ریاضیات

فرمول‌نامهٔ خلاصهٔ نسبیت خاص (مناسب برای وبلاگ/بلاگفا)

۰) نمادگذاری سریع

c = speed of light β = v/c γ = 1/sqrt(1-β²)

۱) تبدیل‌های لورنتس (حرکت S' با سرعت v در راستای +x نسبت به S)

x' = γ (x - v t) t' = γ (t - v x / c²) y' = y z' = z

فرم معکوس:

x = γ (x' + v t') t = γ (t' + v x' / c²)

۲) فاصله‌زمان (ناوردای لورنتسی)
برای دو رویداد:

Δs² = c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz²

شرط نوع جدایی:

timelike: c²Δt² > Δr² lightlike: c²Δt² = Δr² spacelike: c²Δt² < Δr²

که:

Δr² = Δx² + Δy² + Δz²

۳) زمان ویژه (Proper Time)

dτ = dt * sqrt(1 - v²/c²) = dt/γ

برای سرعت ثابت:

Δτ = Δt/γ

ارتباط با فاصله‌زمان (برای مسیرهای timelike):

c² dτ² = ds²

۴) اتساع زمان و انقباض طول
اتساع زمان (ساعت متحرک کندتر):

Δt = γ Δτ

انقباض طول (طول در راستای حرکت):

L = L0/γ

۵) نسبیت هم‌زمانی
اگر در S هم‌زمان باشند (Δt=0):

Δt' = - γ (v Δx / c²)

۶) جمع سرعت‌ها (یک‌بعدی)
اگر در S، جسم با سرعت u حرکت کند و S' با v:

u' = (u - v) / (1 - uv/c²)

(فرم معکوس)

u = (u' + v) / (1 + u'v/c²)

۷) راپیدیتی (Rapidity) — جمع‌پذیر و تمیز

β = tanh(η) γ = cosh(η) γβ = sinh(η)

مزیت:

η_total = η1 + η2

۸) سرعت ویژه (Proper Velocity)

w = dx/dτ = γ v

برعکس:

v = w / sqrt(1 + (w/c)²) γ = sqrt(1 + (w/c)²)

نکته: v همیشه کمتر از c است، ولی w می‌تواند از c بزرگ‌تر شود.

۹) چهاربردار مکان

X^μ = (ct, x, y, z)

متریک مینکوفسکی (قرارداد +---):

A·B = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3

۱۰) چهارسرعت (Four-velocity)

U^μ = dX^μ/dτ = (γc, γv_x, γv_y, γv_z)

ناوردا:

U·U = c²

۱۱) چهارتکانه (Four-momentum)

P^μ = m U^μ = (E/c, p_x, p_y, p_z)

روابط مهم:

E = γ m c² p = γ m v

ناوردای انرژی-تکانه:

P·P = (E/c)² - p² = m² c²

فرم رایج:

E² = (pc)² + (mc²)²

۱۲) ایدهٔ کلیدی: «ناوردایی» و «تقارن» در یک خط
- ناوردایی لورنتسی = ثابت ماندن کمیت تحت تبدیل‌های لورنتس.
- تقارن لورنتس ⇒ قوانین فیزیک در همهٔ چارچوب‌های لخت یکسان‌اند.
- (نکتهٔ مفهومی) تقارن‌های انتقالی/چرخشی ⇒ پایستگی‌ها (قضیه نودر).

جمع‌بندی خیلی کوتاه

γ = 1/sqrt(1-v²/c²) x' = γ(x-vt) t' = γ(t - vx/c²) s² = c²t² - x² - y² - z² (invariant) U·U = c² (E/c)² - p² = m²c²