ریاضیات

تصویر (نظریه رسته)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و نهم تیر ۱۳۹۲ | 2:54

تصویر (نظریه رسته)

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تصویر (ریاضیات)در نظریه رسته ، شاخه ای از ریاضیات ،تصویر یک ریخت یک تعمیم است از تصویر یک تابع .

فهرست

تعریف کلی [ ویرایش ]

با توجه بهرسته $ج$ و یک شکل شناسی $f \ روده بزرگ X \ به Y$ که در $ج$ ، تصویر [1] از $f$ یک monoریخت ${\ displaystyle m \ colon I \ to Y}$ دارا بودن ویژگی جهانی زیر :

مورفیسم وجود دارد ${\ displaystyle e \ colon X \ to I}$ به طوری که ${\ displaystyle f = m \، e}$ به
برای هر جسمی $من'$ با یک ریخت شناسی ${\ displaystyle e '\ colon X \ to I'}$ و یکنواختی ${\ displaystyle m '\ colon I' \ to Y}$ به طوری که ${\ displaystyle f = m '\، e'}$ ، یک مورفیسم منحصر به فرد وجود دارد ${\ displaystyle v \ colon I \ to I '}$ به طوری که ${\ displaystyle m = m '\، v}$ به

ملاحظات:

چنین عاملی لزوما وجود ندارد.
$ه$ با تعریف منحصر به فرد است $متر$ MONIC .
${\ displaystyle m'e '= f = me = m've}$ ، از این رو ${\ displaystyle e '= ve}$ توسط $متر '$ مونیک
$v$ مونیک است
${\ displaystyle m = m '\، v}$ از قبل دلالت بر این دارد $v$ منحصر به فرد است.

تصویر از $f$ اغلب با ${\ displaystyle {\ text {Im}} f}$ یا ${\ displaystyle {\ text {Im}} (f)}$ به

پیشنهاد: اگر $ج$ دارای تمام اکولایزرها بعد از $ه$ در عامل سازی ${\ displaystyle f = m \، e}$ از (1) یک epiریخت است . [2]

اثبات -

اجازه دهید ${\ displaystyle \ alpha، \، \ beta}$ طوری باشد که ${\ displaystyle \ alpha \، e = \ beta \، e}$ ، باید نشان داد که $\ alpha = \ بتا$ به از آنجا که اکولایزر از ${\ displaystyle (\ alpha ، \ beta)}$ وجود دارد ، $ه$ به عنوان عامل ${\ displaystyle e = q \، e '}$ با $س$ مونیک اما بعد ${\ displaystyle f = (m \، q) \، e '}$ عامل سازی است $f$ با ${\ displaystyle (m \، q)}$ یکنواختی بنابراین با توجه به ویژگی جهانی تصویر ، یک پیکان منحصر به فرد وجود دارد ${\ displaystyle v: I \ to Eq _ {\ alpha، \ beta}}$ به طوری که ${\ displaystyle m = m \، q \، v}$ و از $متر$ مونیک است ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {I} = q \، v}$ به علاوه بر این ، یکی دارد ${\ displaystyle m \، q = (mqv) \، q}$ و از نظر ویژگی یکنواختی از ${\ displaystyle mq}$ یکی بدست می آورد ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {Eq _ {\ alpha، \ beta}} = v \، q}$ به

این بدان معناست که ${\ displaystyle I \ equ Eq _ {\ alpha، \ beta}}$ و در نتیجه آن ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {I} = q \، v}$ برابر می کند ${\ displaystyle (\ alpha ، \ beta)}$ ، از کجا ${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ به

تعریف دوم [ ویرایش ]

در یکرسته $ج$ با تمام محدود محدودیت و colimits از تصویر به عنوان تعریف اکولایزر ${\ displaystyle (من ، متر)}$ از جفت به اصطلاح cokernel ${\ displaystyle (Y \ sqcup _ {X} Y، i_ {1}، i_ {2})}$ به [3]

