ریاضیات

مثال از «ناوردایی» با اثبات (فاصله‌زمان مینکوفسکی)

صورت مسئله

نشان دهید کمیت زیر تحت تبدیل لورنتس (بوست در راستای x) ناورداست:

s² = c²t² − x²

(برای سادگی، فقط ۱+۱ بعد: زمان و یک بعد مکانی)

تبدیل لورنتس

x' = γ (x - vt)
t' = γ (t - vx/c²)
γ = 1/sqrt(1 - v²/c²)

می‌خواهیم ثابت کنیم:

c²t'² − x'² = c²t² − x²

اثبات (قدم‌به‌قدم)

ابتدا طرف چپ را می‌نویسیم:

c²t'² − x'²
= c²[γ(t - vx/c²)]² − [γ(x - vt)]²

گاما را فاکتور می‌گیریم:

= γ²{ c²(t - vx/c²)² − (x - vt)² }

دو مربع را باز می‌کنیم:

1) جملهٔ زمانی:

c²(t - vx/c²)²
= c²(t² - 2t(vx/c²) + (v²x²/c^4))
= c²t² - 2vtx + (v²x²/c²)

2) جملهٔ مکانی:

(x - vt)²
= x² - 2vtx + v²t²

حالا تفریق می‌کنیم:

c²(t - vx/c²)² − (x - vt)²
= (c²t² - 2vtx + v²x²/c²) - (x² - 2vtx + v²t²)

ترم‌های -2vtx و +2vtx حذف می‌شوند:

= c²t² + (v²x²/c²) - x² - v²t²

جدا می‌کنیم:

= (c²t² - v²t²) - (x² - v²x²/c²)
= t²(c² - v²) - x²(1 - v²/c²)

حالا توجه کنید:

c² - v² = c²(1 - v²/c²)

پس:

= c²(1 - v²/c²)t² - (1 - v²/c²)x²
= (1 - v²/c²)(c²t² - x²)

برمی‌گردیم به عبارت اصلی که جلویش γ² داشت:

c²t'² − x'²
= γ² (1 - v²/c²)(c²t² - x²)

اما:

γ² = 1/(1 - v²/c²)

پس:

γ²(1 - v²/c²) = 1

نتیجه:

c²t'² − x'² = c²t² − x²

یعنی فاصله‌زمان مینکوفسکی ناوردا است.

تعبیر فیزیکی خیلی کوتاه

ممکن است t و x جداگانه با عوض شدن ناظر تغییر کنند، اما ترکیب خاص
c²t² − x²
مثل «طول» در هندسهٔ چهاربعدی ثابت می‌ماند؛ همان چیزی که هندسهٔ فضا-زمان را تعریف می‌کند.

یک مثال عددی سریع (چک کردن ناوردایی)

فرض کنید در چارچوب S:

t = 5 μs → ct = 1500 m
x = 1200 m

پس:

s² = (1500)² - (1200)² = 810000 (m²)

حالا به چارچوب S' با v=0.6c برویم:

γ = 1/√(1-0.6²) = 1.25

x' = γ(x - vt)
= 1.25(1200 - 0.6c×5μs)
= 1.25(1200 - 900)
= 375 m

t' = γ(t - vx/c²)
= 1.25(5μs - 0.6×1200/c)

چون:

1200/c = 4 μs

پس:

t' = 1.25(5μs - 2.4μs) = 3.25 μs
→ ct' = 975 m

اکنون:

s'² = (975)² - (375)²
= 950625 - 140625
= 810000 (m²)

نتیجه: s'² = s² و ناوردایی عددی هم تأیید شد.

اگر دوست داری، یک «اثبات ناوردایی چهارتکانه» هم می‌توانم بدهم (اینکه چرا (E/c)² - p² ثابت می‌ماند) که خیلی درک تقارن لورنتسی را کامل می‌کند.