ریاضیات

---

# 1) نسخه جزوه‌ای و رسمی

**قضیه:**
رابطه هموتوپی `~` یک رابطه هم‌ارزی است.

**اثبات:****
برای اینکه نشان دهیم `~` یک رابطه هم‌ارزی است، باید سه خاصیت زیر را ثابت کنیم:

1. بازتابی
2. تقارنی
3. تعدی

فرض کنید `f, g, h : I -> X` توابع پیوسته باشند.

---

## الف) خاصیت بازتابی

می‌خواهیم نشان دهیم:
```
f ~ f
```

تابع
```text
F : I × I -> X
```
را به صورت
```
F(s,t) = f(s)
```
تعریف می‌کنیم.

این تابع پیوسته است، زیرا عملاً همان تابع `f` است و به متغیر `t` وابستگی ندارد. همچنین داریم:
```
F(s,0) = f(s)
F(s,1) = f(s)
```

پس `F` یک هموتوپی از `f` به `f` است. بنابراین:
```
f ~ f
```

---

## ب) خاصیت تقارنی

فرض کنید:
```text
f ~ g
```
آنگاه هموتوپی‌ای به نام `F` وجود دارد به طوری که:
``
F(s,0) = f(s)
F(s,1) = g(s)
```

اکنون تابع
```
G(s,t) = F(s,1-t)
```
را تعریف می‌کنیم.

چون `F` پیوسته است و تابع `1-t` نیز پیوسته است، پس `G` هم پیوسته است. حال داریم:
```
G(s,0) = F(s,1) = g(s)
G(s,1) = F(s,0) = f(s)
```

پس `G` یک هموتوپی از `g` به `f` است. در نتیجه:
```
g ~ f
```

---

## ج) خاصیت تعدی

فرض کنید:
```
f ~ g
```
و
```
g ~ h
```

پس دو هموتوپی `F` و `G` وجود دارند به طوری که:
```
F(s,0) = f(s), F(s,1) = g(s)
G(s,0) = g(s), G(s,1) = h(s)
```

اکنون تابع `H : I × I -> X` را به صورت تکه‌ای تعریف می‌کنیم:
```
H(s,t) = F(s,2t) , 0 <= t <= 1/2
H(s,t) = G(s,2t-1) , 1/2 <= t <= 1
```

### بررسی پیوستگی
- روی بازه `0 <= t <= 1/2`، تابع `H` پیوسته است.
- روی بازه `1/2 <= t <= 1`، تابع `H` نیز پیوسته است.

در نقطه اتصال `t = 1/2` داریم:
```
F(s,1) = g(s)
G(s,0) = g(s)
```
پس دو تعریف در این نقطه با هم برابرند. بنابراین `H` پیوسته است.

اکنون:
```
H(s,0) = F(s,0) = f(s)
H(s,1) = G(s,1) = h(s)
```

پس `H` یک هموتوپی از `f` به `h` است. بنابراین:
```
f ~ h
```

---

## نتیجه

پس رابطه `~` دارای سه خاصیت بازتابی، تقارنی و تعدی است؛ بنابراین یک **رابطه هم‌ارزی** است.

---

# 2) توضیح ساده و مفهومی

ایده‌ی اصلی هموتوپی این است که:

> اگر بتوانیم یک تابع را به‌صورت پیوسته و بدون پرش، کم‌کم به تابع دیگری تبدیل کنیم، می‌گوییم این دو تابع با هم هموتوپ‌اند.

حالا چرا این یک رابطه هم‌ارزی است؟

---

## بازتابی یعنی چه؟

هر تابعی با خودش هموتوپ است.

چرا؟
چون اصلاً لازم نیست چیزی را تغییر بدهیم. در تمام مراحل همان تابع اولیه را نگه می‌داریم.
یعنی از اول تا آخر، شکل تابع ثابت می‌ماند.

---

## تقارنی یعنی چه؟

اگر بتوانیم `f` را به `g` تبدیل کنیم، آن‌وقت می‌توانیم مسیر را برعکس برویم و `g` را به `f` تبدیل کنیم.

یعنی اگر یک فیلم از تغییر `f` به `g` داشته باشیم، کافی است فیلم را از آخر به اول پخش کنیم.

---

## تعدی یعنی چه؟

اگر:
- بتوانیم `f` را به `g` تبدیل کنیم،
- و بعد `g` را به `h` تبدیل کنیم،

آن‌وقت می‌توانیم این دو فرایند را پشت سر هم قرار دهیم و `f` را مستقیماً به `h` برسانیم.

یعنی:
- نیمه اول زمان: از `f` به `g`
- نیمه دوم زمان: از `g` به `h`

پس در مجموع یک مسیر پیوسته از `f` به `h` ساخته‌ایم.

---

# جمع‌بندی شهودی

پس هموتوپی دقیقاً رفتاری شبیه «هم‌ارز بودن» دارد:

- هر چیز با خودش هم‌ارز است.
- اگر `f` با `g` هم‌ارز باشد، `g` هم با `f` هم‌ارز است.
- اگر `f` با `g` و `g` با `h` هم‌ارز باشد، `f` با `h` هم‌ارز است.

بنابراین هموتوپی، فضا یا توابع را به **رده‌های هم‌ارزی** تقسیم می‌کند.

---