ریاضیات

نسخهٔ تمیزتر و یکدست‌ترِ مثال‌های ۴بُعدی سخت‌تر

مثال ۴) ناوردا بودن فاصله‌زمان

فرض کنید چارچوب S' با سرعت

v = 0.6c

در راستای محور x

نسبت به چارچوب S حرکت می‌کند.

پس داریم:

β = 0.6

γ = 1 / √(1 − 0.6²) = 1.25

دو رویداد در چارچوب S:

A : (t=0, x=0, y=0, z=0)

B : (t=5 μs, x=1200 m, y=0, z=0)

گام ۱) محاسبهٔ فاصله‌زمان در S

Δt = 5 μs

Δx = 1200 m

Δy = 0

Δz = 0

ابتدا:

cΔt = (3×10^8)(5×10^-6) = 1500 m

پس:

s² = c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz²

s² = (1500)² − (1200)² = 2,250,000 − 1,440,000 = 810,000 m²

بنابراین:

s = 900 m

و زمانِ ویژه:

Δτ = s/c = 900 / (3×10^8) = 3×10^-6 s = 3 μs

گام ۲) تبدیل رویداد B به چارچوب S'

x' = γ(x − vt)

t' = γ(t − vx/c²)

y' = y

z' = z

ابتدا:

vt = (0.6c)(5 μs) = 0.6 × 1500 = 900 m

پس:

x'_B = 1.25(1200 − 900) = 1.25 × 300 = 375 m

اکنون:

x/c = 1200 / (3×10^8) s = 4 μs

در نتیجه:

vx/c² = 0.6 × 4 μs = 2.4 μs

پس:

t'_B = 1.25(5 − 2.4) μs = 1.25 × 2.6 μs = 3.25 μs

گام ۳) فاصله‌زمان در S'

Δt' = 3.25 μs

Δx' = 375 m

Δy' = 0

Δz' = 0

ابتدا:

cΔt' = (3×10^8)(3.25×10^-6) = 975 m

پس:

s'² = c²Δt'² − Δx'²

s'² = (975)² − (375)² = 950625 − 140625 = 810000 m²

یعنی:

s'² = s²

نتیجه: فاصله‌زمان در همهٔ چارچوب‌های لخت ناوردا است.

مثال ۵) چهارسرعت

ذره‌ای در چارچوب S با سرعت

v = 0.8c

در راستای x حرکت می‌کند.

چهارسرعت آن را بیابید.

تعریف چهارسرعت:

U^μ = dX^μ / dτ = (c dt/dτ, dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ)

و چون:

dt/dτ = γ

داریم:

U^μ = (γc, γv, 0, 0)

برای

v = 0.8c:

γ = 1 / √(1 − 0.8²) = 1 / √0.36 = 1.6667

پس:

U^μ = (1.6667c, 1.6667×0.8c, 0, 0)

U^μ = (1.6667c, 1.3333c, 0, 0)

بررسی ناوردای چهارسرعت:

U·U = (γc)² − (γv)²

= γ²(c² − v²)

= γ²c²(1 − v²/c²)

= c²

نتیجه: اندازهٔ مینکوفسکی چهارسرعت همیشه برابر c² است.

مثال ۶) چهارتکانه و انرژی نسبیتی

جرم سکون یک ذره

m = 2 kg

است و این ذره با سرعت

v = 0.6c

در راستای محور x حرکت می‌کند.

چهارتکانهٔ آن را بیابید.

تعریف چهارتکانه:

P^μ = mU^μ = (E/c, p_x, p_y, p_z)

پس:

E = γmc²

p_x = γmv

ابتدا:

γ = 1 / √(1 − 0.6²) = 1.25

انرژی:

E = 1.25 × 2 × c² = 2.5c²

اگر

c = 3×10^8 m/s

قرار دهیم:

E = 2.5 × 9×10^16

= 2.25×10^17 J

تکانه:

p_x = 1.25 × 2 × 0.6c

= 1.5c

عددی:

p_x = 1.5 × 3×10^8

= 4.5×10^8 kg.m/s

پس:

P^μ = (E/c, p_x, 0, 0)

یعنی:

E/c = (2.25×10^17) / (3×10^8) = 7.5×10^8

بنابراین:

P^μ = (7.5×10^8, 4.5×10^8, 0, 0)

بررسی ناوردای چهارتکانه:

P·P = (E/c)² − p²

از طرف دیگر باید داشته باشیم:

P·P = m²c²

برای این مثال:

m²c² = (2²)(3×10^8)² = 4 × 9×10^16 = 3.6×10^17

و اگر مستقیم هم حساب کنیم:

(E/c)² − p²

= (7.5×10^8)² − (4.5×10^8)²

= 56.25×10^16 − 20.25×10^16

= 36×10^16

= 3.6×10^17

پس رابطه درست است.

جمع‌بندی

در نسبیت خاص:

- s² = c²t² − x² − y² − z² یک کمیت ناوردا است.

- چهارسرعت برابر U^μ = (γc, γv_x, γv_y, γv_z) است.

- چهارتکانه برابر P^μ = (E/c, p_x, p_y, p_z) است.

- ناوردای چهارتکانه: (E/c)² − p² = m²c²

اگر بخواهی، در پیام بعدی می‌توانم همین‌ها را به صورت تستی یا به صورت فرمول‌نامهٔ جمع‌وجور برای بلاگفا هم بنویسم.