ریاضیات

۵ مثالِ دیگر (متنوع‌تر و کمی عمیق‌تر) از ناوردایی چهارتکانه

مثال ۷) محاسبهٔ انرژی آستانه برای تولید ذرهٔ جدید (کاربرد مستقیمِ ناوردای s)

فرآیند:

p + p (at rest) → p + p + π⁰

یک پروتون در آزمایشگاه به پروتونِ ساکن برخورد می‌کند. می‌خواهیم «کمترین انرژی لازمِ پرتابه» را پیدا کنیم. ایده: کمیت ناوردا

s = (P₁ + P₂)·(P₁ + P₂)

در آستانه، در چارچوب مرکز جرم، محصولات «تا حد ممکن ساکن» هستند؛ بنابراین:

√s_threshold = (2m_p + m_π) c²

در چارچوب آزمایشگاه:
- پروتون هدف ساکن است: P₂ = (m_pc, 0)
- پروتون پرتابه: P₁ = (E/c, p)

پس:

s = (E + m_pc²)²/c²? (بهتر: با انرژی‌ها)
s c⁴ = (E + m_pc²)² - (pc)²

ولی چون برای پرتابه:

E² - (pc)² = m_p² c⁴

می‌گیریم:

s c⁴ = m_p²c⁴ + m_p²c⁴ + 2m_pc² E
= 2m_p²c⁴ + 2m_pc² E

در آستانه:

s_threshold c⁴ = (2m_p + m_π)² c⁴

پس:

2m_p²c⁴ + 2m_pc² E_th = (2m_p + m_π)² c⁴
→ E_th = [ (2m_p + m_π)² - 2m_p² ] c² / (2m_p)

عددگذاری (واحد MeV، با c=1):

m_p = 938 MeV
m_π0 = 135 MeV

(2m_p + m_π) = 2×938 + 135 = 2011 MeV
(2m_p + m_π)² = 2011² ≈ 4,044,121
2m_p² = 2×938² = 2×879,844 ≈ 1,759,688

E_th ≈ (4,044,121 - 1,759,688) / (2×938) MeV
≈ 2,284,433 / 1,876
≈ 1,217 MeV

نتیجه: انرژی کل پرتابه در آستانه حدود

E_th ≈ 1.22 GeV

است. (اگر «انرژی جنبشی» بخواهیم: K_th = E_th - m_p ≈ 279 MeV.)

مثال ۸) از ناوردای چهارتکانه، زاویهٔ برخورد هم مهم می‌شود (دو ذرهٔ پرانرژی با زاویه)

دو ذرهٔ بی‌جرم (مثلاً دو فوتون) با انرژی‌های زیر داریم:

E₁ = 3 MeV
E₂ = 5 MeV

و زاویه بین بردارهای تکانه‌شان θ است.

برای ذرات بی‌جرم:

|p| = E/c

جرم ناوردای سیستم:

M²c^4 = (P₁+P₂)² c⁴ = 2E₁E₂(1 - cosθ)

اگر روبه‌رو باشند θ=π:

1 - cosπ = 2
→ M²c^4 = 4E₁E₂
→ Mc² = 2√(E₁E₂) = 2√(15) ≈ 7.746 MeV

اگر هم‌جهت باشند θ=0:

1 - cos0 = 0
→ M = 0

نتیجه: حتی با انرژی‌های ثابت، فقط با تغییر زاویه، جرم ناوردای سیستم از ۰ تا یک مقدار بزرگ تغییر می‌کند.

مثال ۹) حداقل انرژی فوتون برای تولید زوج e⁺e⁻ کنار یک هسته (تقریب آستانه)

به طور ساده، شرط لازم (از دید انرژی) برای تولید زوج:

γ → e⁺ + e⁻

در خلأ ممکن نیست (به‌خاطر پایستگی چهارتکانه). ولی اگر یک هستهٔ سنگین حضور داشته باشد:

γ + N → e⁺ + e⁻ + N

هسته می‌تواند تکانهٔ لازم را بگیرد.

آستانهٔ انرژی فوتون (وقتی جرم هسته خیلی بزرگ است و پس‌زنی کم است) تقریباً:

E_γ,th ≈ 2 m_e c²

با:

m_e c² = 0.511 MeV

پس:

E_γ,th ≈ 1.022 MeV

نکتهٔ ارتباط با ناوردایی: در خلأ چون فوتون P·P=0 دارد، نمی‌تواند به دو ذرهٔ پرجرم با P_tot·P_tot > 0 تبدیل شود مگر اینکه جسم سومی در تبادل چهارتکانه نقش داشته باشد.

مثال ۱۰) «جرم ناوردای سیستم» همیشه جمع جرم‌ها نیست

دو ذرهٔ هم‌جرم با

m = 1 GeV/c²

را در نظر بگیر که در چارچوب آزمایشگاه هر کدام انرژی

E = 3 GeV

دارند و روبه‌روی هم حرکت می‌کنند (تکانه‌ها مخالف هم).

برای هر ذره:

p c = √(E² - m²) = √(9 - 1) = √8 ≈ 2.828 GeV

برای کل سیستم:

E_tot = 6 GeV
p_tot = 0
→ Mc² = E_tot = 6 GeV

ولی جمع جرم‌های سکون فقط:

m_1 + m_2 = 2 GeV/c²

نتیجه: جرم ناوردای سیستم (۶) خیلی بزرگ‌تر از جمع جرم‌های سکون (۲) است، چون انرژی جنبشی هم در «جرم ناوردای سیستم» سهم دارد.

مثال ۱۱) چک ناوردایی با «تغییر چارچوب» (یک عددگیری واقعی)

ذره‌ای با جرم سکون

m = 4 GeV/c²

در چارچوب S انرژی و تکانه‌اش:

E = 10 GeV
p = 8 GeV/c

ناوردای جرم:

m = √(E² - (pc)²) = √(100 - 64) = 6 GeV/c²

می‌بینید که این با m=4 سازگار نیست؛ پس این داده‌ها برای «یک ذره با جرم ۴» نمی‌تواند درست باشد!

حالا یک دادهٔ سازگار می‌سازیم: اگر m=4 و p=8 باشد، انرژی باید:

E = √( (pc)² + (mc²)² ) = √(8² + 4²) = √80 ≈ 8.944 GeV

حالا فرض کن به چارچوبی برویم که با سرعت v=0.6c حرکت می‌کند (γ=1.25). تبدیل انرژی-تکانه:

E' = γ(E - v p c?) (با c=1: E' = γ(E - β p))
p' = γ(p - β E)

با β=0.6:

E' = 1.25(8.944 - 0.6×8) = 1.25(8.944 - 4.8) = 5.180 GeV
p' = 1.25(8 - 0.6×8.944) = 1.25(8 - 5.366) = 3.292 GeV/c

چک ناوردا:

√(E'² - p'²) = √(5.180² - 3.292²)
≈ √(26.83 - 10.84)
≈ √15.99
≈ 3.999 ≈ 4 GeV

نتیجه: با عوض شدن چارچوب، E و p عوض شدند، اما m (یعنی ناوردای چهارتکانه) ثابت ماند.

اگر بگویی «مثال‌ها را بیشتر ذره‌ای می‌خواهی یا کلاسیکی» می‌توانم دقیق‌تر هدف‌گیری کنم؛ مثلاً:

• مثال‌های کاملاً تستی (چهارگزینه‌ای)


• مثال‌های واپاشی دو/سه‌ذره‌ای با محاسبهٔ انرژی‌ها در چارچوب مرکز جرم


• مثال‌های پرتاب از دید دو ناظر برای ارتباط مستقیم با تبدیل لورنتس