ریاضیات

فضای متریک

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک فضای متریک است مجموعه ای با هم با یک متریک بر روی مجموعه ای . متریک تابعی است که مفهومی از فاصله بین هر دو عضو مجموعه را تعریف می کند ، که معمولاً به آنها امتیاز گفته می شود . متریک چند ویژگی ساده را برآورده می کند. غیررسمی:

• فاصله از یک نقطه به خود صفر است ،

• فاصله بین دو نقطه مشخص مثبت است ،

• فاصله A تا B برابر است با فاصله از B تا A ، و

• فاصله A تا B (به طور مستقیم) از فاصله A تا B با هر نقطه سوم C کمتر یا مساوی است .

متریک موجود در یک فضا ، خصوصیات توپولوژیکی مانند مجموعه های باز و بسته را القا می کند ، که منجر به مطالعه فضاهای توپولوژیک انتزاعی تر می شود .

آشناترین فضای متریک ، فضای 3 بعدی اقلیدسی است . در حقیقت ، یک "متریک" تعمیم متریک اقلیدسی ناشی از چهار ویژگی طولانی شناخته شده از فاصله اقلیدسی است. متریک اقلیدسی فاصله بین دو نقطه را به عنوان طول قطعه خط مستقیم که آنها را به هم وصل می کند ، تعریف می کند. سایر فضاهای متریک به عنوان مثال در هندسه بیضوی و هندسه هایپربولیک اتفاق می افتد ، جایی که مسافت در یک کره اندازه گیری شده توسط زاویه اندازه گیری شده است ، و مدل هایپربولوئید هندسه هذلولی با استفاده از نسبیت خاص به عنوان فضای متریک سرعت استفاده می شود .

فهرست

• 1تاریخ

• 2تعریف

• 3نمونه هایی از فضاهای متریک

• 4مجموعه های باز و بسته ، توپولوژی و همگرایی

• 5انواع فضاهای متریک

  • 5.1فضاهای کامل

  • 5.2فضاهای محدود و کاملاً محدود

  • 5.3فضاهای کم حجم

  • 5.4فضاهای کم حجم و مناسب

  • 5.5اتصال

  • 5.6فضاهای جداگانه

  • 5.7به فضاهای متریک اشاره کرد

• 6انواع نقشه بین فضاهای متریک

  • 6.1نقشه های مداوم

  • 6.2نقشه های یکنواخت مداوم

  • 6.3نقشه ها و انقباضات پیوسته لیپشیتز

  • 6.4ایزومترها

  • 6.5ایزومترهای شبه

• 7مفاهیم معادل فضای متریک

• 8خصوصیات توپولوژیکی

• 9فاصله بین نقاط و مجموعه ها؛ فاصله هاسدورف و متریک گروموف

• 10فضاهای متریک محصول

  • 10.1تداوم فاصله

• 11فضاهای متریک زیاد

• 12تعمیم فضاهای متریک

  • 12.1فضاهای متریک به عنوان دسته های غنی شده

• 13همچنین ببینید

• 14یادداشت

• 15منابع

• 16لینک های خارجی

تاریخچه [ ویرایش ]

در سال 1906 موریس فریشه فضاهای متریک را در کار خود معرفی کرد و quorquesoints du calcul fonctionnel را در Sur quelques . [1] اما این نام به دلیل فلیکس هاوسدورف است .

تعریف [ ویرایش ]

فضای متریک یک IS زوج مرتب  جایی که  یک مجموعه است ویک متریک در، یعنی یک تابع

به طوری که برای هر {\ نمایشگر x ، y ، z \ در M، موارد زیر را نگه می دارد: [2]

با توجه به سه اصل بالا ، ما نیز چنین چیزی را داریم برای هرچی . این به شرح زیر استنباط می شود:

کارکرد نیز نامیده می شود تابع فاصله و یا به سادگی از راه دور . غالبا، حذف شده است و فقط می نویسد  برای یک فضای متریک اگر از متن مشخص باشد که از چه متریک استفاده می شود روشن است.