ملاحظات:

دوپارگی محدودیت این دسته را تضمین می کند که فشارها و اکولایزرها وجود داشته باشند.
${\ displaystyle (من ، متر)}$ را می توان تصویر معمولی به عنوان نامید $متر$ یک مونورفیسم منظم است ، یعنی برابر کننده یک جفت مورفیسم. (همچنین به یاد بیاورید که اکولایزر به طور خودکار یک شکل است).
در دسته abelian ، ویژگی cokernel pair را می توان نوشت ${\ displaystyle i_ {1} \، f = i_ {2} \، f \ \ Leftrightarrow \ (i_ {1} -i_ {2}) \، f = 0 = 0 \، f}$ و شرط اکولایزر ${\ displaystyle i_ {1} \، m = i_ {2} \، m \ \ چپ راست \ (i_ {1} -i_ {2}) \، m = 0 \، m}$ به علاوه بر این ، همه مونومورفیسم ها منظم هستند.

قضیه - اگر $f$ همیشه از طریق مونومورفیسم های معمولی فاکتور می گیرد ، سپس این دو تعریف با هم منطبق می شوند.

اثبات -

تعریف اول بر دوم دلالت دارد: فرض کنید که (1) با $متر$ یکنواختی منظم

برابری: باید این را نشان داد ${\ displaystyle i_ {1} \، m = i_ {2} \، m}$ به به عنوان جفت کوکرنل از ${\ displaystyle f، \ i_ {1} \، f = i_ {2} \، f}$ و با پیشنهاد قبلی ، از آنجا که $ج$ دارای تمام اکولایزرها ، فلش است $ه$ در عامل سازی ${\ displaystyle f = m \، e}$ یک اپیمورفیسم است ، بنابراین ${\ displaystyle i_ {1} \، f = i_ {2} \، f \ \ Rightarrow \ i_ {1} \، m = i_ {2} \، m}$ به
جهانی بودن: در رده ای با تمام محدودیت ها (یا حداقل همه فشارها) $متر$ خود یک جفت کوکرنل را می پذیرد ${\ displaystyle (Y \ sqcup _ {I} Y، c_ {1}، c_ {2})}$

علاوه بر این ، به عنوان یک شکل یکنواخت ، ${\ displaystyle (I، m)}$ برابر کننده یک جفت مورفیسم است ${\ displaystyle b_ {1} ، b_ {2}: Y \ longrightarrow B}$ اما ما در اینجا ادعا می کنیم که این نیز برابر کننده است : ${\ displaystyle c_ {1} ، c_ {2}: Y \ longrightarrow Y \ sqcup _ {I} Y}$ به

در واقع ، توسط ساخت و ساز ${\ displaystyle b_ {1} \، m = b_ {2} \، m}$ بنابراین نمودار "جفت کوکرنل" برای $متر$ یک مورفیسم منحصر به فرد ایجاد می کند ${\ displaystyle u ': Y \ sqcup _ {I} Y \ longrightarrow B}$ به طوری که ${\ displaystyle b_ {1} = u '\، c_ {1} ، \ b_ {2} = u' \ ، c_ {2}}$ به حالا ، یک نقشه ${\ displaystyle m ': I' \ longrightarrow Y}$ که برابر می شود ${\ displaystyle (c_ {1} ، c_ {2})}$ نیز ارضا می کند ${\ displaystyle b_ {1} \، m '= u' \، c_ {1} \، m '= u' \، c_ {2} \، m '= b_ {2} \، m'}$ ، بنابراین از طریق نمودار اکولایزر برای ${\ displaystyle (b_ {1} ، b_ {2})}$ ، یک نقشه منحصر به فرد وجود دارد ${\ displaystyle h ': I' \ to I}$ به طوری که ${\ displaystyle m '= m \، h'}$ به

