چند مثال ۴بُعدی سختتر (ناوردایی فاصلهزمان، چهارسرعت، چهارتکانه)
مثال ۴) ناوردا بودن فاصلهزمان (Interval Invariance)
چارچوب S' با سرعت v = 0.6c در راستای x نسبت به S حرکت میکند (β=0.6, γ=1.25).
دو رویداد در S:
A: (t=0, x=0, y=0, z=0)
B: (t=5 μs, x=1200 m, y=0, z=0)
۱) فاصلهزمان در S
Δt = 5 μs
Δx = 1200 m
cΔt = (3×10^8)(5×10^-6) = 1500 m
s² = c²Δt² − Δx² = (1500)² − (1200)² = 2,250,000 − 1,440,000 = 810,000 (m²)
پس:
s = 900 m
و زمانِ ویژه:
Δτ = s/c = 900/(3×10^8) = 3 μs
۲) تبدیل B به چارچوب S'
x' = γ(x − vt)
t' = γ(t − vx/c²)
ابتدا:
vt = (0.6c)(5 μs) = 0.6×1500 = 900 m
پس:
x'_B = 1.25(1200 − 900) = 375 m
و چون x/c = 1200/(3×10^8) = 4 μs:
t'_B = 1.25(5 − 0.6×4) μs = 1.25(5 − 2.4) μs = 3.25 μs
۳) فاصلهزمان در S'
در S' داریم:
Δt' = 3.25 μs
Δx' = 375 m
cΔt' = (3×10^8)(3.25×10^-6) = 975 m
پس:
s'² = (975)² − (375)² = 950,625 − 140,625 = 810,000 (m²)
میبینیم:
s'² = s²
نتیجه: فاصلهزمان ناوردا است.
مثال ۵) چهارسرعت (Four-Velocity) در ۴بُعد
ذرهای در چارچوب S با سرعت
v = 0.8c
در راستای x حرکت میکند. چهارسرعت آن را بنویسید.
تعریف چهارسرعت:
U^μ = dX^μ/dτ = (c dt/dτ, dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ)
و چون:
dt/dτ = γ
پس:
U^μ = (γc, γv, 0, 0)
برای v=0.8c:
γ = 1/√(1 − 0.8²) = 1.6667
بنابراین:
U^μ ≈ (1.6667 c, 1.6667×0.8c, 0, 0)
= (1.6667 c, 1.3333 c, 0, 0)
نکتهٔ خیلی مهم: اندازهٔ مینکوفسکی چهارسرعت همواره ثابت است:
U·U = c²
(با قرارداد (+ − − −))
مثال ۶) چهارتکانه (Four-Momentum) و انرژی نسبیتی
جرم سکون ذره
m = 2 kg
و سرعت آن
v = 0.6c
در راستای x است. انرژی و تکانه را در قالب چهارتکانه بنویسید.
تعریف:
P^μ = (E/c, p_x, p_y, p_z) = m U^μ
پس:
E = γ m c²
p_x = γ m v
ابتدا:
γ = 1/√(1 − 0.6²) = 1.25
انرژی:
E = 1.25 × 2 × c² = 2.5 c²
اگر عددی بخواهیم (با c = 3×10^8):
E = 2.5 × (9×10^16) J = 2.25×10^17 J
تکانه:
p_x = 1.25 × 2 × 0.6c = 1.5 c
عددی:
p_x = 1.5 × (3×10^8) = 4.5×10^8 kg·m/s
پس چهارتکانه:
P^μ = (E/c, p_x, 0, 0)
= ( (2.25×10^17)/(3×10^8), 4.5×10^8, 0, 0 )
= (7.5×10^8, 4.5×10^8, 0, 0 )
ناوردای چهارتکانه:
P·P = (E/c)² − p² = (mc)²
(یعنی مقدار ناوردای آن فقط به جرم سکون بستگی دارد.)
اگر بگویی با کدام قرارداد علامتگذاری کار میکنی ((+ − − −) یا (− + + +))، همان را دقیق و یکدست میکنم، و اگر خواستی مثال «بوست در جهت دلخواه (نه فقط x)» هم مینویسم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.