نادیده گرفتن جزئیات ریاضی ، برای هر سیستم راه و زمین ، فاصله بین دو مکان را می توان به عنوان طول کوتاهترین مسیر اتصال به آن مکان ها تعریف کرد. برای اینکه یک متریک باشد نباید جاده های یک طرفه وجود داشته باشد. نابرابری مثلث این واقعیت را بیان می کند که مسیرهای فرعی راه میانبر نیستند. اگر فاصله بین دو نقطه صفر باشد ، دو نقطه از یکدیگر قابل تشخیص نیستند. بسیاری از نمونه های زیر را می توان نسخه های مشخص این ایده کلی دانست.

نمونه هایی از فضاهای متریک [ ویرایش ]

• اعداد حقیقی با استفاده از تابع فاصلهداده شده توسط تفاوت مطلق ، و، به طور کلی، اقلیدسی N فضا- با فاصله اقلیدسی ، هستند کامل فضاهای متریک. اعداد گویا را با تابع همان فاصله هم یک فضای متریک، اما نه یکی از کامل تشکیل می دهد.

• اعداد حقیقی مثبت با عملکرد فاصله یک فضای متریک کامل است

• هر فضای بردار هنجار شده با تعریف یک فضای متریک استهمچنین به معیارهای موجود در فضاهای بردار مراجعه کنید . (اگر چنین فضایی کامل باشد ، ما آن را فضای Banach می نامیم .) به عنوان مثال:

  • هنجار منهتن افزایش می دهد به فاصله منهتن ، که در آن فاصله بین هر دو نقطه، یا بردار، مجموع تفاوت بین مختصات است.

  • حداکثر هنجار افزایش می دهد به فاصله چبیشف یا از راه دور صفحه شطرنج، تعداد حداقل از حرکت یک پادشاه شطرنج به سفر از را به.

• راه آهن بریتانیا متریک ( "دفتر پست متریک" یا "نیز نامیده می شود SNCF در متریک") فضای برداری عادی هنجار داده شده است برای نقاط مشخص  و و. به طور کلی می توان با یک عملکرد جایگزین کرد {\ displaystyle f گرفتن مجموعه ای دلخواه  به واقعیت های غیر منفی و ارزش آن را می گیرند {\ نمایشگر 0} حداکثر یک بار: سپس متریک روی آن تعریف می شود  توسط  برای نقاط مشخص  و و . این نام اشاره به گرایش سفرهای ریلی بدون توجه به مقصد نهایی آنها از طریق لندن (یا پاریس) دارد.

• اگر یک فضای متریک است یک زیر مجموعه از، سپس  با محدود کردن دامنه دامنه تبدیل به یک فضای متریک می شود  بهX برابر .

• متریک گسسته ، که در آن اگر و در غیر این صورت ، یک مثال ساده اما مهم است و می تواند برای همه مجموعه ها اعمال شود. این ، به ویژه ، نشان می دهد که برای هر مجموعه ، همیشه یک فضای متریک با آن وجود دارد. با استفاده از این متریک ، هر نقطه یک توپ باز است و بنابراین هر زیرمجموعه باز است و فضا دارای توپولوژی گسسته است .

• یک فضای متریک محدود یک فضای متریک است که دارای تعداد محدودی از نقاط است. هر فضای متریک محدود نمی تواند به صورت ایزومتریک در یک فضای اقلیدسی تعبیه شود . [3] [4]

• هواپیما اغراقی یک فضای متریک است. به طور کلی:

  • اگرهر منیفولد ریمانی متصل است ، پس می توانیم چرخانیمبا تعیین فاصله دو نقطه به عنوان کمترین طول مسیرها ( منحنی های متمایز متمایز ) که آنها را به هم وصل می کند ، وارد یک فضای متریک شود .

