ریاضیات

۳ مثالِ دیگر از ناوردایی چهارتکانه (هم عددی، هم مفهومی)

مثال ۱) از روی انرژی و تکانه، جرم سکون را پیدا کن (ناورداییِ m)

فرض کن در یک چارچوب آزمایشگاه داریم:

E = 10 GeV

p = 8 GeV/c

ناوردای چهارتکانه می‌گوید:

(E/c)² − p² = m²c²

پس (با واحدهای طبیعی GeV/c²):

m²c^4 = E² − (pc)²

m = √(E² − (pc)²) / c²

اینجا:

pc = 8 GeV

m = √(10² − 8²) GeV/c²

= √(100 − 64)

= √36

= 6 GeV/c²

نتیجه: جرم سکونِ ذره ۶ GeV/c² است و این مقدار ناورداست (هر ناظری همین را به دست می‌آورد).

مثال ۲) برخورد فوتون + الکترونِ ساکن → جرم ناوردا/انرژی مرکز جرم

این مثال خیلی مهم است چون «جمع چهارتکانه‌ها» هم یک چهاربردار است و ناوردای مجموع معنی فیزیکی دارد (جرم ناوردای سیستم).

فرض کن یک فوتون با انرژی

E_γ = 1 MeV

به یک الکترونِ ساکن می‌خورد. جرم سکون الکترون:

m_e c² = 0.511 MeV

چهارتکانه‌ها:

- فوتون:

P_γ = (E_γ/c , p_γ)

و چون فوتون بی‌جرم است: p_γ = E_γ/c

- الکترونِ ساکن:

P_e = (m_e c , 0)

پس چهارتکانه کل:

P_tot = P_e + P_γ = ( (m_e c² + E_γ)/c , E_γ/c )

جرم ناوردای سیستم از:

M²c² = P_tot·P_tot = (E_tot/c)² − p_tot²

→ M²c^4 = E_tot² − (p_tot c)²

اینجا:

E_tot = m_e c² + E_γ = 0.511 + 1 = 1.511 MeV

p_tot c = E_γ = 1 MeV

پس:

M c² = √(E_tot² − (p_tot c)²)

= √(1.511² − 1²) MeV

= √(2.283 − 1) MeV

= √1.283 MeV

≈ 1.133 MeV

نتیجهٔ فیزیکی:

سیستم «فوتون+الکترون» یک جرم ناوردا دارد:

M c² ≈ 1.133 MeV

این مقدار همان «انرژی مرکز جرم» (در واحد انرژی) است و برای همهٔ چارچوب‌ها یکسان است.

مثال ۳) فوتون‌ها هم چهارتکانه دارند ولی ناوردای‌شان صفر است

فرض کن یک فوتون با انرژی:

E = 3 eV

حرکت می‌کند. چون فوتون:

p = E/c

ناوردای چهارتکانه:

(E/c)² − p² = (E/c)² − (E/c)² = 0

نتیجه: برای فوتون‌ها

P·P = 0

و این «صفر بودن» هم ناوردا است (هر ناظر هر انرژی‌ای ببیند، باز هم این ناوردا صفر می‌ماند).

اگر بگویی مثال‌ها را «کنکوری/تستی» می‌خواهی یا «سخت‌تر» (مثلاً واپاشی دوذره‌ای، یا محاسبهٔ انرژی آستانه در تولید ذرات)، همان سبک را ادامه می‌دهم.