مثال: نگاشت القایی روی گروه بنیادی دایره
یکی از مهمترین و آشناترین مثالها برای نگاشت القایی، نگاشت
φ : S1 → S1
به صورت زیر است:
φ(z) = zn
در اینجا
n
یک عدد صحیح است. میدانیم که:
π1(S1,1) ≅ Z
مولد این گروه را میتوان با مسیر
f(t) = e2πit
نمایش داد.
حال تصویر این مسیر تحت نگاشت
φ
برابر است با:
(φ ∘ f)(t) = φ(e2πit) = (e2πit)n = e2πint
بنابراین این مسیر جدید، دایره را
n
بار دور میزند. به همین دلیل، نگاشت القایی
φ*
روی گروه بنیادی به صورت زیر عمل میکند:
φ* : π1(S1,1) → π1(S1,1)
و در شناسایی
π1(S1,1) ≅ Z
داریم:
φ*(k) = nk
نتیجه
این مثال نشان میدهد که نگاشت القایی فقط یک تبدیل ساده روی حلقهها نیست، بلکه تعداد دور زدن مسیر حول دایره را نیز ثبت میکند. در واقع، درجهی نگاشت
z ↦ zn
همان ضریب
n
در اثر آن بر گروه بنیادی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.