  • اگر چند مجموعه است ویک فضای متریک است ، بنابراین ، مجموعه ای از توابع محدود است (یعنی آن دسته از توابع که تصویر یک زیر مجموعه محدود از) می توان با تعریف تبدیل به یک فضای متریک کرد  برای هر دو عملکرد محدود  و (جایی که است سوپریمم ). [5] این متریک متریک یکنواخت یا متریک supremum نامیده می شود ، و اگرکامل است ، سپس این فضای عملکرد نیز کامل است. اگر X همچنین یک فضای توپولوژیکی است ، پس مجموعه ای از توابع مداوم محدود از به (وقف متریک یکنواخت) ، اگر M باشد یک متریک کامل نیز خواهد بود .

  • اگر یک نمودار متصل به مسیر غیر مستقیم است ، سپس مجموعه از رئوس از  می توان با تعریف تبدیل به یک فضای متریک کرد طول کوتاهترین مسیر اتصال رأسها است  و. در تئوری گروه هندسی این به نمودار کایلی یک گروه اعمال می شود و کلمه متریک را ارائه می دهد .

• فاصله ویرایش نمودار اندازه گیری عدم تمایز بین دو نمودار است که به عنوان حداقل تعداد عملیات ویرایش نمودار مورد نیاز برای تبدیل یک نمودار به گون defined دیگر تعریف شده است .

• فاصله لوناشتاین اندازه گیری از عدم تشابه بین دو رشته و به عنوان حداقل تعداد حذف کاراکترها ، درجها یا جایگزینی های لازم برای تبدیل تعریف شده است به . این را می توان به عنوان یک مورد خاص از کوتاهترین متریک مسیر در یک نمودار تصور کرد و یک نمونه از فاصله ویرایش است .

• با توجه به فضای متریک و افزایش عملکرد مقعر  به طوری که  اگر و تنها اگر ، سپس همچنین یک متریک است.

• با توجه به عملکرد تزریقی  از هر مجموعه  به یک فضای متریک ،  یک متریک را تعریف می کند .

• با استفاده از تئوری T ، فاصله محکم یک فضای متریک نیز یک فضای متریک است. طول محکم در چندین نوع تجزیه و تحلیل مفید است.

• مجموعه همه توسط ماتریس بیش از برخی از زمینه ها یک فضای متریک با توجه به فاصله رتبه است.

• متریک حلی در استفاده تئوری بازی .

مجموعه های باز و بسته ، توپولوژی و همگرایی [ ویرایش ]

هر فضای متریک یک فضای توپولوژیکی به روش طبیعی است و بنابراین همه تعاریف و قضایای مربوط به فضاهای توپولوژیک کلی نیز در مورد کلیه فضاهای متریک اعمال می شود.

درباره هر نکته در یک فضای متریکما توپ باز شعاع را تعریف می کنیم (جایی که یک شماره واقعی است)  به عنوان مجموعه

این توپ های باز پایه را برای توپولوژی روی M تشکیل می دهند و آن را به یک فضای توپولوژیکی تبدیل می کنند .

صریحاً ، زیرمجموعه  ازنامیده می شود باز اگر برای هر که در  وجود دارد به طوری که  موجود است . مکمل از یک مجموعه باز است که به نام بسته . محله از نقطه هر زیر مجموعه ای است  که شامل یک توپ باز است  به عنوان زیرمجموعه

فضای توپولوژیکی که می تواند از این طریق از فضای متریک بوجود آید ، یک فضای قابل اندازه گیری نامیده می شود .

یک دنباله () در یک فضای متریک گفته می شود که به حد همگرا می شود اگر و فقط اگر برای هر، یک عدد طبیعی N وجود دارد به گونه ای که برای همه. به طور برابر ، می توان از تعریف کلی همگرایی موجود در کلیه فضاهای توپولوژیکی استفاده کرد.

زیرمجموعه  فضای متریک  بسته شده است اگر و فقط در صورت وجود هر توالی در  که به یک حد همگرا می شود  حد خود را دارد.

منبع 
 https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space