ریاضیات

۳ مثالِ دیگر از ناوردایی چهارتکانه

مثال ۴) چارچوبِ سکونِ سیستم را با ناوردا پیدا کن

فرض کنید دو ذره در یک بُعد حرکت می‌کنند:

Particle 1:

E₁ = 8 GeV

p₁ = +6 GeV/c

Particle 2:

E₂ = 5 GeV

p₂ = -3 GeV/c

چهارتکانهٔ کل سیستم:

E_tot = E₁ + E₂ = 13 GeV

p_tot = p₁ + p₂ = 3 GeV/c

جرم ناوردای سیستم:

M²c^4 = E_tot² - (p_tot c)²

پس:

M²c^4 = 13² - 3² = 169 - 9 = 160

بنابراین:

Mc² = √160 = 4√10 ≈ 12.65 GeV

نتیجه:

جرم ناوردای این سیستم برابر است با:

M ≈ 12.65 GeV/c²

حالا سرعت چارچوب مرکز جرم از رابطهٔ

V = p_tot c² / E_tot

به دست می‌آید. در واحدهایی که c=1:

V/c = p_tot c / E_tot = 3/13 ≈ 0.231

یعنی اگر با سرعت حدود 0.231c در جهت مثبت x حرکت کنیم، به چارچوب سکون سیستم می‌رسیم.

مثال ۵) واپاشی یک ذرهٔ ساکن به دو فوتون

فرض کنید ذره‌ای با جرم سکون

M = 2 MeV/c²

در حال سکون واپاشی می‌کند به دو فوتون:

X → γ + γ

چون ذرهٔ اولیه ساکن است:

P_initial = (Mc, 0)

پس:

E_initial = Mc² = 2 MeV

p_initial = 0

برای اینکه تکانه پایسته بماند، دو فوتون باید در دو جهت مخالف حرکت کنند و چون فوتون‌ها:

E = pc

دارند، انرژی دو فوتون باید برابر باشد:

E₁ = E₂ = 1 MeV

و تکانه‌هایشان:

p₁ = +1 MeV/c

p₂ = -1 MeV/c

حالا جمع چهارتکانهٔ نهایی:

E_tot = 1 + 1 = 2 MeV

p_tot = 1 - 1 = 0

پس:

M²c^4 = E_tot² - (p_tot c)² = 2² - 0 = 4

یعنی:

Mc² = 2 MeV

نتیجه: جرم ناوردای سیستم نهایی همان جرم ذرهٔ اولیه است؛ پس ناوردایی چهارتکانه با پایستگی انرژی-تکانه کاملاً سازگار است.

مثال ۶) دو فوتونِ روبه‌رو می‌توانند یک جرم ناوردا بسازند

این مثال خیلی قشنگ است، چون هر فوتون به‌تنهایی جرم سکون صفر دارد، ولی مجموعِ دو فوتون می‌تواند جرم ناوردا داشته باشد.

فرض کنید دو فوتون روبه‌روی هم حرکت می‌کنند:

Photon 1: E₁ = 4 MeV, p₁ = +4 MeV/c

Photon 2: E₂ = 6 MeV, p₂ = -6 MeV/c

جمع انرژی و تکانه:

E_tot = 4 + 6 = 10 MeV

p_tot = 4/c - 6/c = -2 MeV/c

جرم ناوردای سیستم:

M²c^4 = E_tot² - (p_tot c)²

= 10² - 2²

= 100 - 4

= 96

پس:

Mc² = √96 = 4√6 ≈ 9.80 MeV

نتیجه:

با اینکه هر فوتون جداگانه

m = 0

دارد، ولی سیستم دوتایی آن‌ها جرم ناوردا دارد:

M ≈ 9.80 MeV/c²

نکتهٔ خیلی مهم

برای یک ذره:

(E/c)² - p² = m²c²

برای یک سیستم چندذره‌ای:

M²c² = P_tot·P_tot

یعنی اول چهارتکانه‌ها را جمع می‌کنیم، بعد ناوردا را می‌گیریم.

اگر بخواهی، مرحلهٔ بعدی می‌تواند یکی از این‌ها باشد:

1) مثال تستی چهارگزینه‌ای

2) مثال سخت‌تر از انرژی آستانه

3) واپاشی و برخورد در چارچوب مرکز جرم

4) تفاوت جرم سکون، جرم ناوردا، و جرم نسبیتی