ریاضیات

اثبات ناوردایی «چهارتکانه» (یعنی چرا (E/c)² − p² ثابت می‌ماند)

هدف

می‌خواهیم نشان دهیم کمیت زیر (در ۱+۱ بعد برای سادگی) تحت تبدیل لورنتس ناورداست:

P·P = (E/c)² − p_x²

و برابر است با:

(E/c)² − p_x² = m²c²

۱) تعریف چهارتکانه

تعریف استاندارد:

P^μ = (E/c, p_x)

و از طرف دیگر:

P^μ = m U^μ

که U^μ چهارسرعت است.

۲) اثبات کوتاهِ مفهومی (با چهارسرعت)

می‌دانیم:

U·U = c²

پس:

P·P = (mU)·(mU) = m² (U·U) = m² c²

این نشان می‌دهد اندازهٔ چهاربردار چهارتکانه ناورداست، چون «ضرب داخلی مینکوفسکی» تحت تبدیل لورنتس ثابت می‌ماند.

اما اگر بخواهی «کاملاً جبری و قدم‌به‌قدم» مثل فاصله‌زمان ببینی، بخش بعدی دقیقاً همان است.

۳) اثبات جبریِ قدم‌به‌قدم (با تبدیل‌های انرژی و تکانه)

اگر چارچوب S' نسبت به S با سرعت v در راستای +x حرکت کند، تبدیل لورنتس برای انرژی-تکانه (۱+۱ بعد) چنین است:

E' = γ (E - v p_x)
p'_x = γ (p_x - v E/c²)

می‌خواهیم نشان دهیم:

(E'/c)² − p'_x² = (E/c)² − p_x²

طرف چپ:

(E'/c)² − p'_x²
= [γ(E - v p_x)/c]² − [γ(p_x - vE/c²)]²
= γ²{ (E - vp_x)²/c² − (p_x - vE/c²)² }

حالا دو مربع را باز می‌کنیم:

الف) جملهٔ اول:

(E - vp_x)²/c²
= (E² - 2Evp_x + v²p_x²)/c²
= E²/c² - 2vEp_x/c² + (v²/c²)p_x²

ب) جملهٔ دوم:

(p_x - vE/c²)²
= p_x² - 2p_x(vE/c²) + (v²E²/c^4)
= p_x² - 2vEp_x/c² + (v²/c^4)E²

حالا تفریق می‌کنیم (دقت کنید جمله‌های میانی دقیقاً حذف می‌شوند):

(E - vp_x)²/c² − (p_x - vE/c²)²
= [E²/c² + (v²/c²)p_x²] - [p_x² + (v²/c^4)E²]

جدا می‌کنیم:

= E²/c² (1 - v²/c²) − p_x² (1 - v²/c²)
= (1 - v²/c²)(E²/c² − p_x²)

پس:

(E'/c)² − p'_x²
= γ² (1 - v²/c²)(E²/c² − p_x²)

اما:

γ² = 1/(1 - v²/c²)

پس:

γ²(1 - v²/c²) = 1

نتیجه:

(E'/c)² − p'_x² = (E/c)² − p_x²

یعنی کمیت (E/c)² − p² تحت لورنتس ناورداست.

۴) نتیجهٔ فیزیکی: چرا برابر m²c² است؟

این ناوردا را بهترین جا می‌توان در چارچوبِ سکون ذره حساب کرد.

در چارچوب سکون:

p = 0
E = mc²

پس:

(E/c)² − p² = (mc²/c)² − 0 = m²c²

چون این کمیت ناورداست، در هر چارچوب دیگری هم همین مقدار می‌شود.

۵) چک عددی خیلی کوتاه (برای اطمینان)

فرض کنید ذره‌ای با m = 2 kg و v_particle = 0.6c داریم.

γ = 1/√(1-0.6²) = 1.25
E = γmc² = 1.25×2×c² = 2.5 c²
p = γmv = 1.25×2×0.6c = 1.5 c

پس:

(E/c)² − p² = (2.5c)² − (1.5c)²
= (6.25 - 2.25)c²
= 4c²
= (2²)c²
= m²c²

جمع‌بندی یک‌خطی

چهارتکانه یک چهاربردار است و «طول مینکوفسکی» آن ناورداست؛ بنابراین:

(E/c)² − p² = m²c² (Lorentz invariant)