K, μ, τ, Λ, …)


• مرحله‌به‌مرحله با چهارتکانه و استخراج فرمول‌ها


• تستی/چهارگزینه‌ای از همین واپاشی‌ها