در نهایت ، از نمودار جفت کوکرنل (از $f$ ) با ${\ displaystyle j_ {1}: = c_ {1} ، \ j_ {2}: = c_ {2} ، \ Z: = Y \ sqcup _ {I} Y}$ : منحصر به فرد وجود دارد ${\ displaystyle u: Y \ sqcup _ {X} Y \ longrightarrow Y \ sqcup _ {I} Y}$ به طوری که ${\ displaystyle c_ {1} = u \، i_ {1}، \ c_ {2} = u \، i_ {2}}$ به بنابراین ، هر نقشه $گرم$ که برابر می شود ${\ displaystyle (i_ {1} ، i_ {2})}$ نیز برابر می کند ${\ displaystyle (c_ {1} ، c_ {2})}$ و در نتیجه به صورت منحصر به فرد به عنوان ${\ displaystyle g = m \، h '}$ به این دقیقاً به این معناست که ${\ displaystyle (I، m)}$ اکولایزر از است ${\ displaystyle (i_ {1} ، i_ {2})}$ به

تعریف دوم بر تعریف اول دلالت دارد:

عامل یابی: گرفتن ${\ displaystyle m ': = f}$ در نمودار اکولایزر ( ${\ displaystyle m '}$ مربوط به $گرم$ ) ، یکی عامل را به دست می آورد ${\ displaystyle f = m \، h}$ به
جهانی بودن: اجازه دهید ${\ displaystyle f = m '\، e'}$ با آن عامل ساز شود ${\ displaystyle m '}$ مونومورفیسم منظم ، یعنی اکولایزر برخی از جفت ها ${\ displaystyle (d_ {1} ، d_ {2})}$ به

سپس ${\ displaystyle d_ {1} \، m '= d_ {2} \، m' \ \ Rightarrow \ d_ {1} \، f = d_ {1} \، m '\، e = d_ {2} \، m '\، e = d_ {2} \، f}$ به طوری که با نمودار "جفت کوکرنل" (از $f$ )، با ${\ displaystyle j_ {1}: = d_ {1} ، \ j_ {2}: = d_ {2} ، \ Z: = D}$ ، منحصر به فرد وجود دارد ${\ displaystyle u '': Y \ sqcup _ {X} Y \ longrightarrow D}$ به طوری که ${\ displaystyle d_ {1} = u '' \، i_ {1}، \ d_ {2} = u '' \، i_ {2}}$ به

حالا ، از ${\ displaystyle i_ {1} \، m = i_ {2} \، m}$ ( m از اکولایزر نمودار ( i 1 ، i 2 )) ، یکی بدست می آیدبنابراین ، از طریق جهانی بودن نمودار (اکولایزر ( d 1 ، d 2 ) ، با f جایگزین m ) ، یک منحصر به فرد وجود دارد ${\ displaystyle v: Im \ longrightarrow I '}$ به طوری که ${\ displaystyle m = m '\، v}$ به

مثالها [ ویرایش ]

در دسته مجموعه تصویر یک مورفیسم $f \ روده بزرگ X \ به Y$ است گنجاندن از عادی تصویر $\ {f (x) ~ | ~ x \ in X \}$ به $Y$ به در بسیاری از مقوله های مشخص مانند گروه ها ، گروه های ابلیان و ماژول های (چپ یا راست) ، تصویر یک مورفیسم تصویری از مورفیسم مربوط در دسته مجموعه ها است.

در هر دسته نرمال با یک شی صفر و دانه و cokernels برای هر ریخت، تصویری از یک ریخت $f$ می تواند به صورت زیر بیان شود:

im f = ker coker f

در دسته abelian (که به طور خاص دو حالت عادی است) ، اگر f یک شکل باشد f = ker coker f ، و بنابراین f = im f .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

lمنبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Image_(category_theory)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

آموزش ریاضی

تصویر (نظریه رسته)

فهرست

تعریف کلی [ ویرایش ]

تعریف دوم [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین